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1、精品文档初等数论本科一填空题(每空2分)1写出 30 以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29ab2. 设a,b是任意两个不为零的整数，则(，)=1.(a,b) (a,b)3. 若a,b是非零整数，则a与b互素的充要条件是存在整数x, y ,适ax by = 14. 写出180的标准分解式是 22 32 5，其正约数个数有(2+1)(2+1)(1+1)=18个.5. 设a与b是正整数，则在1,2川|,a中能被b整除的整数恰有? 个.-b 6. 设a,b是非零整数,c是整数，方程ax by = c有整数解(x, y)的充要条件是(a ,b ) |c7. 若整数集合A是模
2、m的完全剩余系，则A中含有 _ m_个整数.8. (3)=2: (4)=2.9当 p素数时,(1) :(p_p -1：(2) (pk)二 Pk -Pk.10. 设m是正整数，(a, m)=1,则a"m) -1 三 0 (mom ).11. 设p是素数，则对于任意的整数a,有ap-a三 0 (mod ).12已知 2x 3 三5(mod7),则 x =1_( m od 7 )13. 同余方程x2三2(mod 7)的解是P-1n 2 三 1(mod p).n 2 = 1(mod p).14. 同余方程 3x2 10x 12 三 0(mod 9)的解是.X=6.15. 若(n, p) =1
3、, n是模p的二次剩余的充要条件是16. 若(n, p) =1, n是模p的二次非剩余的充要条件是317.(5)=亠精品文档18. 设p是奇素数，则(2"_ (-1亍p19. 设p是奇素数，则(丄)= ;()=(-1)欣pp20. ( 5)=9-1判断题(判断下列结论是否成立，每题2分).1. a | b且a | c =对任意的 x, y Z有 a | bx cy .成立2. 若(a,b) =(a,c),则a,b二a,c.不成立3. 若a2 |b3,则a |b.不成立4. a 三 b(mod m), k 0, k N 二 ak 三 bk(mod mk).成立5. ac 三 bc(mo
4、d m) = a = b(mod m). 不成立 ” 2 2 > .6. 若a 三b (mod m),贝V a三b(mod m)或a三b(mod m)至少有一个成立 .不成立7. 若a 三 b(mod m),则 a2 三 b2(mod m2).不成立8. 若x通过模m的完全剩余系，则x b(b是整数)通过模m的完全剩余系.成立9. 若印包，|l(,am与仙川佝都是模m的完全剩余系.不成立则佝 P,a2 b2JH, am bm也是模m的完全剩余系.不成立10若(a,m) =1 ,x通过模m的简化剩余系，则ax b也通过模m的简化剩余系.不成立11. 若mm N,(m!,m2)=1,则(mm
5、2)= (mJ (m2).成立12. 同余方程4x2 -3x 3三0(mod15)和同余方程4x2 12x-12三0(mod15)是同解的.成立13. 同余方程ax三b(mod m)等价于不定方程 ax my =b.成立2a14. 当m是奇素数时 ,若x三a(modm)有解，则(一)=1.成立ma215. 当m不是奇素数时，若(一)=1,则方程x三a(modm)定有解.不成立m三计算题1. 求(-1859,1573) .( 6 分)1. (-1859,1573) =(1859,1573(286,1573)解：(286,1573 -286 5) =(286,143) =(0,143) =1432
6、. 求-36,108,204.( 8 分)2. -36,108,204 =36,108,204,解：；36= 22 32,108 =22 33,204=22 3 17,36,108,204 =22 33 17 =1836.3. 求(125,17),以及 x,y,使得 125x+17y =(125,17).( 10分)3由等式6 =5，1起逐步回代，得解：1 =6-5 =6-(17-2 6)=3 6-17=3 (125-17 7)-17=3 125-22 17.125 3-1722 =1,x =3, y =-22.4. 求整数 x,y,使得 1387x-162y =(1387,162). (10
7、 分)4由等式9=4 2 1起逐步回代，得1 =9-4 2 =9-4 (11-9) =5 9-4 11 =5 (20-11)-4 11=5 20-911 =5 20-9(71 -3 20)=32 20 -9 71角军.=32 x(91-71) 9x71 =32x91 41x71=32 91 -41 (162 -91)=73 91 -41 162=73 (1387 -8 162)-41 162=73 1387 -625 162.1387 73 -162 625 =1.5. 分解12!为质因数乘积.（8分）.(10 分)1 1求1 §川6. 求最大的正整数k,使10k |199! .（
8、8分） 7.8. 求方程8x 17y =43的整数解.（6分）9.+ 二(10 分)10. 求方程111x-321 y=75的整数解.（10分）11. 求方程15x1 10x2 6怡=61的整数解.（8分）12. 求不定方程3x 6y 12z =15的整数解.（8分）13. 求不定方程x 2y 3 -7的所有正整数解.（8分）14. 将19写成三个分数之和，它们的分母分别是2,3和5.（10分）3015. 求方程x2y 2x2-3y-7=0的整数解.（6分）16. 求方程x3 y3 =1072的整数解.（8分）17. 求方程5（xy ' yz ' zx） =4xyZ勺正整数解.
9、（10分）18. 求3406的个位数字与最后两位数字（十进制）.（10分）19. 解同余方程6x三7(mod 23).(8分)20. 解同余方程12x 15三0(mod 45). (8分)X 三 2(mod 3)21. 解同余式组 x三3(mod5). (6分)x 三 2(mod 7)22. 解同余式 f(x)三 0(mod35), f(x)=x4 2x3 8x 9.(10 分)23. 解同余方程:x7 -2x6 -7x5 x 2 三 0(mod5). (6 分)24. 求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.(8分)25. 判断方程x2三5(mod11)有没有解.(6分)26. 已知563是素
10、数，判定方程x2 = 429(mod563)是否有解.(8分)27. 求以3为其二次剩余的全体素数.(8分)28. 计算：(1)(乎);(2)(警).(8 分)152129. 计算(300). (6 分)x =3(mod8)30. 解同余式组丿x三11(mod20). (10分)x 三1(mod15)四证明题1、设a,b是两个给定的非零整数，且有整数x, y,使得ax，by=1.求证:若a|n ,b| n,则ab | n.(6分)1. T n = n(ax by)二 nax nby证明：又 ab| na, ab| nb二 ab n.2.设印卫?，IH,an是整数，且日'a 11
11、9; a* =0,玄咼川a* = n则4| n. (8分)2若n疋奇数,则n,a-i,a2 J|,an都疋奇数，则a1 +a2 *111 +an =0不可能，二2 n. 即在印42,川,an中至少有一个偶数.如果只有一个偶数，不妨设为印，则2不证明：整除aM2勻兰n).由a2+a3+川+an =-可知,左边是(n-1)个奇数的和，右边是偶数，这是不可能的. 二在a1,a2J|,an中至少有两个偶数,即4 n.精品文档3.任给的五个整数中，必有三个数之和被3整除.(8分)3.设ai =3qi 斤，0 乞： 3,i =1,2,3,4,5. 证明：(1)若在斤中数0,1,2都出现，不妨设1 =0,2
12、 =1,3 =2,则aia2a3 =3(q1 q-qa) 3成立.若在A中数0,1,2至少有一个不出现，则至少有三个a取相同的值，令r, =r2 =r3 =r(r =0,1或2), 则aa2a3 =3(q1q2 q3)亠3r成立.4.设 a,b是整数,且9|a2 ab b2,则3|(a, b).(8 分)4.；9 a2 +ab +b2点 9 (a -b)2 +3abj” 3 (a -b)+ 3abj” 3 (a b) ,; 3 a b,二 9 (a -b) ,” 9 3ab,二 3 ab,二 3 a或3 证明：若 3a,：3|ab,”3b.若3 b. ：3 a -b,. 3故 3(a,b).a
13、.b.5.设 a, b是正整数，证明(a - b)a, b二 ab, a - b .(8 分)ab b(a b)5.(a b) a, b = (a b)a,(a,b)(a,b)证明：；b(a +b) =b,a+b(b,a +b),而(b, a +b) =(a,b), 二 b(a +b) =b, a +b( a,b), 即世 D二出卫b,.结论成立(a,b)6.当 a 三b(mod m)时，又n 0, n N ,则an 三 bn(mod m). (6 分)6. * a 三b(modm),二 m a b,证明：又an -bn =(a -b)(an° anJ2b an"b2 |l
14、( bn4),-bn，即an 三 bn(mod m).7.设A二Xi,X2,IH,Xm是模m的一个完全剩余系，以x表示x的小数部分.m-I彳证明:若(a,m) =1,则' =(m-1). (10 分)i# m 27.由定理2知,ax1 b, ax2 bl,axm b也是模m的一个完全剩余系， 证明：可设a b = km j (1巴j込m),m ax +bmjm mJ jm4 j从而、空2八化丄jj 丄i 1 m j 1 m j =1 m jm j#m1 m(m-1) m-1 m18.设N,证明:;：(n) =n的充要条件是n = 2k,k w N .(10分)2精品文档精品文档精品文档
15、8.二 若n =2k,贝U (2k2k(1-2k-.=若(n)二-,设-=2kt,2 |t,2证明：则 n = ：(n) = ：(2kt) (2k)(t) =2k-1(t) = 12kt二 n 即(t)=t, . t=1,从而得证.(注(n) =1= n =1 或2)9.设n EN,则5|1n+2n +3n+4n= 4n.(10 分)9. ； (5) =4,由定理知,k4 三 1(mod5)(1“ 乞 4).令门=4q 卄,0 空兰3,则 1n +2n +3n +4n 三(14广 T +(24)q+(34)q 3 +(44)q 4证明：三 1r 2r 3r 4r(mod5).二若5 汁 +2n
16、 +3n +4n,即得5 |1r +2+3r +4；把r =0,1,2,3代入检验可知 r=0二 4 n;u 若4 n,则r =0,易知5 |1r +2+3 +4,二 5 |1n +2n +3n +4n.10. 设m是正整数，(a,m)=1,证明：x三ba"m)°(modm)是同余方程ax三b(modm)的解.10. ：(a,m) =1,由 Euler定理，则 a (m)三 1(modm). 证明：二 ax 三b 三a"m)b(mod m),；(a,m) =1,二 x 三 a象m)-1b(mod m).p-111. n是模p的二次非剩余的充要条件是n三一1(mod
17、 p).(10分)11. 若(n, p) =1,则由 Euler定理,np-1 三 1(mod p),p -1p -1.(n亍 1)(n-1) = 0(mod p),p -1p-1证明：p是素数，则n2 ，1三0(modp)或n 2 -1三0(modp)中必有一个成立，p-1:n是模p的二次剩余的充要条件是n2三1(modp),p 1.n 2 三 1(mod p).12. 设y =admod p), y =a2(mod p)都是模p的平方剩余y =d(mod p), y =d(mod p)都是模p的平方非剩余(10 分)求证：y三a1a2(mod p), y三b1b2(mod p)都是模p的平
18、方剩余 y三qbmod p)是模p的平方非剩余.12由定理1知，p 1 p jp j p j证明.冃 2 三a?2 三 1(modp),b2 三b22 三1(modp),pAp 1p d.三gb2)r 三 1(mod p),(a.U尸三-.(modp),.得证.13. 设p,q为两个形如4n 3的奇质数，求证:若x2三p(mod q)无解，则x2三q(mod p)有两个解.(10分)13证明：p,q均为形如4n 3的数” 均为奇数，2 2p A q-1又 t x 三 p(mod q)无解，.(卫)-1,则(°) =(-1) 2 2 (卫)-(卫)=1.qpq q.x2 三 q(mod
19、 p)有解，设c是其一解，则因为 cw-c(mod p),且(-c)2 二 c2 三 q(mod p),.-c也是其一解，又因为二次同余方程至多有两个解，故x2三q(mod p)恰有两个解为 二c.14. 设p是适合p三1(mod4)的素数，y "(mod p)是模p的平方剩余.证明：y = a(mod p)也是模p的平方剩余.(8分)p14证明:令p =4k -1由定理 1 知,a 2 三 1(mod p),P 4贝则(-a) 2 三 1(modp).15. 设n是整数，证明:n2 1的任何奇因数都是4m 啲形式.(10分)15证明：由于奇数都可表示成奇素数之积，而且任意多个形如4
20、m 1的整数之积也具有4m V的形式. 我们只需证明：若素数p是n2 1的因数,则p具有4m V的形式.若p|n21,则n2 三 1(mod p)，即-1 QR(p),由以上推论知，p = 4m 1.16. 若p是素数,则同余方程xp-1三1(mod p)有p -1个解.(8分)16证明：由费马定理(Fermat定理)可知,任意与p互质的数都是它的解.因此,这个同余方程恰好有p-1个不同的解，即x =1,2,3,|山 p-1(mod p).n17. 设N =aJ0n+an-110n-1+川+a 10+ao,求证：9 | N 台 9|迟 ai.(8分)i=D17. ：10 三 1,1(/ 三 1
21、,1(/ 三 1,，10n w1(mod9),.N =an10° anj10n 1 JH ai10 a。三a* anj III y ao(mod9);18. 求证:641|221.(8 分)18<h22 三4,24 三 16,28 三 256,216 三 154,232 三-1(mod641),二 232 +1 三0(mod641),二 641 22 +1.19. 证明:若m,n N ,则(mn) = (m, n) ( m,n). (10 分)19证明：易知mn与m, n有相同的素因数,设它们是(仁i乞k).11 1则 (mn) =mn(1-)(1-)|1(1-),P1P2Pk111;：(m ,n)可m, n(1-)(1-) 11| (1-),P1P2Pk mn 二(m, n)m, n,111：(mn)=(m,n)m,n(1-)(1-)|l|(1-)=(m,n) (m,n).P1P2Pk20. 设p是素数，则对于任意的整数a,有aP三a(mod p). (8分)20证明:若(a, p) =1,由Euler定理,apJ 1(mod p),(： (p)二 p-1), ap 三 a(modp).若(a, p) >1,贝卩pa, ap三0三a(mod p),二结论成立