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1、初中七年级数学培优训练（奥数）专题 19最值问题阅读与思考在实际生活与生产中， 人们总想节省时间或费用， 而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上,就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题 的相关知识与基本方法有：1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解 .4、借用几何中的不等量性质、定理等 .解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子例题与求解【例 1】 若 c 为正整数，且 a b c, b c d
2、,d a b,则（a b）（b c）（c d）（d a） 的最小值是.（北京市竞赛试题）解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a, b, d及待求式用c的代数式表示【例2】已知实数a, b满足a2 b2 1 ,则a4 ab b4的最小值是（）A. 1B.0C.1D. 988（全国初中数学竞赛试题）解题思路：对a4 ab b4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题【例3】 如果正整数x1 ,x2, x3, x4 ,x5满足x1 x2 x3 x4 x5= x1x2x3x4x5,求A的最大值.解题思路：不妨设 x1 x2 x3 x4 x5, 由题中条件可知11111, 一 =1.结
3、合题意进行分析.*2*3*4%*遇3*4*5为*24*5*通2*3*5、*2*34【例4】已知x, y, z都为非负数，满足x y z 1 , x 2y 3z 4,记w 3x 2y z,求w的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w .【例5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000 米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100 米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4 根，要求完成运送18 根的任务， 并返回仓库，若工程车每行驶1 千米耗油m 升 （在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n 元，求完
4、成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5 次，而 5 次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6】直角三角形的两条直角边长分别为5 和 12，斜边长为13， P 是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为di, d2, d3 ,求di + d2 + d3的最大值和最小值，并求当 di + d2 + d3取最大值和最小值时，P 点的位置.（ “创新杯”邀请赛试题）解题思路：连接 P 点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.d , dD.1c a, b a c,那么a b c d的最（全
5、国初中数学联赛试题）一 227.已知x y a, z y 10,则代数式x y2z xy yz xz的最/J、值是A.75B.80C.100D.105）.（江苏省竞赛试题）8.已知x , y , z均为非负数，且满足 x y z=30,的最小值与最大值分别为（）.A.110, 120B.120 , 130C.130,3x y z 50 ,又设 M 5x 4y 2Z ,则 M140D.140, 1509.已知非负实数x, y, z满足- 2-y 23-3,记w 3x 4y 5z.求w的最大值和最小值 4能力训练1 .社a, b, c满足a2 b2 c2 9 ,那么代数式（a b）2 （b c）2
6、 （c a）2的最大值是.（全国初中数学联赛试题）2 .在满足x 2y 3,x 0,y 0的条件下，2x y能达到的最大值是 .（“希望杯”邀请赛试题）3 .已知锐角三角形 ABC的三个内角 A, B, C满足A>B>C.用 表示A-B , B-C ,以及90-A中的最小值, 则的最大值是（全国初中数学联赛试题）4 .已知有理数 a, b, c满足a>b>c,且a+b+c=0,.那么，的取值范围是 .a（数学夏令营竞赛试题）5 .在式子x 1 x 2 x 3 x4中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A.1B.2C.3D.46 .若a, b, c, d是整数，b是正整数，且满足 b c 大值是（）.A.-1B.-5C.0（“希望杯”邀请赛试题）10.某童装厂现有甲种布料38 米，乙钟布料26 米，现计划用这两种布料生产L， M 两种型号的童装共50套，已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5 米，乙种布料1 米，可获利45 元；做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9 米，乙种布料0.2 米，可获利30 元，试问该厂生产的这批童装，当L 型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）