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1、3.3单调性的分类讨论（第三课时）思潍导图导用解啤调零点 gmw理译邛i雒鹏的意里都区间 妗*!考向分析【例1】（2019福建）已知函数 f xx2+aln（x 1）。（I）若函数y f x在区间2,）上是单调递增函数，求实数 a的取值范围;（II）若函数y f x有两个极值点 为E且x1x2,求证2 f x2Xilnfe【答案】（I）12,）（ n）见证明【解析】（I）2 一 一一由题息，函数 f x x +a ln（x 1）,则fa2x+,x 1又函数y fx在区间2,）上是单调递增函数，故0在2,）上恒成立,a即 2x+ x 10 在2,）上恒成立，故a2x(x1)在2,）上恒成立,设
2、g(x) 2x(x 1),x 2,），则ag ( x) maxg(2)12故实数a的取值范围为12,）；(11)易知 f x 2x+ ax 12x(x 1)- 2a 2x2x a依题意可知2x2 2x a 0在（1,）内有两根x1,x2 ,且 x1设 h(x) 2x2 2x a ,则有8a 0h( 1) 0一 24 8a 11 2a又 Q x2 ，x2 0由根与系数关系有x1 x21XiXi X21 x22x2(1 x2)故 2f x22x2 2aln(x2 1)2x2xi1 x2x24x2 ln(x21)(2 x20),令 k(x)12x24x ln(x 1) x0)，则有k (x)2x2
3、一2 4ln( x (1 x)1), k(x)24x 12x 4(1 x)32-4(x2 3x 1)-3，(1 x),1又“2)10 , k (0) 0,故存在唯一 x0 ( ,0),使得 2k (xo) 0易知当x (1一,x0)时有 k(x) 0,当 x (%,0)时有 k(x) 0, 2故k(x)在八x)上单调递减，在(xo,O)上单调递增,11 一又 k( 一) 2 In16 0, k(0) 0,故对 x ( ,0),均有 k(x) 0,221 . 1 .故k(x)在(一,0)上单调递减，又k(-),44In - , k(0) 0 ,故 0 k(x) In -,2f x2xi, 4 .
4、In ,命题得证.e例 2设函数 f(x)= x2+axlnx.若a=1,试求函数f(x)的单调区间;人 / 、 f(x) 4一一一、(2)令g(x) TV ,若函数g(x)在区间(0, e1上是减函数，求实数 a的取值范围.【答案】(1) f(x)在1，、八二，0,-上单调递减，在212,上单调递增.(2) (一 ,2【解析】当a=1时，f(x)=x2+xlnx,定义域为(0, 十 0°),所以 f'(x) 2x 112x2 x 1 (x 1)(2x_ , ,1 ,41 ，所以当0vxv时，f x)<0,所以f(x)在0,-上单调递减,22当x> 1时，f
5、9;x)>0,所以f(x)在21、,_-,上单调递增.2(2) g (x)f(x)xex2ax In xx,定乂域为(0, +00), e则/、g (x)1 .(2 a)x a - In xx，xe1. 一 一 11 一令 h(x) = - x2+(2-a)x+aFlnx,则 h(x) 2x - - 2 a ,xx x21令 m(x)= h x), xC (0, + oo),则 m (x)2 0 ,x x故h'x)在区间(0, 1上单调递减,从而对任意的xC (0,1,h x h 1 =2 a ,当2 a>Q即aW2时，h'x) 刊所以h(x)在(0, 1上单调递增
6、，所以 h(x)由(1)=0,即 g'x)WQ所以g(x)在区间(0, 1上是减函数，满足题意;当 2 a<0,即 a>2 时，h' (1)0,122221而 h a 2 2 a 0,0 1 ,a aaa所以y=h'x)在区间(0, 1上有唯一零点，设为 x0,所以h(x)在(0, x0)上单调递增，在(x。，1上单调递减,所以 h(x0)>h(1)=0,而 h e e2a (2 a)ea a ea Ine a e2a (1 a)e a 0,所以y=h(x)在区间(0, 1)上有唯一零点，设为 x；即函数g'x)在区间(0, 1)上有唯一零点,
7、所以g(x)在区间(0, x'上单调递减，在(x', 1)上单调递增，不满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(一，2.【举一反三】1.已知函数 f(x) (3 2x)exax 2,其中e为自然对数的底数.若函数f(x)在2,1上是单调函数,求实数a的取值范围;【解析】由题可得f (x)2ex(3 2x)exa (1 2x)ex a ,因为函数f (x)在2,1上是单调函数，所以当x 2,1时，f (x) 0恒成立或f (x) 0恒成立，即当x 2,1时，(1 2x)ex ax0恒成立或(1 2x)e a 0恒成立,所以当 x2,1时，a (12x)exmax 或 a(1 2x
8、)exmin.令 g(x)(1 2x)ex,2 x1,则 g (x) (1 2x)ex,1、一 1令 g (x) 0,可得 2 x 5；令 g(x) 0 ,可得-x< 1 ,所以函数g(x)在2, 1)上单调递增，在1,1上单调递减， 22所以g(x)maxg( 2)一5.又 g( 2)2 , g(1)ee,所以 g( 2) g(1),所以 g (x) min g(1)e,.22、所以a 尸或a e,故实数a的取值范围为(，eU尸，).、ee2.已知函数 f (x) = aex- lnx - 1.(1)设x= 2是f (x)的极值点，求 a,并求f (x)的单调区间;(2)证明：当a时，
9、f (x) >0.e【答案】见解析【解析】(1) ,函数 f (x) = aex - lnx - 1. . x>0, f (x) = aexx= 2是f (x)的极值点, f' (2) = ae2-y= 0,解得f (x)=r-ex- lnx - 1, f' (x)= 2 /4,it当 0vxv 2 时，f' (x) < 0,当 x> 2 时，f' (x) >0,f (x)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)证明：当 aL时，f (x) 亚一 -lnx - 1, ee设 g (x)=与lnx - 1,贝U . (
10、工)二- 1, ee x由(£)U-L= 0,得 x= 1,* e k当 0vxv 1 时，g' (x) V 0,当 x> 1 时，g' (x) > 0, x= 1是g (x)的最小值点，故当 x>0 时，g (x)为(1) = 0, .,.当 a1时，f (x) >0.融会贯通令 g(x) = x2ex, h(x) = g'x)= 2x ex,，h'x) = 2ex.当 xC 1 , + 8时,h'x)=2 exW2 e<0,，h(x)= g ' x) = 2x ex 在1 , + 00止单调递减，h(x
11、)=2x-ex<2-e<0,即 g'x)<0,g(x)=x2- ex在1 , + 00止单调递减，1- g(x)= x2- ex可(I) = 1 - e,故若f(x)> 1在1 , + 8止恒成立，.一 _、1 一 e 一、一一 1 一 e则需2a>g(x)max= 1 e,a>一2一，即实数a的取值范围是 一升，十°0./(Jt) = (1+ 口)必-fTU-a -F 12,已知函数'7f(X(1)讨论函数的单调性；(2)若 ，求证：当 时，函数"的图像恒在函数一的图像上方.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】(1
12、)函数的定义域为(8+8；且。(工)=2(1+0次一1 =2计/'-1 工X<-in, f(x)<0 班吊班当 时，,函数 在 上为增函数；当叱一二时，令d,解得现“幻此时函数欣* 翳)上递减，在(需'+可上递增£z< 1 r x>0 r 入 m xf(x) > liw+ (l + a)x3 (DP + oo) t(2)证明：若 ，则当 时，问题转化为不等式'在上恒成立x(l -+4-1 > lux 4-(1 + ajx3 -d (0, + oo)只需要证明在上恒成立即证在上恒成立F(jc) = lux =- -a + 1令
13、因为.= l易得也在。工单调递增，在口 +上单调递减，所以F/一I9- -lutf-1又/幻二一丁"=，当时，/7，当工”时，。* 所以g在(°上递减,在("B)上递增,M *跃旬二fl + i 1所以又-，所以 即f皿血若，所以m x工口+'在I"+00)上恒成立所以当 时，函数 八,的图像恒在函数3的图像上万.3 .已知函数 f(x) = xln x ex+1.求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2)证明：f(x)<sin x在(0, + 00止恒成立.【答案】见解析【解析】(1)解 依题意得f'x)=ln x
14、+ 1 - ex,又 f(1)=1 e, f'(号1e,故所求切线方程为y- 1 + e=(1 -e)(x-1),即 y=(1e)x.(2)证明依题意，要证 f(x)<sin x,即证 xln x-ex+ 1<sin x,即证 xln x<ex+sin x- 1.当 0<xWl时，ex+ sin x 1>0, xln x<Q故 xln x<ex+ sin x 1,即 f(x)<sin x.当 x>1 时，令 g(x)= ex+sin x 1 xln x,故 g 'x)= ex+ cosx In x 1.1.令 h(x) =
15、g x)=ex+ cos x ln x 1, 则 h x) = ex - sin x, x当 x>1 时，exx>e 1>1,所以 h x)=ex-x-sin x>0,故 h(x)在(1, + 00止单调递增.故 h(x)>h(1)= e+cos 1 1>0,即 g'x)>0,所以 g(x)在(1, 十00比单调递增，所以 g(x)>g(1)= e+ sin 1 - 1>0,即 xln x<ex+sin x 1,即 f(x)<sin x.综上所述，f(x)<sin x在(0, + 00止恒成立.4 .已知函数 f(
16、x) = ax ex(aCR), g(x)= ln x(1)求函数f(x)的单调区间;(2)?xC (0, + °°),使不等式f(x)啕(x) ex成立，求a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为f' x) = a-ex, xC R.当awo时，f' x)<0, f(x)在R上单调递减；当 a>0 时，令 f x)= 0,得 x= In a.由f' x)>0 ,得f(x)的单调增区间为(一8, in a)；由f' x)<0,得f(x)的单调减区间为(in a, + 8).综上所述，当awo时，f(x)的单调减区
17、间为(一8,十8),无单调增区间；当a>0时，f(x)的单调增区间为(一00, in a),单调减区间为(in a, + 8).(2)因为？xC (0, +8),使不等式 f(x)啕(x) ex,axJnA 即 a招x xxMx)：1号，则问题转化为aw粤 xxmax,h'x) = 123n-,令 h'x)=0,得 x=e. xx(0, 'e)Ve(e, +8)h'x)十0一h(x)1极大值不2ex在区间(0, + 8内变化时，h，x), h(x)随x变化的变化情况如下表:由上表可知，当x=、e时，函数h(x)有极大值，即最大值为 1-,所以a<1.
18、 NDND1故a的取值氾限一皿,2e .5. (2019武汉调研)已知函数f(x)=in x+ a, aCR. x(1)讨论函数f(x)的单调性；2a 1(2)当 a>0 时，求证：f(x) > o . a【答案】见解析解析(1)f'x)=1_ m=(*>0). x x x当awo时，f'x)>0, f(x)在(0, + 8止单调递增.当a>0时，若x>a,则f' x)>0,函数f(x)在(a, + 00止单调递增;若0<x<a,则f'x)<0,函数f(x)在(0, a)上单调递减.综上所述，当awo时
19、，f(x)在(0, +8止单调递增；当a>0时，f(x)在(0, a)上单调递减，在(a, + 00止单调递增.(2)证明：由 知,当 a>0 时,f(x)min=f(a)=ln a+1.要证 f(x) >a1,只需证 ln a+1 左一1 .即证 in a+- 1 >0. aaa111a 1令函数 g(a)= in a + g1(a>0),则 g 劲=£ 一当 0<a<1 时，g'a)<0;当 a>1 时，g'a)>0,所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1, + 00止单调递增，所以 g(a)min
20、= g(1) = 0.所以 in a+- 1>0恒成立， a2a 1所以f(x) f成立. a6.已知 f(x)= xin x, g(x) = x2+ax3.(1)若对一切xC (0, +8), 2f(x)福(x)恒成立，求实数 a的取值范围.(2)求证：对一切 xC (0, + 00), in x>Tx- 2恒成立. e ex【答案】见解析【解析】(1)由题意知2xin xA x2+ax3对一切xC (0, + 8庖成立,3则 a< 2inx+ x+ - x3(x 3)( x 1)设 h(x) = 2in x+x + -(x>0),则 h'x)=.xx当 xC
21、 (0,1)时，h'x)<0, h(x)单调递减；当 xC (1, + 8时,h，x)>0, h(x)单调递增.所以 h(x)min= h(1)= 4,因为对一切xC(0, +8), 2f (x)再(x)恒成立，所以a母(x)min = 4,故实数a的取值范围是(一8, 4,(2)证明：问题等价于证明xin x>一2(x>0).e e因为 f(x) =xin x(x>0), f'x) = in x+1,当xC 0, 1时，f'x)<0, f(x)单调递减； e当 xC 1, +00 时 f'x)>0, f(x)单调递增，
22、所以 f(x)min = f' = 1 ee ex 2 一, ,1 x设 m(x) = -(x> 0),则 m'x) = T, e ee当 xC (0,1)时,m'x)>0, m(x)单调递增;1当 xC (1, + 8时，m x)v 0, m(x)单倜递减,所以 m(x)max= m(1) = 3,从而对一切x (0, + oo), f(x)>m(x)恒成立，即xln x>2恒成立. e e所以对一切x (0, + oo), ln x> 42恒成立. e ex7. (2018开封高三定位考试)已知函数f(x)=ax+ x2xln a(a&
23、gt;0, awl)(1)求函数f(x)的极小值；(2)若存在x，x2C 1,1,使得|f(x。一 f(x2)| K 1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)f'x)=axin a+2xln a= 2x+(ax1)ln a.;当a>1时，In a>0,函数y=(ax 1)ln a在R上是增函数，当0<a<1时，In a<0,函数y=(ax 1)ln a在R上也是增函数，.当a>1或0<a<1时，f' x)在R上是增函数，又 f'(今0, .f'x)>0的解集为(0, +8)f
24、&)<0的解集为(一8, 0),故函数f(x)的单调递增区间为(0, +8),单调递减区间为(一8, 0),函数f(x)在x = 0处取得极小值1.(2) .存在 x1, x2> 1,1,使得 |f(x1) f(x2)|1,.只需 f(x)max一 f(x) min >6 1 即可.由(1)可知，当xC1,1时，f(x)在1,0上是减函数，在(0,1上是增函数，当 xC 1,1时,f(x)min=f(0) = 1, f(x)max 为 f( 1)和 f(1)中的较大者.f(1)-f(-1)=(a+1-ln a)- "+1 + ln a = a- 1-2ln
25、a, aa令 g(a)=a1 2ln a(a>0), a. g'a) = 1 +4一2= 1 - 1 2>0, a a a g(a)= a-2ln a 在(0, + 00止是增函数.a而 g(1) = 0,故当 a>1 时，g(a)>0,即 f(1)>f(1);当 0<a<1 时，g(a)<0,即 f(1)<f(-1).当 a>1 时,f(1) f(0)m,即 a ln a21.由函数y=aln a在(1, + 00止是增函数，解得 a>当 0<a<1 时，f(一 1)一f(0)1,即1+ ln a>e
26、 1,a由函数y = -+ In a在(0,1)上是减函数，解得 0<a. ae综上可知，所求实数a的取值范围为0, 1 Ue, +8).e10,设函数 f(x)=x2+ax lnx.若a=1,试求函数f(x)的单调区间;(2)令 g(x)f(x) #、_,右函数g(x)在区间(0, e1上是减函数，求实数a的取值范围.- 2,上单调递增.(2) (一 ,2【答案】(1) f(x)在1，、八二，0,1上单调递减，在2【解析】(1)当a=1时，f(x)=x2+x- lnx,定义域为(0, + 0°),所以 f'(x) 2x 1 1 2x2 x 1 (x - 1), x x
27、x所以当0vxv工时，f'x)V0,所以f(x)在21，、八二，0,1上单调递减,2当 x> 1 时，f x)>0, 2上单调递增.2,小、，、 f (x) x ax In x(2) g(x) x, te乂域为(0, + 0°),ee则/ g (x)21,x(2 a)x a-Inxx，xe“c1一11令 h(x) = x2+(2a)x+aF lnx,则 h (x) 2x 2 xx x21 一令 m(x)=h x), xC (0, + 8),则 m(x) 2 0 ,x x故h'x)在区间(0, 1上单调递减,从而对任意的xC (0,1,h x h 1 =2a
28、,当2 a>Q即aW2时,h'x) 刊所以h(x)在(0, 1上单调递增,所以 h(x)由(1)=0,即 g'x)WQ所以g(x)在区间(0, 1上是减函数，满足题意；当2 a<0,即a>2时，h'(秘0,122221而 ha 2 2a 0,01 ,aaaa所以y=h'x)在区间(0, 1上有唯一零点，设为X0,所以h(x)在(0, x°)上单调递增，在(x。，1上单调递减，所以 h(x0)>h(1)=0,而 h e e2a (2 a)e a a eaIn e a e2a (1 a)e a 0,所以y=h(x)在区间(0, 1)
29、上有唯一零点，设为 x；即函数g'x)在区间(0, 1)上有唯一零点，所以g(x)在区间(0, x'上单调递减，在(x', 1)上单调递增，不满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(一，2.2 左l p 里二2a x1.已知函数 f(x) = x (a C R). e求函数f(x)的单调区间；(2)若？xC 1, +8),不等式f(x)> 1恒成立，求实数 a的取值范围.【答案】见解析2 2x 2a【解析】(1)f' x) =x,e,1 一当 a< 2时，x* 2 2x 2a>0, f x) >Q二.函数f(x)在(一00, + OO上单调递增.,1 一当 a> 2时，令 x2- 2x- 2a=0,解得 x1= 1 42a+1, x2= 1 + 2a+ 1.，函数f(x)的单调递增区间为(一00, 1 、2a+1)和(1+42a+1, + °°),单调递减区间为(1 J2a+ 1, 1 +<2a+ 1).22a x9 xf(x)>1?>-1? 2a>x2ee由条件知，2 a>x2 ex又t?x>l恒成立.