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1、教学基本信息课题1.3.1函数的单调性与导数是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段： 高中年级高二相关领域函数，导数教材书名：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 （A版）出版社：人民教育出版社 出版日期：2007年1月 第2版教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者刘嘉北京市朝阳外国语学校13810668422实施者刘嘉北京市朝阳外国语学校13810668422指导者王文英朝阳区教育研究中心13611080557指导者刘力朝阳区教育研究中心13911043375指导者蒋晓东朝阳区教育研究中心13691553798指导者王秀彩北京市94中13716400679课件制作者刘嘉北京市朝阳外
2、国语学校13810668422指导思想与理论依据指导思想:循数学课程标准，突出“以学生为中心”的教学理念坚持以教师为主导，以学生为主体，倡导自主探索、合作交流等学习方式，采取符合学生认知特点的多样的教学方法，通过教学过程的实施，帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，促进学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界课程标准中还提到要注重数学不同分支和不同内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力理论依据：1.建构主义学习理论。情境、协作、会话和意义建构是学习过程中的四大要素。知识
3、不是从外界搬运到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用而获取，通过意义建构的方式而获得。教师的作用是创设情境，组织协作和会话，搭建“脚手架”促进学生主动建构。2布鲁纳的认知发现学习理论。学习的实质是主动形成认知结构.布鲁纳认为学习是一个积极主动的认识过程，学习者不是被动地接受知识，而是主动地获取知识，并通过把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系教学背景分析教学内容分析函数的单调性与导数这节课是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第三章导数及其应用第三节的内容，是在学生学习了导数的概念、导数的几何意义、导数的计算的基础上学习的内容.是学习了导数这个
4、工具之后的一个具体应用。在必修1我们已经学习了函数的单调性，利用导数来研究函数的单调性，相比于必修1的方法，具有较大的优越性，能研究更为广泛的函数。学好本节课的内容，既可以加深对导数概念的理解，又可以为后面研究函数的极值与最值打好基础，可以让学生循序渐进地体会利用导数这一工具研究具体函数的一般性方法和思路。同时，本节课又有承前启后的作用，既可以对必修1函数的性质进行更为深入的研究，又可以为今后学习高等数学的内容打好基础.本节课学习任务的分解：任务1借助几何直观，探索函数单调性与导数间的关系任务2理解函数的单调性和导数间的关系任务3会用导数研究函数的单调性任务4知道函数的增减快慢与导数间的关系任
5、务5会根据导函数的信息作出原函数的草图本节课知识要素的分解：本节的知识要素（概念和原理）概念2函数的单调性 导数原理1函数的单调性与导数正负的关系原理2函数变化快慢与导数绝对值的关系学情分析我所教班级的学生能够比较熟练地用图形计算器对函数的图象及其性质进行简单的研究.认知基础方面，学生在高一已经学习了函数的单调性的定义，并能利用定义判断部分函数在给定区间上的单调性.学生还学习了基本初等函数，对基本初等函数的图象及其单调性比较熟悉，大部分学生会用数形结合的思想方法研究简单的数学问题.但是学生刚刚接触导数的概念，理解这种抽象概念的实际意义、几何意义，对于学生来说本来就是难点。本节课就要把导数概念及
6、其几何意义作为工具来研究函数的单调性。如何发现函数的单调性与导数之间的联系，更好地与必修1所学的单调性加强联系，体会这种方法的优越性，以提升对函数性质的认识，整体把握函数与导数的知识体系，这对大多数学生来说很具有挑战性,也是本节课学生学习的难点。根据教学内容解析和学情分析，我制定了本节课的教学重点和难点如下：重点：利用导数研究函数的单调性. 难点：利用导数的概念及其几何意义,结合必修1函数单调性的内容研究函数的单调性.教学策略分析：本节课采用“问题探究式”的教学方式，和多媒体辅助与信息技术相结合的教学手段，为不同认知基础的学生提供了独立思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习活动技术准备：PP
7、T，图形计算器，多媒体投影,几何画板，视频编辑软件 教学目标(内容框架)高中数学课程标准中明确指出“在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值”.基于这样的要求和学生知识和能力储备的情况，我制定了以下教学目标：（一）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；会利用导数求函数的单调区间。（二）通过对“函数的单调性与其导函数的关系”的探究，经历由直观到抽象，由特殊到一般的过程，感悟蕴含其中的数形结合思想；（三）通过图象、函数单调性的定义与导数方法研究函数性质的比较，体会导数方法在研究函数性质时的一般性、有效性和优越性，感受数学自身发展的一般规律.教学过
8、程流程图三阶段，五环节活动一：高台跳水创设情境活动六：实践探究活动五：应用练习活动三：练习活动四：理论论证活动二：实践论证活动七：总结活动八：作业应用阶段论证阶段发现阶段归纳小结学以致用探究新知布置作业教学过程(文字描述)（一） 创设情境活动一：观察：观察2016里约奥运会女子双人高台跳水夺金视频。 图1是高台跳水运动员速度随时间变化的函数的图象；图2是运动员高度随时间变化的函数的图象。 图1 图2问题1：从起跳到最高点，即时，运动员的速度于0，这段时间其高度如何变化呢？从最高点到入水，即时运动员的速度小于0，这段时间其高度又如何变化呢？我们知道，正好是，由此请同学们猜想在某区间内，导数的符号
9、与原函数单调性的关系。 预设学生活动：通过观察高台跳水视频，结合自身经验，感受速度和高度的单调性之间的关系。预设学生回答：运动员从起跳到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数。相应地，；从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减小，即是减函数。相应地，；由此猜想，在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增；若导数为负，则原函数在此区间单调递减。设计意图：使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用。承上是因为这个例子贯穿导数这章的整个教材，在导数的概念，导数的几何意义等节都出现了，学生对这个情境非常熟悉，教材在导数的几何意义那节，已经明确的提到
10、了某点导数的正负和该点附近单调性的关系。启下是可以通过这个例子，学生发现导数和单调性的联系，引出接下来的探究活动。另外，刚结束的里约奥运会上，我国包揽了10米高台跳水的4枚金牌。因此，这个情境也具有较好的时效性和爱国主义教育价值。（二） 探究新知孤证不足为凭，这种规律是否具有一般性呢？活动二：绘制一些函数，验证你的猜想是否正确。预设学生活动：通过图形计算器，或者直接徒手绘制草图，通过图象直观感知函数的单调性与导数的关系1.画出原函数图象，观察其单调性，并直接计算其增减区间里的导函数，发现函数的单调性和其导数的正负的关系。2.画出原函数图象，观察其单调性，并作出其上任意一点的切线，通过切线的斜率
11、来判断导数的正负和原函数的单调性的关系。3.徒手绘制函数草图，通过图象验证函数的单调性和导数的关系。 预设学生活动结果：1. 实践验证猜想成立，即在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增；若导数为负，则原函数在此区间单调递减。教师应对：此时以为例，提问若将条件弱化为，在某区间导数非负，能否依然得出原函数在此区间单调递增。学生可以通过常函数的反例否定此猜想。教师进一步指出，若导数在一些孤立点为0，其余时候都大于0，此时依然可以得出原函数单调递增。2. 学生在验证过程中，受的影响，修改猜想为在某区间导数非负，原函数在此区间单调递增。教师应对：引导学生讨论此猜想是否成立。3. 学生若自选函数
12、阶段，选取了常值函数研究。教师应对：首先指出这并不能否定之前的猜想。之后引导学生思考，在某区间导数非负，能否得出原函数在此区间单调递增。设计意图：通过更多的例子，帮助学生归纳出函数的单调性与其导数正负的关系。前2个例子为学生非常熟悉的初等函数，学生可以通过直接计算导数，或者使用图形计算器等工具画出原函数导函数图形观察等多种方法得出结论。第三个例子学生自选函数研究，增加活动的开放性.丰富性。问题2：结合所给出的函数的图象思考，当导函数满足什么条件时，原函数的图象一定是上升的？当导函数满足什么条件时，原函数图象一定是下降的？设计意图：明确本课的研究的主要问题，归纳出本节课的的主要结论。预设学生回答
13、：一般的，在某个区间內，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。设计意图：从分类不重不漏的角度，既然在某个区间内，恒成立和恒成立，对应的函数的单调性都已经讨论了，自然而然还需要回答恒成立的情况。同时，解决了这个问题，也解释了为什么在某个区间内，恒成立不能推出在这个区间上递增，恒成立不能推出在这个区间上递减。可导函数在区间内单调递增的充要条件是在区间内恒成立且的根不构成连续区间。这个充要条件一般不需要跟学生说明。但是如果课堂上讨论到这里了，可以适当介绍。问题3：如果在某个区间，恒有，那么函数有什么特性？预设学生回答：如果在某个区间内，恒有，那么函数在这个区间上是常
14、函数。活动三：练习：判断的单调性，并求出单调区间。设计意图：在归纳出结论后，马上对结论进行应用。通过（初等）图象、定义方法与（高等）导数方法的比较，体会导数方法在研究函数性质时的一般性、有效性和优越性。感受数学自身发展的一般规律.预设学生解答：求导得：令时，解得；令时，解得所以的递增区间是和；的递减区间是预设学生错解：的递增区间是教师应对：在学生完成例题后，指导学生用图形计算器画出函数图象，检验结果是否正确。结合图象，让出错学生观察，函数在这个范围内并不是单调递增的。由此是学生亲身感受到单调区间不能取并集。问题4：之前我们通过实践检验了我们发现的法则的正确性。你能解释这个发现的正确性？比如从导
15、数的几何意义，或者单调性的定义等方面。设计意图：通过活动1，活动2，活动3，学生对函数的单调性和导数的正负的关系有了初步的认识。为了把这种认识从感性上升到理想的高度，教师需要进一步追问。教师引导学生，可以从两个方面来说明法则的正确性，第一从导数的几何意义，即切线的斜率，第二是从必修1的导数的定义及平均变化率的几何意义方面说明。此处不需要严格的证明。拉格朗日中值定理作为阅读材料给出。活动四：我们通过观察，归纳，猜想，操作检验等方法获得了上述结论。那么你能否解释一下这个结论的正确性？以单调递增为例，请尝试解释：已知内恒成立，为何在内递增。B凝血酶原时间检查外源性凝血系统凝血因子消耗情况根据单调性的
16、定义，要证明在内递增，只需证明，且，都有_答案 D回顾导数的定义，平均变化率的定义，以及函数的单调性的定义，发现它们之间的联系阅读材料：理由：甲公司确认的主营业务收入应该只是相对于总的销售收入70%的部分，另外的30%的部分应作为戊公司的销售收入。拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它反映了连续可导函数在某区间内的平均变化率和此区间内某点的瞬时变化率间的关系。定理等价于如下描述的：若函数是某区间内的连续可导函数，则，使得，其几何意义非常直观，贷：工程施工合同毛利 42即 是某区间内的连续可导函数，则此区间内任意两点连成的割线，都至少有一条切线与之平行，且切点依然在此区间
17、内。请同学们尝试解释说明此规律预设学生回答： 要证明在递增，只需证明都有，即函数在内任意两点连成割线斜率为正；借助几何直观可知，对任意割线，总存在一条切线与之平行。由于在内恒成立，因此在递增5、为了避免片面性，系统评价通常由和共同进行。B纤维蛋白单体 ED-二聚体（DD）（三）学以致用(二)以下第3小题至第6小题为互不相干的多项选择题。活动五：绘图：已知导函数的下列信息： 当时，当，或时，；试画出函数图象的大致形状.（为了保证函数可导，要求画平滑的曲线）答案 C设计意图：一是通过此题学生可以加深理解导函数是如何影响原函数的；二是希望通过此题来引出下一个探究的问题。 10上述交易或事项对甲公司2
18、0X4年度营业利润的影响金额是( )。4甲公司为一家机械设备制造企业，按照当年实现净利润的l0提取法定盈余公积。20X 1年3月，会计师事务所对甲公司200年度财务报表进行审计时，现场审计人员关注到其200年以下交易或事项的会计处理：预设学生作图：由于只给了导函数的正负，学生所作函数图象并不唯一。 A B 通过展示一些学生的作图，学生能感受到函数在每一段的图象，可能向内弯曲，可能向外弯曲，也可能是直线。即仅仅知道导数的正负还不足以确定原函数的图象，增减有快慢之分，图象有陡缓之别，那么这跟导数又有什么关系呢？ 活动六：通过活动5我们可以发现，函数的图象在有的区间比较陡峭，函数值变化较快；有的区间
19、比较平缓，函数值变化较慢，那么函数图象的这种特征又和导数有什么关系呢？老师给同学举了两个函数，大家在其图象陡峭和平缓的地方分别取三个点，研究其导数和原函数图象的陡缓，及函数值变化快慢的关系。（为了研究函数值变化的快慢，在同一区域取的三个点最好等距）函数1： 实践操作任务1. 记录：在陡峭区域取的第一个点 _,此时函数值 _, 此时导数值 _在陡峭区域取的第二个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _在陡峭区域取的第三个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _任务2. 记录：在平缓区域取的第一个点_,此时函数值 _, 此时导数值 _在平缓区域取的第二个点 _,此时函数值 _,此时
20、导数值 _，此时 _在平缓区域取的第三个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _交流 ：分析数据，猜想结论：在某范围内，导数_;函数值变化越_;函数图象越_.实践操作：函数2： 任务3. 记录：在陡峭区域取的第一个点 _,此时函数值 _, 此时导数值 _在陡峭区域取的第二个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _在陡峭区域取的第三个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _任务4. 记录： 在平缓区域取的第一个点_,此时函数值 _, 此时导数值 _在平缓区域取的第二个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _，此时 _在平缓区域取的第三个点 _,此时函数值 _,此时导数值 _
21、，此时 _交流：结论：在某范围内，导数_;函数值变化越_;函数图象越_。预设学生回答：学生有可能得出导数越大，函数变化越快，图象越“陡峭”的结论。这时应指导学生分析减函数的增减快慢与导数的关系。引导学生探究导数的绝对值与增减的快慢的关系。将同学们的探究结果归纳总结，便得到了以下结论：如果函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象比较陡峭（向上或向下）；反之，函数的图象就会平缓一些。设计意图：对活动2所得探究的结果的直接应用。随着探究的深入，学生能更深入地体会到导数在研究函数单调性时的优越性，完成对函数的单调性与导函数关系的第三次认识（四）归纳小结活动七：总结
22、请同学们从这3个方面对本课小结这节课我们学习了哪些新知识？我们如何获得这些新知识的？这节课你有什么体会？预设学生活动：各小组小结，各种发言人总结本组观点，发言预设学生回答：本节课我们学习了导数的正负和函数的增减的关系；导数的绝对值的大小和函数图象陡缓的关系。通过借助图形计算器研究函数图象验证了规律，通过单调性的定义论证了规律，并且应用所学知识解决了一些相关的问题. 这种从特殊到一般，从具体到抽象，先猜想，后验证的研究问题的方法，是科学研究中的一种重要的方法。在这个过程中，体现了数学抽象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养。 （五）布置作业活动八：作业1. 查阅资料，进一步了解拉格朗日中值定理2.
23、 教材31页习题1.3A组1，2题学习效果评价设计 课程中，关注每一个学生的神态表情，态度表达等情况，利用针对性的问题了解学生的认知进程。 课后，安排后测，了解学生学习的效果。 后测题目：1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） （2）本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1在整个教学活动中，重视学生体验的过程，而不是仅仅关注得出的结论通过对“函数的单调性与其导函数的关系”，“函数变化快慢与导数的关系”这两个问题的探究，给学生提供了充分的思维空间去构建自己的认知结构. 2.通过数学实验，实践探究得出结论后，不仅仅停留在观察归纳的程度，而是引导学生尝试说明原理法则的合理性。从感性认识向理性认识过渡。3. 在以小组为单位的探究学习中，发挥每个学生的优势，让学生之间的合作交流深入开展而不流于形式4.图形计算器作为一个教学工具，为我们提供了更大的空间来体会几何直观，便于我们更高效地分析动态的过程，也拓宽了我们可以研究的函数类型，使教学活动设计可以给学生更大的自由度去探索，可以赢得更多的时间和精力关注导函数是如何影响原函数的。