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1、课题圆周运动典型例题1掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式；教 学 目 的2学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题3掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能4. 会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题重 难 点会分析判断临界时的速度或受力特征；应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题教学内容【基础知识网络总结】1变速圆周运动特点：（1）速度大小变化有切向加速度、速度方向改变有向心加速度故合加速度不一定指向圆心（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心2处理圆周运动动力学问题般步骤（1）确定研究对象，进行受
2、力分析，画出运动草图（2）标出已知量和需求的物理量（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合（4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解3火车转弯问题由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力铁轨拐弯处半径为 R，内外轨高度差为 H，两轨间距为 L，火车总质量为 M，则：(1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度 vP(2)若火车实际速度大于 vP，则外轨将受
3、到侧向压力(3)若火车实际速度小于 vP，则内轨将受到侧向压力14“水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。(1)杯子在最高点的最小速度 vmin(gL)1/2(2)当杯子在最高点速度为 v1>vmin 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度 v2<vmin，则杯子不能到达最高点若“水流星”问题中杯子中水的质量为 m，当在最高点速度为 v2>vmin 时，水对杯底的压力为多大?5.斜面、悬绳
4、弹力的水平分力提供加速度 agtan的问题a斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度 agtan因为 F2FNcosmgF1FNsinma所以 agtanb火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和的关系仍为agtan，再用 tanh/L,av2/R 解决问题c加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有agtan的关系6.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向
5、上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。1如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 F + mg =mv 2R ³ mg 即 v ³ gR ，否则不能通过最高点。临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点 v= Rg 小球能通过最高点的条件是在最高点v>
6、Rg 小球不能通过最高点的条件是在最高点 v< Rg 2R £ mg , v £gR ，否则车将离开桥面，做2弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mg - F = mv 2平抛运动。3弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠） 这种情况下，速度大小 v 可以取任意值。但可以进一步讨论：当 v >gR 时
7、物体受到的弹力必然是向下的；当 v <gR 时物体受到的弹力必然是向上的；当v =gR 时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小 F<mg 时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小 F>mg 时，向心力只有一解：F +mg；当弹力 F=mg 时，向心力等于零。【重难点例题启发与方法总结】1、如图所示，质量为 m=0.1kg 的小球和 A、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的 A、B 两点，其中&#
8、160;A 绳长 LA=2m，当两绳都拉直时，A、B 两绳和细杆的夹角1=30°，2=45°，g=10m/s2求：（1）当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B 两绳始终张紧？（2）当=3rad/s 时，A、B 两绳的拉力分别为多大？解析（1）当 B 绳恰好拉直，但 TB=0 时，细杆的转动角速度为1，有：TAcos30°=mgT sin 30 0 = mw 2 L sin 30
9、 0A1A解得：1=24rad/s当 A 绳恰好拉直，但 TA=0 时，细杆的转动角速度为2，有： T cos 45 0 = mgBT sin 45 0 = mw 2 L sin 30 0B2A解得：2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧 2.4 rad/s3.15 rad/s（2）当=3 rad/s 时，两绳都紧T sin&
10、#160;30° + T sin 45° = mw 2 L sin 30°ABATA cos 30° + TB cos 45° = mgTA=0.27N，TB=1.09N30.1 rad/s=2 rad/s2、如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆
11、盘的倾角为 37°.在距转动中心 0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为 0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为A.8 rad/sB.2 rad/s C. 124 rad/sD. 60 rad/s解析木块在最低点时容易相对圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则mgcos37°mgsin37°=m2r=g（m cos&
12、#160;37° - sin 37°）r´=10 （0.8 ´ 0.8 - 0.6）所以，选项 B 正确.3、如图所示，在倾角为=300 的光滑斜面上，有一根长为 L=0.8m 的细绳，一端固定在 O 点，另一端系一质量为m=0.2kg 的小球，沿斜面作圆周运动，试计算：（1）小球通过最高点 A 的最小速度；（2）小球通过最高点的最小速度。（3）若细绳的抗断拉力为 F
13、max=10N，小球在最低点 B 的最大速度是多少？解析（1）小球在最低点时的等效重力为 G=mgsin小球在最高点 A 速度最小。AL（2）根据动能定理： mg sin a ´ 2L = 11vA minO= gL = gL sin a = 2m / s
14、60; B222 mvB - 2 mv A
15、60; 图 26当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小解得最低点速度的最小值是 vBm= 2 5m / s（3）若绳子的抗断拉力为 10N，根据牛顿第二
16、定律F - mg sin a = m v 2R解得小球在最低点 B 的最大速度是 vBM=6m/s44、在一根长为 L 的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为 m 的小球 B 和 C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点 A 转动，将杆拉到某位置放开，末端 C 球摆到最低位置时，杆 BC 受到的拉力刚好等于 C 球重的 2
17、60;倍求：（g=10m/s2）（1）C 球通过最低点时的线速度；A（2）杆 AB 段此时受到的拉力解析（1）C 球通过最低点时，受力如图且作圆周运动TABF 向=TBC-mgmgB即 2mg-mg= mC
18、 TBC=2mgv 2L得 c 球通过最低点时的线速度为：vC=gL（2）以最低点 B 球为研究对象，其受力如图 4-3-9 所示，B 球圆周运动的 F 向=TAB-mg-2mgmgC即 TAB-3mg= m
19、; v/2 ，且 vB=B1v2 C得杆 AB 段此时受到的拉力为：TAB=35mg点评此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键；本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件5、如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，一条长度为 L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点 O
20、处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体（物体可看质点），物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。当 v 16gL 时，求绳对物体的拉力；T当 v 32gL 时，求绳对物体的拉力。N解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为u ，则有0mgl sin 30o L (2分) 解得u =2mgtcm30o&
21、#160;= mu0036 gll sin 30o L (2分)6（1）当 u =1 gl < u0时, 有T sin 30o - N cos 30o = mu 2T cos 30o + N sin 30o6 mg » 1.03mg L (
22、2分)= mg L (2分)解得T = 1 + 3 352 gl > u 时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为j ，则（2）当u =30l sin 30o L (2分)T cos j = mg L (2分)T sin j = mu 2解得 T
23、60;= 2mg L (2分)6、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）A. 球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度B. 球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度C. 球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期D. 球 A
24、对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力FNAFAGAFNBFBGB解析：对小球 A、B 受力分析，两球的向心力都来源于重力 mg 和支持力 F 的合力，其合成如图 4 所示，故两球N的向心力 F = F = mg cot aAB比较线速度时，选用 F = mv 2r 分析得 r 大，v 一定大，A 答案正确。T &
25、#160;) 2r 分析得 r 大，T 一定大，C 答案不正确。小球 A 和 B 受到的支持力 F 都等于 mg比较角速度时，选用 F = mw 2r 分析得 r 大， w 一定小，B 答案正确。比较周期时，选用 F = m( 2pNsin a ，D
26、答案不正确。64【重难点关联练习巩固与方法总结】31、汽车通过拱桥颗顶点的速度为 10 ms 时，车对桥的压力为车重的 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A、15 msB、20 msC、25 msD、30ms2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的 A、B 两个小物块。A 的质量为 m = 2kg ，离轴心 r = 20cm ，B 的质量为 m
27、= 1kg ，离轴心A1Br = 10cm ，A、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的 0.5 倍，试求2（1）当圆盘转动的角速度w 为多少时，细线上开始出现张力？0（2）欲使 A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（ g = 10m / s 2 ）解析：（1）w 较小时，A、B 均由静摩擦力充当向心力，w 增大， F = m
28、w 2r 可知，它们受到的静摩擦力也增大，而 r > r ，所以 A 受到的静摩擦力先达到最大值。w 再增大，AB 间绳子开始受到拉力。12mr = m r1由 F fm = m1w 02r ，得： w20 =F 0.5m gfm11
29、; 11= 5rad / s（2）w 达到 w 后，w 再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来0提供，由于 A 增大的向心力超过 B 增加的向心力，w 再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如w 再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如w 再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B 就在圆盘
30、上滑动起来。设此时角速度为w ，绳中张力为 F ，对 A、B 受力分析：1T对A有 Ffm1+ F = m w 2 rT 1 1 1对B有 F - FTfm2= m w 2 r2 1 2mr - m r = 5 2r
31、ads/ = 7.07rads/联立解得：w1 =F + Ffm1 fm21 1 2 2管内径相同的小球（可视为质点）球的质量 m1，B 球的质量为 m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细。A速度都为 v0，设 A 球运动到最低点，B 球恰好运动到最高点。若要此
32、时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R 与 v0 应满足的关系式是。74、如图 393 所示，物体 P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为，则ABC A只有超过某一值时，绳子 AP 才有拉力B绳子 BP 的拉力随的增大而增大C绳子 BP 的张力一定大于绳子 AP 的张力D当增大到一定程度时，绳 AP 的张力大于 BP 的张力5、如图 2
33、60;所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体 A 和 B，它们与盘间的摩擦因数相同当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】A两物体均沿切线方向滑动B两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D物体 A 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；物体 B 发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远6、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速
34、度v0=gR ，物体甲将A沿球面下滑至 M 点B先沿球面下滑至某点 N，然后便离开球面做斜下抛运动C按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动D立即离开半圆球做平抛运动7、长度为 05m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 3kg 的木球，以 O 点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取 g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。8、如图所示，木板
35、0;B 托着木块 A 在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置 a 运动到最高点 b 的过程中()A、B 对 A 的支持力越来越大B、B 对 A 的支持力越来越小C、B 对 A 的摩擦力越来越大D、B 对 A 的摩擦力越来越小89、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中 O为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比
36、0;T1 T2 为()A、11B、21C、32D、3110、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 M 在水平板上作半径为 a，角速度为的匀速圆周运动，求：(1) 此时 M 的速率.(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t时间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t .与细管内径相同的小球（可视为质点）球的质量为 m1，B&
37、#160;球的质量为 m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径，A低点时的速度都是 v0，设 A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1，m2，R 与 v0 应满足的关系。BA9【课后强化巩固练习与方法总结】1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是()A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，
38、所以外轨容易磨损B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损D.以上三种说法都是错误的2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的 k 倍，在水平冰面上沿半径为 R 的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （）3、如图所示，光滑的水平圆盘中心 O 处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球 A 和 B，两球质量相等，圆盘上的 A 球做半径为 r=20cm 的匀速圆周运动，要使 B 球保持静止状态，求 A 球的角速度应是多大OAB10