整式的运算经典解析复习过程.docx

《整式的运算经典解析复习过程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整式的运算经典解析复习过程.docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结 而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系如2 yx就不是一个单项式 a2是一个单项式，因为 a2可以看作是 a·a特别地，单5 x独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如3，0， ，x， 等都是单项式3 2（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数说明：在单项式中，系数只与数

2、字因数有关；次数只与字母有关如 x3yz4 的系数是 1，次 数为 3148（4） 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式（5） 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数如，多项式x3x2y2x 中，单项式 x3的次数是 3，单项式x2y2的次数是 4，单项式 x 的次数是 1，所以多项式x3x2y2x 的次数是 4（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号如多项式 53x2中，二次项是3x2（7） 常数项的定义：

3、 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8） 降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多 项式按这个字母降幂排列（9） 升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多 项式按这个字母升幂排列说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个 字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置对于不同的字母，排列后的顺序往往不同， 切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置如：x32x4y7xy3y472x4yx37xy3y477y47xy3x32x4yy47xy32x4yx377x32x4y7xy

4、3y4其中，是按 x 的降幂排列；是按 x 的升幂排列；是按 y 的降幂排列；是按 y 的升幂 排列（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一如单项式3x2，x 等都是整式，多项式 3x，x3x1 等都是整式；在整式 2x，x41 中，2x 是单项式，x42 x x 211 是多项式探究引导 ：p16b2是二次单项式，这里要注意p是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母 b，它的指数是 2，p16b2就是一个二次单项式。代数式 4a4b 是单项式

5、 4a,4b 的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把 它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式 4a4b 中的项是 4a 和4b， 要注意多项式的项包括符号，所以第二项是4b。在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.1 1 x2y 这一项在 x23 3y+2y11 1 1中次数最高，因此我们把 x2 y 的次数 3 作为多项式 x2y+2y1 的次数，即 x23 3 3是一个三次三项式。y+2y1二、方法频道由解题理解知识，由知识学会解题1. 对单项式、多项式、整式进行判断例 1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式(1)3xy2

6、；(2)2x31；(3)12(xy1)； (4)a2；(5)0；(6)2 xy；(7)2 xy2；(8)12 x；(9)x21 11； (10)x x +1；解：单项式有：(1)3xy2，(4)a2，(5)0，(7)2 xy2；多项式有：(2)2x31，(3)12(xy1)；不是整式的有：(6)2 x 1 1 1 ，(8) ，(9)x2 1，(10) y 2x x x +1知识体验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式， 单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现2÷x 即 ,

7、或 x÷2 即 这样的式子，那么 , 是x 2 2 x整式吗？x x 2可以写成 ·x,所以 是单项式，而 是数字与字母的商，所以不是单项式，更 2 2 2 x不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)2 x 1 1；(8) ；(9)x2 1； y 2x x(10)1x +1；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。例 2、 填空：（1）多项式 2x4-3x5-24是 次 项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母 x 升幂排列得 ；（2）多项式 a3-3ab2+3a2b-b3是 次 项式，它的各项的次数都是 ，按字母 b 降幂

8、排列得 . 解：（1）五，三，-3，2，24，-24+0x+0x2+0x3+2x4-3x5;（2）三，四，3，-b3-3ab2+3a2b+a3.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式因此，当确定多项式的项时，应包括符号另 外，圆周率是一个常数回答多项式是几次几项式时，数字要大写 .如五次三项式，不能 写成 5 次 3 项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入 式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母 的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排 列。三、例题频道（一）题型分类全析1、

9、与代数式有关的题型例 1. 用代数式表示：（1） 把温度是 t的水加热到 100，水温升高了_。（2） 一个两位数，个位数字是a，十位数字是 b，则这个两位数可表示为_。 （3）用字母表示两个连续奇数为_。（4）若正方体的棱长是 a1，则正方体的表面积为_。（思维直现：（1）温度差别就是末了温度初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十 位数字×10各位数字；（3）连续奇数之间相差 2；（4）正方体的表面积棱长×棱长×6； 解：（1）（100t）（2） 10ba（3） 2n1，2n1（n 为整数）阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的

10、量表达 出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在 字母前面，如 10ba；数字因数是 1 或1 时，“1”省略不写，如（100t）；（2）带分数1与字母相乘时要化成假分数，如： 1 ab 要写成232ab的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b 要写成ab；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12abpR2）平方米。题评解说：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很 多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单 也可能比较难。列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基

11、础，所以要掌握好。 建议： 对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。2、单项式、多项式的概念有关的题型例 2 一个五次多项式，它的任何一项的次数都A小于 5 B等于 5 C不小于 5 D不大于 5思维直现：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次 数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于 五次的因此，五次多项式中的任何一项都是不大于 5 次的解答：选 D。例 3 说出下列各多项式分别是几次几项式(1)3x23；(2)a2b2a3b4；(3)x 2 -2 x +8 2；(4)(a3b31)×53；(5)

12、x6x53x212xa； (6)2(xy13x3y4)思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几次几项式。解：(1)多项式 3x23是一次二项式；(2)多项式 a2b2a3b4 是三次四项式；x 2 -2 x +8 1 x 2 -2 x +8(3)因为 x2x4，所以多项式 是二次三项式；2 2 2(4)因为(a3b31)×5 5 5 5 5 a3 b3 ，所以多项式(a3b31)× 是三次三项式； 3 3 3 3 3(5)多项式 x6x53x212xa 是六次五项式；(6)因为 2(xy1 2 1 x3y4)2xy x32y24，所以多项式 2(xy

13、 x33 3 3y4)是三次四项式阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别其次数和项数时，就需要对其整理变形，使其成 为标准形式的多项式如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了另外，常数项中的指数，不能做为多项式的次数如第(1)、(6)小题中 23、4，不影响多项式的次数题评解说：判断多项式是几次几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解答时 会遇到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加了本题 的难度。建议：要概念清晰，排除干扰。（二）思维重点突破例 5 若3axym是关于 x、y 的单项式，且系数为6，次数为 3，则 a_，m_ 思维直现：“关于

14、x、y 的单项式”说明只有 x、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分， 所以3a 是系数，也就是6，即3a6，解得：a2而单项式的次数是 x、y 的指数 和：（1m），也就是 3因此 1m3 得 m2解：a2，m2阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式 的次数。在本题中 x、y 才是单项式中的字母，a 只是系数的一部分，这两点一定要理解到 位。例 6 当 x 为何值时，下列多项式可化简为关于 y 的一次单项式(1)23x5y5；(2)x +3 y -4 26思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，2其余

15、各项的和等于 0如(1)中，要使多项式 x5y5 化简为关于 y 的一次单项式，只保32留5y 这一项，其余各项的和为 0，即使 x50 的 x 的值即为所要求的 x 的值32 2 15解：(1)由 x50，即 x5，得 x 3 3 215 2所以当 x 时，多项式 x5y5 可化简为关于 y 的一次单项式2 3x +3 y -4 1 3 1 1(2)多项式 6 可化为 x y4由 x40，即 x4，得 x82 2 2 2 2所以当 x8 时，多项式x +3 y -4 26 可化简为关于 y 的一次单项式建议：要多项式可化简为关于 y 的一次单项式，就要能够将含 y 的项从多项式中分离出来，

16、其它部分的和是 0 即可。整式的运算复习指导一、知识结构图：0 -p例 2、2222二、有关的运算法则：一）、幂的运算性质：（1） am a n=_（m，n 都是正整数）；（2） am÷an=_（a0，m，n 都是正整数，且 m>n），特别地：a =1（a0），a = （a0，p 是正整数）；（3） （a m）n=_（m，n 都是正整数）；（4） （ab）n=_（n 是正整数）（5） 平方差公式：（a+b）（a-b）=_1a p（6）完全平方公式：（a±b）2=_.答案：（1）a m+n；（2）a m-n；（3）amn（4）anbn；（5）（a+b）（a-b）=a2-

17、b2;(6) （a±b）2=a2±2ab+ b2;二）、整式的乘法法则：（1） 单项式相乘法则：把单项式的系数与相同的字母分别相乘、对于只在一个单项式中含 有的字母则连同它的次数作为积的一个因式；（2） 多项式相乘，把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，可以参考单项 式的乘法法则，把所得到的积相加减，有同类项的要合并同类项；（3） 运算技巧的运用：整体求值、联系待定系数法求未知的系数、次数和其中含有的字母 的值；三、考点例析：一）、考查基本运算法则、公式等：例 1、（11 佛山）计算： ( a -2b )(2a -b ) =.答案： 2a2-5 ab +2b2；

18、（11 孝感）下列运算中正确的是（ ）Ax3 gy 3 =x 6 ；B ( m 2 ) 3 =m 5；C 2 x-2=11 x2； D( -a)6¸( -a)3=-a3答案：D；例 3、（11 广州）下列式子中是完全平方式的是（ ）A a +ab +b2B a +2 a +2； C a -2b +b2；D a +2 a +1；答案：D点评：对照完全平方公式：可以看出： a 2 +2 a +1 =a 2 +2 ×a×1+12=( a +1)2 而其它三个选项都是错误的；同类项的概念 二）、例 4、 若单项式 2am+2nbn-2m+2与 a5b7是同类项，求 nm

19、的值ì【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得íîm +2 n =5, n -2 m +2 =7解出即可；求出：n =3, m =-1;所以：nm=3-11= ;3三）、整式的化简与运算例5、(11江西)先化简，再求值：ç ÷例 6、，所以：，求出：2 q =-4x( x +2) -( x +1)( x -1)， 其中 x =-12解： x ( x +2) -( x +1)( x -1) =x 2 +2 x -( x 2 -1)=x 2 +2 x -x 2 +1=2 x +1当 x =-12æ 1 ö时，原式 =2

20、80; - +1 =0è 2 ø四）、定义新运算：则方程x =（08 孝感）在实数范围内定义运算“”，其规则为： ab =a (43) x =13±6的解为172-b2，点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）43 =42-32=7；（2）7 x =72-x2=13 x2=72-13 =36 x =±6；例 7、（08 宿迁）对于任意的两个实数对 ( a, b ) 和 ( c , d )，规定：当 a =c , b =d时，有( a, b )=( c , d )； 运 算 “Ä” 为 ： ( a , b ) Ä ( c, d ) =(

21、 ac , bd )； 运 算 “Å” 为 ：( a, b ) Å ( c, d ) =( a +c , b +d ) 设 p、 q都 是 实 数 ， 若 (1,2) Ä ( p , q) =(2, -4)， 则(1,2) Å ( p, q ) =_ìp =2（1）由： (1,2) Ä ( p , q ) =(2, -4) 得出： í ，î所以： p =2, q =-2; （2） (1,2) Å ( p , q ) =(1,2) Å(2, -2) =1+2,2+(-2)=(3,0); 五）整体思

22、想的运用：例 8、计算：( x -y )2 ( y -x ) 3 ( x -y ) 4分析：这里的底数为：( x -y )、( y -x )，而这两个式子恰为相反数，我们可以把 ( y -x )，所以有：看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化： ( y -x )( x -y )2 、 ( x -y ) 4两项的底数为解：原式=( y -x )2 ( y -x ) 3 ( y -x ) 4 = ( y -x ) 2+3+4=( y -x )9；点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积aé(2)=(2 )é(32)ù

23、9;5ba3b2 33 53 63 3 62 3 52 4 84 3运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数， 这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用；拓展思维：六）巧妙变化幂的底数、指数例 9、已知： 2 =3， 32 b =6，求23a +10 b的值；点评：根据现有的知识水平，很难求出a、b的值来，所以我们可以把：2 a、32b =(2 5 ) b中的(2 5 ) b分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：23a +10 b=23a´210 b=(2a)3(25)2 b=(2a)32 2ë

24、 û ë û=33´62=972；例 10、 计算：( -0.125)99 ´8100；分析：显然：-0.125 与 8 的乘积是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案来：（-1）的偶次方是 1；(-1)的奇次方是（-1）；所以变化 8100为： 899´8；则有原式=( -0.125)99 ´899´8 = ( -0.125 ´8)99´8=(-1) ´8=- 8 ;真题训练1、（11 南京）计算 ( ab ) 的结果是（ ）A ab5B ab6C a bD a b2、（11 上

25、海）下列运算中，计算结果正确的是（ ）（A）x·x32x3； （B）x3÷xx2； （C）（x3）2x5； （D）x3+x32x6 3、（11 益阳市）下列计算中，正确的是（ ）A. a +a =aB. ( a ) =aC.a ×a =aD. a ¸a =a4、（11 宿迁）下列计算正确的是（ ）A a 3 ×a2 =a 6B( a 2 ) 3 =a 6C 2a +3a 2 =5a 3D3a 3 ¸2 a =32a35、（08 徐州）下列运算中，正确的是（ ）A.x3+x3=x6B. x3·x9=x27C.(x2)3=x5D

26、. x ¸x2=x16、（11 菏泽）下列计算结果正确的是（ ）A -2 x2y3×2xy =-2x3y4B 3 x2y -5 xy2= -2 x2y4 2 322 2 3 335150æ1 ö22 5C 28 x y ¸7 x y =4 xyD ( -3a -2)(3a -2) =9 a -47、（11 四川乐山市）下列计算正确的是（ ）A、a3+a3=a6B、( x -3) =x -9 C、 a ga =a D、 ( -2x) =-8x8、（11 山东威海）下列计算正确的是（ ）A ç ÷ ´3 =0 

27、2;3 øB x5+x5=x10C x8¸x2=x4D (-a3)=a69、（11 泉州）计算：a2 ×a3=()A、 a5B、 a6C、 a8D、 a910、（11 福建三明市）（本小题满分 6 分）先化简，再求值：（2a+b）(2a-b)+b(2a+b)-4a2b÷b，其中 a=-12,b=2.11、（11 聊城）计算：( -2a -2 ) 3 b 2 ¸2 a -8b -3=12、试观察下列各式的规律，然后填空：( x -1)( x +1) =x2-1( x -1)( x2+x +1) =x3-1( x -1)( x 3 +x 2 +x +1) =x 4 -1则( x -1)( x10+x9+LL +x +1) =_。13、计算：( -0.25)2007´(22)2008¸( -1)2009参考答案：1、D2、（B）；3、D. 4、B5、D.6、C7、D；8、D9、D.10、A；11、3；12、 -4a b；13、x11 -1；14、4；