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1、三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例 1设 P 是双曲线 x 2y 21上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2 y0，、a 29F1F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1 | 3，则 |PF2 | （）A1或5B 6C 7D 9分析： 根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出| PF2 |的值解：双曲线 x2y21渐近线方程为 y=3 x ，由已知渐近线为 3x2 y0 ，a29aa2, |PF1 | |PF2 | 4， |PF2 |4 |PF1 |.|PF1| 3,|PF2 | 0， |PF2 | 7.故选 C归纳小结 ：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐
2、近线方程的表示法（二）基本量求解例 2(2009 山东理 ) 设双曲线 x 2y 21 的一条渐近线与抛物线yx21 只有一个公共a 2b 2点，则双曲线的离心率为（）5B 5C5D 5A 2422b x ，由方程组ybx ，消去 y，得解析： 双曲线 x2y21 的一条渐近线为yaabayx21x2 b x 10 有唯一解，所以 = ( b )240 ，aa所以 b2 ， eca2b21( b )25 ，故选 Daaaa归纳小结 ：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点， 则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能例 3（
3、 2009 全国理） 设双曲线x2y22a2b21（ a 0，b 0）的渐近线与抛物线 y=x +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3B.2C.5D.6解析： 设切点 P( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为y'|xx02x0由题意有y02x0 又有x0y0 x02 1 ，联立两式解得 :x021, b2, e1( b )25 aa因此选 C例4（2009江西）设 F1和 F2为双曲线x2y21( a0, b0 )的两个焦点，若F1，F2 ，a22bP(0,2 b) 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）3B 25D 3A C22解析： 由 tanc3有 3c24b24
4、(c2a2 ) ，则 ec2 ，故选 B62b3a归纳小结 ：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出 tanc32b，体现数形结63合思想的应用（三）求曲线的方程例 5（ 2009，北京） 已知双曲线 C : x2y21(a 0,b 0) 的离心率为3 ，右准线方程a2b2为 x33（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）已知直线 x y m 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点在圆x 2 y2 5 上，求 m 的值分析：（ 1）由已知条件列出a,b, c 的关系，求出双曲线C 的方程；（ 2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值a23解
5、：（ 1）由题意，得c3，解得 a1, c3.c3a b2c2a22 ，所求双曲线C 的方程为 x2y212（ 2）设 A、B 两点的坐标分别为x1, y1,x2 , y2，线段 AB 的中点为 Mx0 , y0，由 x2y21 得 x2m2022mx20 （判别式），xym0 x0x1x2m, y0x0m 2m ，2点 M x , y 在圆 x2y25 上，00 m225 ， m12m另解： 设 A、B 两点的坐标分别为x1 , y1,x2, y2，线段 AB 的中点为 M x0 , y0，x2y121121由，两式相减得 ( x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )0
6、.22x22y212由直线的斜率为1， x0x1x2 , y0y1y2 代入上式，得y02x0 .22又 M ( y0 , x0 ) 在圆上，得 y02x025，又 M ( y0 , x0 ) 在直线上，可求得m 的值 .归纳小结 ：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力例 6过 M (1,1)的直线交双曲线x2y21 于 A, B 两点，若 M 为弦 AB 的中点，求直线42AB 的方程分析： 求过定点 M 的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是k ，利用 M 为弦AB 的中点， 即可求得 k 的值，由此
7、写出直线AB 的方程 也可设出弦的两端点坐标用 “点差法”求解解法一： 显然直线 AB 不垂直于 x 轴，设其斜率是 k ，则方程为 y 1 k (x1) x2y21 消去 y 得 (1 2k2 ) x24k(1 k )x 2k 2由424k 6 0y1k( x1)设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由于 M 为弦 AB 的中点，所以 x1x22k (1 k )1，所以 k1212k22显然，当 k1时方程的判别式大于零 .21 ( x所以直线 AB 的方程为 y11) ，即 x 2 y 1 0 2解法二： 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则x2y
8、211142x22y22142得 ( x1x2 )( x1x2 )2( y1y2 )( y1y2 ) 0 .又因为 x1x22, y1y22 ，所以 x1x22( y1y2 ) 若 xx, 则 yy，由 x x 2, y y22 得 xx 1， y y211212121121则点 A、 B 都不在双曲线上，与题设矛盾，所以x1x2 所以 ky1y21 x1x22所以直线 AB 的方程为 y11 ( x1) ，即 x2 y10 2经检验直线 x2y 1 0符合题意，故所求直线为x2 y 10 解法三： 设 A（ x， y ），由于 A、 B 关于点 M（ 1，1）对称，所以 B 的坐标为 （ 2
9、x，2y ），x2y21,42消去平方项，得 x 2 y1 0 则2(2y)2(2-x)421.即点A 的坐标满足方程，同理点B 的坐标也满足方程故直线AB 的方程为x2y10 归纳总结： 由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题例 7已知点 P1( x0x2y21（ b 为正常数）上任一点，F2 为双曲线的右, y0 ) 为双曲线b28b2焦点，过 P 作右准线的垂线， 垂足为 A ，连接 F A 并延长交 y 轴于 P 求线段 P P 的中点 P 的12212轨迹 E 的方程分析：
10、 求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段 P1P2 的中点，可利用相关点法解： 由已知得 F2 (3b,0),A( 8 b, y0 ) ，则直线 F A 的方程为： y3 y0 ( x3b) 32b令 x0得 y9 y0 ，即 P2 (0,9 y0 ) x0x2设 P（ x， y），则，y0 9 y05 y0y2即x02x 代入 x02y021得： 4x2y21 ，y0y8b2b28b225b25即 P 的轨迹 E 的方程为x2y21 (xR )2b225b2归纳小结 ：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（五）突出几何性质的考查例 8（ 2006 江西） P 是双曲
11、线 x2y21 的右支上一点， M ，N 分别是圆 ( x5)2y24916和 ( x 5)2y21上的点，则 | PM| | PN |的最大值为（）A.6B.7C.8D .9解析： 双曲线的两个焦点F1( 5,0) 与 F2 (5,0) 恰好是两圆的圆心，欲使 | PM| |PN |的值最大，当且仅当| PM |最大且| PN |最小，由平面几何性质知，点M 在线段 PF1 的延长线上，点 N 是线段 PF2 与圆的交点时所求的值最大.此时|PM | |PN| (PF2) (PF 1)PFPF239 因此选 D121例 （2009重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x59，离心
12、率 e 5 5（ 1）求该双曲线的方程；（ 2）如图，点 A 的坐标为 ( 5,0)， B 是圆 x2( y5) 21 上的点，点 M 在双曲线右支上，求 MAMB 的最小值，并求此时M 点的坐标 .分析：（ 1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（ 2）利用双曲线的定义将MA 、MB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 知 ， 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为x2y21 ( a0, b 0) ，设 ca2b2，由准线方程为x5得 a25，a2b25c5由 e5 得 c5 a解得 a1, c5 . 从而
13、 b2 ，该双曲线的方程为 x2y21.4（ 2）设点 D 的坐标为 (5,0) ，则点 A、D 为双曲线的焦点，则|MA| |MD |2a2 .所以|MA| |MB | 2 |MB| |MD |2 |BD|因为 B 是圆 x2( y5) 21 上的点，其圆心为 C(0,5) ，半径为1，故|BD|CD| 110 1，从而 |MA | |MB |2 |BD | 10 1当 M , B 在线段 CD 上时取等号，此时|MA | MB | 的最小值为101直线 CD 的方程为 yx5 ，因点 M 在双曲线右支上，故x0 4x2y245 4 24542由方程组x解得 x3, yy53所以 M 点的坐标为 (54 2,4542)33归纳小结 ：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想