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1、 =b且ga=b()()()2=i 2 i3i i2 iåååxxx 3X X1 -rå(第四章练习题及参考解答4.1 假设在模型Yi=b +b X 1 22 i+b X +u3 3ii中，X 与X23之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：Y =a +aX +u i 1 2 2 i 1iY =g +gX +u i 1 3 3i 2 i(1)是否存在a2=b且g =b 2 3 3？为什么？(2) b会等于a或g或两者的某个线性组合吗？ 1 1 1(2) 是否有 var(b)=var(a)且var(b)=var(g)？2 2 3 3练习题 4.1
2、参考解答： (1) 存在2 2 3 3。因为b2=(åy xi 2 iå)(åx2)-(åyx)å(x3 i i 3 ix 2 åx 2 - åx x2 i 3i 2i 3i2 ix3 i)当X 与X23之间的相关系数为零时，离差形式的åx x =02i 3i有b2=(åyx )(åx2)åyx ( 2 )(2) 22 i 3 i 2 i=a2同理有：g3=b3(2)b会等于a或g的某个线性组合 1 1 1因为b =Y -bX -bX 1 2 2 3 3，且a1=Y -a2X2，g1=
3、Y -g 3X3由于a2=b且g =b 2 3 3，则a1=Y -aX =Y -bX 2 2 2 2b2Y -a= 1X2g1=Y -g 3X =Y -bX 3 3 3Y -gb = 1X3则(3) 存在Y -a Y -gb =Y -bX -bX =Y - 1 X - 1 X =a+g 1 2 2 3 3 2 3 1 12 3var(b)=var(a)且var(b)=var(g)。2 2 3 3-Y因为var(b)=2åxs22 ( 2 )2 i 23当 r =0 时， var(b)= 23 2同理，有 var(b)=var(g)3 3xs2 2 1 -r 22i 23)=s2
4、29;x22i=var (a2)4.2 在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变 量的程序 (逐步向前回归 )，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除 (逐步向后回归 )。加1和bb进或剔除一个变量，通常是根据 F 检验看其对 ESS 的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐 步回归的程序吗？为什么？练习题 4.2 参考解答：根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化 情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则
5、一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及 其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到 “最优 ”变量子集则采用逐步回 归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。4.3 下表给出了中国商品进口额 Y、国内生产总值 GDP、居民消费价格指数 CPI。表 4.11 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数资料来源：中国统计年鉴，中国统计出版社 2000 年、2008 年。商品进口额国内生产总值请考虑下列模型 ：年份居民消费价格指数(1985=100)(亿元)(亿元)ln Y =bb ln GDP +b ln CPI +ut 1
6、 2 t 3 t1) 利用表中数据估计此模型的参数。2) 你认为数据中有多重共线性吗？3) 进行以下回归：i19851986198719881257.8 1498.3 1614.2 2055.1 9016.0 10275.212058.615042.8100.0106.5 114.3 135.8 ln Y =A A ln GDP +vt 1 2 t 1iln Y =B B ln CPI +vt 1 2 t 2 iln GDP =C +C ln CPI +vt 1 2 t 3 i根据这些回归你能对数据中多重共线性的 性质说些什么？1989199019911992199319942199.9 25
7、74.3 3398.7 4443.3 5986.2 9960.1 16992.318667.821781.526923.535333.948197.9160.2 165.2 170.8 181.7 208.4 258.6 4)假设数据有多重共线性，但 2 3在 5%水平上199511048.160793.7302.8 199611557.471176.6327.9 个别地显著，并且总的 F 检验也是显著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？练习题 4.3 参考解答：(1) 参数估计结果如下1997199819992000200120022003200420052006200711806
8、.511626.113736.418638.820159.224430.334195.646435.854273.763376.973284.678973.084402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183084.8211923.5249529.9337.1 334.4 329.7 331.0 333.3 330.6 334.6 347.7 353.9 359.2 376.5 ln(进口)=-3.060+1.657ln(GDP) -1.057ln(CPI)(0.337) (0.092) (0.215)(括号内为标准误)R2=0.9
9、92 R2=0.991 F=1275.093(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释 ，且且 CPI 与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可 能数据中有多重共线性。2计算相关系数:(3) 最大的 CI=108.812，表明 GDP 与 CPI 之间存在较高的线性相关。 (4)分别拟合的回归模型如下：ln Y =-4.0907 +1.2186ln (GDP ) t= (-10.6458) (34.6222)R2=0.9828 R2=0.9820 F =1198.698ln Y =-5.4424 +2.6637ln (CPI) t= (-4.3412) (11.6809)
10、R2=0.8666 R2=0.8603 F =136.443730121.09ln(GDP) =-1.4380 +2.2460ln (CPI)t=(-1.9582) (16.8140)R 2 =0.9309 R 2 =0.9276 F =282.7107单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP 和 CPI 对进口分别有显著的单一影响，在这两个变量同时引入 模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。(5) 如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变
11、量数据矩阵 X 才可能避免多重共线性的出 现？练习题 4.4 参考解答：本题很灵活，主要应注意以下问题:(1)选择变量时要有理论支持， 即理论预期或假设；变量的数据要足够长，被解释变量与解释变量之间要有因果关系，并高度 相关。（ 2）建模时尽量使解释变量之间不高度相关， 或解释变量的线性组合不高度相关。4.5 克莱因与戈德伯格曾用 1921-1950 年(1942-1944 年战争期间略去)美国国内消费 Y 和工资收入 X1、非工资非农业收入 X2 、农业收入 X3 的时间序列资料，利用 OLSE 估计得出了下列回归方程：Y =8.133 +1.059 X 1 +0.452 X 2 +0.12
12、1X 3(8.92) (0.17) (0.66) (1.09)R 2 =0.95 F =107.37括号中的数据为相应参数估计量的标准误差。试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。练习题 4.5 参考解答：从模型拟合结果可知，样本观测个数为 27，消费模型的判定系数R2=0.95，F 统计量为 107.37 ，在 0.05 置信水平下查分子自由度为 3，分母自由度为 23 的 F 临界值为 3.028，计算的 F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。模型整体拟合程度较 高。依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的 t 统计量值：8.133t = =0.91,8.921.059t
13、 = =6.10,0.170.452t = =0.69,0.660.121t = =0.11 除 t 外，其余的 t 值 3 1 j都很小。工资收入 X1 的系数的 t 检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为 1.059 ， 意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。另外，理论上非工资非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的 t 检验都没有通过。这些迹象表明，模 型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素
14、主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技 术等因素。为此，收集了中国能源消费总量 Y (万吨标准煤)、国民总收入(亿元)X1( 代表收入水平)、国内生产总值 (亿元)X2(代 表经济发展水平 )、工业增加值 (亿元)X3 、建筑业增加值(亿元)X4 、交通运输邮电业增加值 (亿元)X5( 代表产业发展水平及产业结 构)、人均生活电力消费 (千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在 1985-2007 年 期间的统计数据，具体如表 4.2 所示。表 4.12 19852007 年统计数据年份国民国内生工业建筑业交通运输
15、邮电人均生活能源加工能源消费19851986y7668280850总收入X19040.7 10274.4产总值X2901610275.2增加值X33448.7 3967增加值X4417.9 525.7 增加值X5406.9 475.6 电力消费X621.323.2转换效率X768.29 68.32 419871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006200786632929979693498703103783 109170 115993 122737 131176 138948 137
16、798 132214 133831 138553 143199 151797 174990 203227 223319 246270 265583 12050.615036.817000.918718.321826.226937.33526048108.559810.570142.577653.183024.38818998000.5108068.2119095.7135174 159586.7183956.1213131.7251483.212058.615042.816992.318667.821781.526923.535333.948197.960793.771176.67897384
17、402.389677.199214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183084.8211923.5249529.94585.8 5777.2 648468588087.1 10284.51418819480.724950.629447.632921.434018.435861.54003.6 43580.647431.354945.56521076912.991310.9107367.2665.8 810794859.4 1015.1 14152266.5 2964.7 3728.8 4387.4 4621.6 4985.8 5172.1 5522.3 59
18、31.7 6465.5 7490.8 8694.3 10133.811851.114014.1544.9 6617861147.5 1409.7 1681.8 2205.6 2898.3 3424.1 4068.5 45935178.4 5821.8 7333.4 8406.1 9393.4 10098.412147.610526.112481.114604.126.431.235.342.446.954.661.272.783.593.1101.8 106.6 118.2 132.4 144.6 156.3 173.7 190.2 216.7 249.4 274.9 67.48 66.54
19、66. 5167. 265. 966. 0067. 3265.271.05 71.569.23 69.44 69.19 69.04 69.03 69.04 69. 470. 7171. 0871.24 71.25 资料来源：中国统计年鉴，中国统计出版社 2000、2008 年版。要求：1) 建立对数多元线性回归模型，分析回归结果。2) 如果决定用表中全部变量作为解释变量，你预料会遇到多重共线性的问题吗？为什么？ 3) 如果有多重共线性，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。练习题 4.6 参考解答：(1) 建立对数线性多元回归模型， 引入全部变量建立对数线性多元回归模型如下:生成
20、: lny=log(y), 同样方法生成: lnx1,lnx2,lnx3,lnx4,lnx5,lnx6,lnx7.作全部变量对数线性多元回归,结果为:从修正的可决系数和 F 统计量可以看出，全部变量对数线性多元回归整体对样本拟合很好，各变量联合起来对能源消费影响显 著。可是其中的 lnX3 、lnX4、lnX6 对 lnY 影响不显著,而且 lnX2、lnX5 的参数为负值，在经济意义上不合理。所以这样的回归5结果并不理想。(2) 预料此回归模型会遇到多重共线性问题 , 因为国民总收入与 GDP 本来就是一对关联指标；而工业增加值、建筑业增加 值、交通运输邮电业增加值则是 GDP 的组成部分。
21、这两组指标必定存在高度相关。解释变量国民总收入(亿元)X1(代表收入水平)、国内生产总值(亿元)X2( 代表经济发展水平)、工业增加值(亿元)X3 、建筑业增 加值 (亿元 )X4、交通运输邮电业增加值 (亿元 )X5(代表产业发展水平及产业结构 )、人均生活电力消费 (千瓦小时 )X6(代表人民生 活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等很可能线性相关,计算相关系数如下:可以看出 lnx1 与 lnx2、lnx3 、lnx4、lnx5、lnx6 之间高度相关，许多相关系数高于 0.900 以上。如果决定用表中全部变量 作为解释变量，很可能会出现严重多重共线性问题。（ 3
22、）因为存在多重共线性，解决方法如下：A：修正理论假设，在高度相关的变量中选择相关程度最高的变量进行回归建立模型：而对变量取对数后，能源消费总量的 对数与人均生活电力消费的对数相关程度最高，可建立这两者之间的回归模型。如ln y = 9.932 + 0.421ln x 6(0.116) (0.026)R2= 0.926 R2= 0.922 F = 261.551B ：进行逐步回归 ，直至模型符合需要研究的问题，具有实际的经济意义和统计意义。采用逐步回归的办法，去检验和解决多重共线性问题。分别作 ln Y 对 lnX ,ln X ,ln X ,ln X ,ln X ,ln X ,ln X 1 2
23、3 4 5 67的一元回归，结果如下:一元回归结果：变量参数估计值 t 统计量可决系数调整可决系数lnX10.316 14.985 0.914 0.910 lnX20.315 14.62 0.911 0.906 lnX30.277 9.718 0.818 0.809 lnX40.297 13.22 0.893 0.888 lnX50.273 11.717 0.867 0.861 lnX60.421 16.173 0.926 0.922 lnX78.734.648 0.507 0.484 其中加入 lnX6 的方程调整的可决系数最大, 以 lnX6 为基础, 顺次加入其他变量逐步回归。结果如下表
24、:变量lnX1lnX2lnX3lnX4lnX5lnX6lnX7R 2lnX6-0.1860.666 0.920 lnX6-0.2510.753 0.922 lnX60.061 0.341 0.927 lnX6-0.1190.585 0.921 lnX6lnX6-0.6231.344 0.391 0.977 0.924 经比较 ，新加入 lnX5 的方程调整可决系数改进最大, 各参数的 t 检验也都显著，但是 lnX5 参数的符号与经济意义不符合。若再加入其他 变量后的逐步回归,若剔除不显著的变量和无经济意义的变量后, 仍为第一步所建只包含 lnX6 的一元回归模型。如果需要建立多元线性回归模型
25、，则需寻找新的变量或改变模型形式。例如, 不取对数作全部变量多元线性回归,结果为:6可以看出还是有严重多重共线性。作逐步回归:分别作一元回归得到：变量参数估计值 t 统计量R 2R 2X10.7333 26.46980.9709 0.9695 X20.7353 25.36270.9684 0.9669 X31.6655 18.02570.9393 0.9364 X413.190925.96360.9697 0.9683 X510.898013.51470.8969 0.8920 X6678.005822.42290.9599 0.9580 X719332.304.7024 0.5129 0.4
26、897 以 X1 为基础加入其他变量, 结果为:X1X2X3X4X5X6X7R2X1，X26.6399 （0.0022）-5.93080.9785 X1，X30.5512 0.4349 0.9726 X1，X40.5040 4.1326 0.9683 X1，X51.0516 -5.02690.9766 X1，X61.0075 -255.800.9690 X1，X70.7499 -813.440.9684 注: 括号中为 p 值.可以发现加入 X2、X5、X6、X7 后参数的符号不合理,加入 X4 后并不显著。只有加入 X3 后修正的可决系数有所提高,而且 参数符号的经济意义合理, X3 参数估
27、计值的 p 值为 0.0821 ，在 10% 的显著性水平下是显著的。所以相对较为合理的模型估计结果 可以为:4.7 在本章开始的“引子”提出的“农业的发展反而会减少财政收入吗？”的例子中，如果所采用的数据如下表所示表 4.13 1978-2007 年财政收入及其影响因素数据年份财政收入(亿元)CS农业增加值(亿元)NZ 工业增加值(亿元)GZ 建筑业增加值(亿元)JZZ总人口(万最终消费(亿元)CUM 受灾面积(千公顷)SZM197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998
28、19992000200120022003200420051132.3 1146.4 1159.9 1175.8 1212.3 13671642.9 2004.8 21222199.4 2357.2 2664.9 2937.1 3149.483483.374348.955218.1 6242.2 7407.998651.149875.9511444.0813395.2316386.0418903.6421715.2526396.4731649.291027.51270.21371.61559.51777.41978.42316.12564.42788.73233.03865.44265.9506
29、2.05342.25866.66963.89572.712135.814015.414441.914817.614770.014944.715781.316537.017381.721412.722420.016071769.7 1996.5 2048.4 2162.3 2375.6 27893448.7 39674585.8 5777.2 648468588087.1 10284.51418819480.724950.629447.632921.434018.435861.54003.6 43580.647431.354945.56521076912.9138.2 143.8 195.5 2
30、07.1 220.7 270.6 316.7 417.9 525.7 665.8 810794859.4 1015.1 14152266.5 2964.7 3728.8 4387.4 4621.6 4985.8 5172.1 5522.3 5931.7 6465.5 7490.8 8694.3 10133.8962599754298705100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 1257
31、86 126743 127627 128453 129227 129988 130756 2239.1 2633.7 3007.9 3361.5 371484126.4 4846.3 5986.3 6821.8 7804.6 9839.5 11164.212090.514091.917203.321899.929242.236748.243919.548140.651588.255636.96151666878.371691.277449.587032.996918.1507903937044526397903313034710318904436547140420905087046991384
32、7455472513334882955043458214698953429501454998154688522154711954506371063881872006200738760.2051321.7824040.028095.091310.9107367.211851.114014.1131448 132129 110595.3128444.64109148992(资料来源：中国统计年鉴 2008，中国统计出版社 2008 年版)试分析：为什么会出现本章开始时所得到的异常结果？怎样解决所出现的问题？ 练习题 4.7 参考解答:(1) 根据样本数据得到各解释变量的样本相关系数矩阵如下： 样本相关系数矩阵解释变量之间相关系数较高，特别是农业增加值、工业增加值、建筑业增加值、最终消费之间，相关系数都在 0.9 以上。这 显然与第三章对模型的无多重共线性假定不符合。（ 2）解决方案：采用逐步回归的方式，可以得到没有共线性的回归模型，但可能存在设定偏误。合并工业增加值与建筑业增加值，得到财政收入与第二产业的回归。取对数再回归，可以减低共线性。8