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1、第二节化二次型为标准形若二次型f(4X2， ,Xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式. 2 . 2. 2bi yi b2 y2bn yn,则称之为二次型f (Xi,X2 , ,Xn)的标准形.由上节讨论知，二次型f(x1,x2, ,xn) XT AX在线性变换X CY下，可化为YT(CTAC)Y.如果CTAC为对角矩阵biBb2bn则f(Xi,X2, ,Xn)就可化为标准形 biyi2 b2yfbny2,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素，因此上面的问题归结为 A能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示 二次型的标准性 用配方法化二次型为标准形 例i例2例3例4 用初等变换化二次型为
2、标准形例5例6定理34用正交变换化二次型为标准形例7例8 二次型与对称矩阵的规范形例9例i0内容小结课堂练习习题5-2返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理i任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形拉格朗日配方法的步骤：(i)若二次型含有Xi的平方项，则先把含有Xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变 量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；yjyj （k i,2,门且卜 i, j）(2)若二次型中不含有平方项，但是aj 0(i j),则先作可逆变换XiyiXjyiXk,然后再按(i )中方法配方.,但平方项的系数与 A的特征值无关A有一一对应的
3、关系，由定理 i即得:化二次型为含有平方项的二次型 注：配方法是一种可逆线性变换 因为二次型f与它的对称矩阵定理2 对任一实对称矩阵 A,存在非奇异矩阵 C,使B CTAC为对角矩阵.即 任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.、用初等变换化二次为标准型ii设有可逆线性变换为 X CY,它把二次型 XTAX化为标准型YTBY,则 CTAC B. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积，故存在初等矩阵 P,P2, ,Ps，使C P1P2 Ps , 于是C EP1P2 PsC T AC PsT P2T P1T AP1 P2 Ps.A由此可见, 对 2n n 矩阵施以相应于右乘P1 P2 P
4、 的初等列变换, 再对 A 施以相E12 s应于左乘PT,P；, ,PsT的初等行变换,则矩阵A变为对角矩阵B,而单位矩阵E就变为所 要求的可逆矩阵C .三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若 A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵, 令 B CTAC , , 则 B 也为对称矩阵, 且r(B) r(A).注：(1)二次型经可逆变换 X CY后，其秩不变，但f的矩阵由A变为B CTAC;(2)要使二次型f经可逆变换X CY变成标准形，即要使CT AC成为对角矩阵,即 b1y1T Tb2y2222YTCTACY (y1, y2, ,yn)b1y12 b2 y22bnyn2.bnynnaij ),
5、 总有正交变换XPY, 使 f 化为标准定理 3 任给二次型f aij xixj (ajii,j 1形 f1y122y22nyn2,其中 1 , 2 , n 是 f 的矩阵 A (aij ) 的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式f XTAX , 求出 A ;(3) 求出对应于特征值的特征向量(2)求出A的所有特征值1, 2, n；1, 2, n;(4)将特征向量1, 2, n正交化，单位化，得1, 2记 C ( 1, 2n );4(5) 作正交变换X CY , 则得 f 的标准形2 nyn22f1 y12 y2四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形
6、式后, 如有必要可重新安排量的次序( 相当于作一次可逆线性变换), 使这个标准形为2222d1x1d pxp dp 1xp 1drxr(1)其中di0(i1,2, ,r).定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形. 且规范形是由二次型本身决定的唯一形式, 与所作的可逆线性变换无关.注 : 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数, 负项个数r p 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.Ep00注 : 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0 Er 0rp000定理5 设A为任意对称矩阵，如果存在可逆矩阵C,Q ，且 C Q, 使得Ep00Ep00CTAC0Er P0 , QTA
7、Q0Er q0000000则p q.注：说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。例题选讲：例1(讲义例1)将x2 2x1x2 2x1 x3 2x2 4x2x3 x2化为标准形用配方法化二次型为标准形.例2化二次型f x2 2x2 5x； 2x1x2 2x1x3 6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵例3 （讲义例2）化二次型f 2x1x2 2x1x3 6x2x3成标准形，并求所用的变换矩阵例4用配方法将以下二次型化为标准型.f (x1 ,x2, x3,x4) 2x1x2x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 2x3x4.用初等变换化二次为标准型1 1 1例5（讲义例3）设A
8、1 2 2 ,求非奇异矩阵 C,使CT AC为对角矩阵1 2 1例6求一可逆线性变换将 2x1x2 2x1x3 4x2x3化为标准形.用正交变换化二次型为标准形例7 （讲义例 4）将二次型 f 17x12 14x2 14x2 4x1x2 4xx3 8x2x3通过正交变换 x Py,化成标准形.例 8 设 f 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4 ,求一个正交变换 x Py,把该 次型化为标准形.二次型与对称矩阵的规范型1 C例9将标准型2 y12 2 y2 y2规范化.2例10 （讲义例5）化二次型f2x1x2 2x1x3 6x2x3为规范形，并求其正惯性指数.课堂练习1.求一正交变换，将二次型2_ 22f(x1,x2,x3) 5x15x2 3x3 2x1x2 6x1x3 6x2x3化为标准形，并指出f（x1,x2,x3） 1表示何种二次曲面