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1、掌门 1 对 1 教育 高中数学充分条件和必要条件知识精要符号“ ”的含义前面我们讨论了“若 p 则 q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若 p 则 q”为真，是指由 p 经过推理可以得出 q，也就是说， 如果 p 成立，那么 q 一定成立， 记作 p q，或者 q p； 如果由 p 推不出 q，命题为假，记作 p q.简单地说， “若 p 则 q”为真，记作 p q（或 q p）；“若 p 则 q”为假，记作 p q（或 q p） .符号“ ”叫做推断符号 .例如，“若 x>0 ，则 x2>0”是一个真命题，可写成： x>0x2>0；又如，“若两三角形全
2、等， 则两三角形的面积相等” 是一个真命题， 可写成： 两三角形全等 两 三角形面积相等 .说明：“ p q”表示“若 p 则 q”为真；也表示“ p 蕴含 q” “ p q”也可写为“ q p”，有时也用“ pq”.什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知 p q，那么我们就说， p是 q的充分条件 ，q是 p 的必要条件在上面是两个例子中， “ x>0”是“ x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件； “两三角形 全等”是“两三角形面积相等”的充分条件， “两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即
3、“若 p q 成立，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件” .（条件与 结论是相对的）精解名题例 1 、 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件， q 是 p 的什么条件： p：x=y；q： x2=y2. p ：三角形的三条边相等； q ：三角形的三个角相等 .分析：可根据“若 p则 q”与“若 q则 p”的真假进行判断 .解：由 p q，即 x=y x2=y2，知 p是 q的充分条件， q 是 p 的必要条件 .由 p q，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知 p 是 q 的充分条件， q 是 p的必要条件；又由 q p，即三角形的三个角相等 三角形的三条边相等，
4、 知 q 也是 p 的充分条件， p 也是 q 的必要条件 .说明： 以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断 .2.利用逆否命题判断：即“若 q p成立，则 p是 q的充分条件， q是 p的必要条件”例 2 已知 p：x1，x2是方程 x25x60的两根， q：x1x25，则 p是 q的 A充分但不必要条件B 必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换解 x1， x2是方程 x25x60 的两根，x1， x2的值分别为 1， 6，x1 x2 1
5、6 5因此选 A 说明：判断命题为假命题可以通过举反例例 3、 p 是 q 的充要条件的是 A p ： 3x 2> 5， q： 2x 3 > 5 Bp：a>2，b<2，q： a>b C p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0， q：关于 x 的方程 ax 1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价解 对 Ap：x>1，q：x<1，所以， p是 q 的既不充分也不必要条件；对 Bp q但 q p，p是 q的充分非必要条件；对 C p q 且 q p， p 是 q 的必要非充分条件；对Dpq且qp，即 pq，p是q的充要条件选 D说明
6、：当 a 0 时， ax 0 有无数个解例 4 若 A 是 B 成立的充分条件， D 是 C 成立的必要条件， C 是 B 成立的充要条件，则 D 是 A成立的 A 充分条件B 必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 通过 B、C 作为桥梁联系 A、D 解 A 是 B 的充分条件， A B D 是 C 成立的必要条件， C D C是 B成立的充要条件， C B 由得 A C 由得 A D D 是 A 成立的必要条件选 B 说明：要注意利用推出符号的传递性例 5 设命题甲为： 0<x< 5，命题乙为 |x2|< 3，那么甲是乙的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要
7、条件D既不充分也不必要条件分析 先解不等式再判定解 解不等式 |x2|<3 得 1<x<50<x<5 1<x< 5，但 1<x<5 0< x< 5 甲是乙的充分不必要条件，选 A 说明：一般情况下，如果条件甲为x A ，条件乙为 xB 当且仅当 A B时，甲为乙的充分条件； 当且仅当 A B时，甲为乙的必要条件； 当且仅当 A B 时，甲为乙的充要条件例 6 设 A、B、C三个集合，为使A (B C)，条件 A B 是 A 充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析请同学们自己画图A (B C)但是
8、，当 BN，CR，AZ 时，显然 A (B C) ，但 A B 不成立，综上所述：“A B” “A （B C）”，而“A (B C)” “A B”即“ A B”是“ A (BC)”的充分条件 (不必要 )选 A说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况x1>3 x1 x 2>6例 7 1 是 1 2 的 条件 x2> 3 x1x2>9分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系解 x1>3且x2>3 x1x2>6且x1x2>9，但当取 x110，x22时，x1 x2>6x1>31 2 成立，而 1不成立
9、 (x22与x2>3矛盾 )，所以填“充分不x1x2> 9x2>3必要”说明：x1>3x2>3x13>0x2 3> 0（x1 3）（x 23）>0（x1 3）（x23）>0这一等价变形方法有时会用得上x1x2>6x1x23（x1x2） 9>0备选例题：例 1 给出下列各组条件： 22(1) p ： ab 0， q： a2 b2 0；(2) p：xy0，q：|x|y|xy|；(3) p： m> 0，q：方程 x2 xm0 有实根；(4) p ： |x1|> 2， q： x< 1 其中 p 是 q 的充要条件的有A
10、1 组 B 2组C3 组 D4 组分析 使用方程理论和不等式性质 解 (1)p 是 q 的必要条件(2) p 是 q 充要条件(3) p 是 q 的充分条件(4) p 是 q 的必要条件选 A 说明： ab0 指其中至少有一个为零，而 a2b20 指两个都为零例 2 已知真命题“ ab c>d”和“ a<b ef ”，则“ cd”是“ ef”的 条件分析 ab c> d(原命题 )，cd a< b(逆否命题 ) 而 a< b e f，cd ef即 cd是 ef 的充分条件答 填写“充分” 说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例 3 ax2 2x
11、1 0 至少有一个负实根的充要条件是 A 0< a 1B a< 1Ca1 D 0<a1 或 a<0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂， 可通过选项提供的信息， 用排除法解之 当a1 时，方程有负根 x1，当 a0 时，x1 1 故排除 A 、B、D选 C21 解 常规方法：当 a 0时， x 1 2 当 a 0 时2 4 4a 1 a> 0，则ax 2 2x 1 0至少有一个负实根2 4 4a <02a2 1a< 2 0<a12 4 4a 2a<0，则ax22x10至少有一个负实根2 4 4a <02a2>2 1a> 2
12、 1a>1 a<0综上所述 a1即 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例 4 已知 p、q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件， q 是 s 的充分条件，那么 s，r， p 分别 是 q 的什么条件？分析 画出关系图 121，观察求解解 s是 q 的充要条件； (s r q，q s) r是 q的充要条件； (r q，q s r)p是 q 的必要条件； (q s r p) 说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系例 5 关于 x 的不等式22|x (a 21) | (a 21) 与x2 3(
13、a1)x 2(3a1)0的解集依次为 A 与B，问“ A B”是“ 1a 3或a 1”的充要条件吗？分析 化简 A 和 B，结合数轴，构造不等式 ( 组)，求出 a解 A x|2a xa21，Bx|(x 2)x (3a 1) 01当 2 3a 1即 a 时，3B x|2 x3a12a2A B 21 a 3a2 +13a+11 当 2> 3a1即a< 1 时，3Bx|3a 1x22a 3a +1A B 2a 1a2 +1 2综上所述： A Ba 1或1a3“ A B”是“ 1 a 3或a 1”的充要条件说明： 集合的包含关系、 命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要理清思路，表达
14、准确，推理无误巩固练习用“充分”或“必要”填空，并说明理由：“a和 b都是偶数”是“ a+b也是偶数”的 充分 条件； “四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件； “ x 3”是“ |x| 3”的 充分 条件；“ x-1=0”是“ x2-1=0”的 充分 条件； “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件；“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要 条件；对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (其中 a,b,c 都不为 0)来说，“ b2-4ac 0”是“这个方程有两个 正根”的 必要 条件；“ a=2， b=3”是“ a+b=5 ”的 充分 条件；“ a+b是偶数”是
15、“ a和 b 都是偶数”的 必要 条件；“个位数字是 5的自然数”是“这个自然数能被5 整除”的 充分 条件.自我测试一、选择题1命题 “若 a2 b20，a，b R，则 ab0”的逆否命题是( )A若 ab0， a， bR，则 a2b20B若 ab0，a， bR，则 a2b20C若 a0且 b0， a，b R，则 a2b20D若 a0或 b0，a，b R，则 a2b20解析： 若 p则 q的逆否命题为若 綈 q则綈 p，又 ab0实质为 a0且 b0，故其否定为 a0或 b 0.答案： D2已知 a， b是实数，则 “a>0且 b>0”是“ab>0且 ab>0”的 (
16、 )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析： 对于 “a> 0 且 b> 0”，可以推出 “ab>0 且 ab> 0”，反之也是成立的答案： C3ax22x1 0至少有一个负的实根的充要条件是( )A 0< a 1Ba<1Ca 1D 0< a1或 a<0解析： (排除法 )当 a0 时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当 a1 时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选 C.答案： C二、填空题4有三个命题：(1) 若“ xy0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题；(2) “若 a> b，则 a2>b2”的逆否命题；(3) “若 x 3，则 x2 x 6>0”的否命题其中真命题的个数为 解析： (1)真， (2)原命题假，所以逆否命题也假， (3)易判断原命题的逆命题假，则原命题 的否命题假答案： 1