《圆锥曲线椭圆,双曲线,抛物线的定义方程和性质知识总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线椭圆,双曲线,抛物线的定义方程和性质知识总结.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、椭圆的定义、性质及标准方程1.椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数 （大于F1F2 ）的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点 M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数 e（0<e<1）, 则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数 e叫做椭圆的离心率。说明：若常数2a等于2c ,则动点轨迹是线段 F1F2 o若常数2a小于2c,则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程x2 y2F + F=1（abA0）中 a b心在原点，焦点在 x轴上22
2、-yy + 勺=1（a a b a 0）a2b2中心在原点，焦点在 y轴上图形I_ J ；工 , 1.rrr/ J fI一 1府1 ”I、1A 力T范围x <si, y <bx wb,|y|"顶点A (-a,0 A2(a,0)B(0,-b 卜 B2(0, b)A(0,-a 卜 A2(0, a ) B1(-b,0 卜 B2(b,0)对称轴x轴、y轴； 长轴长2a ,短轴长2b ； 焦点在长轴上x轴、y轴； 长轴长2a ,短轴长2b ； 焦点在长轴上焦点Fc,0 卜 F2(c,0)FdQ-c 卜 F2(0, c)焦距F1F2 k 2c(c > 0)F1F2 = 2c(c
3、 > 0)离心率e =c(0 <e <1) ac，-，、e = (0 < e < 1) a准线2+ a x 土c2+ a y 土c参数方程 与普通方 程xi+y a2 b jx = a y = tr=1的参数方程为、cos （日为参数） ）sinH22yr+xi=1的参数方程为a by = acos，近、了华力参数）、x = bsinf3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在 x轴上时，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任一点，则 PF1|=a+eM, PF2|=aex0。推导过程：由第二定义得
4、 归凤=e( d1为点P到左准线的距离)，di . fa2、贝U PF1| =ec1 =e x0 十一 =e% + a = a +ex0；同理得 PF2| =a - ex0。简记为：左" + ”右“”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。2222+=1；若焦点在y轴上，则为匕+4=1。有时为了运算方便，设a ba b22mx + ny = 1(m a 0,m # n)。双曲线的定义、方程和性质知识要点：1 .定义(1)第一定义：平面内到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定长2a (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线。说明：|PF1|-|PF2|=2a
5、(2a<|F1F2|)是双曲线；若2a=尸干2|,轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>尸干2时无轨迹。设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上， 则|ME>|MF2|, |MF1|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|, |MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|= 2a,这是与椭 圆不同的地方。(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线 L的距离之比是常数 e (e>1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2.双曲线的方程及几何性质标准方程22二_。=® >0,b&g
6、t;0) a b22y x-2 2 = 1(a A0，b A0)图形,r-"/ 1zJKD焦点F1 (-c, 0), F2 (c, 0)F1 (0, -c), F2 (0, c)顶点A1 (a, 0), A2 (-a, 0)A1 (0, a), A2 (0, -a)对称轴实轴2a,虚轴2b,实轴在 x轴上， c2=a2+b2实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上， c2=a2+b2离心率_ c | MF2 _ a _|MD |_ c | MF2 | _ a _ |MD |准线方程a2a211 : x , l2 : x _ 1c 2c准线间距离为Q ca2a211：y=_.,12：y=_准线
7、间距离为空j c渐近线方程x+、= 0B=0 a ba bx + y n x y n_ +一 = 0,- - 二 0b ab a3.几个概念（1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=坟，离心率为 J2。（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴2222双曲线，例：x2 y2 =1的共轴双曲线是x2y2=1。 a ba b双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点 F和一条定直线l的距离
8、相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F为抛物 线的焦点，定直线l为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为 M ; 一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1 （即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1） 定义中的隐含条件：焦点 F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过 F且垂直于 l的一条直线圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数 e的点的轨迹，当0<e<1时，表示椭圆；当e>1时，表示双曲线；当 e = 1时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛 物线上的动点到焦
9、点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通 过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1 .抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 .四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2 =±2px(p>0),x2 = =2py(p >0),其中： 参数p的几何意义：焦参数 p是焦点到准线的距离，所以 p恒为正值；p值越大，
10、张口越大；p等于焦点到抛物线顶点的距离。2标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项， 右边是另一变量的一次项， 方程右边 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向， 即对 称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是 X,若x的一次项前符号为正， 则开口向右，若x的 一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为 y轴时，方程中的一次项变量就是 y ,当y的 一次项前符号为正，则开口向上，若 y的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. 待定系数法：因抛物线标准方程有四种
11、形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就 能解出待定系数 p ,因此要做到“先定位，再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2 = ax或x2 = ay ,这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是 标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2 =2px(p >0)性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径x20关于x 轴对称原点e = 1x =-22p1注： 焦点的非零坐标是一次项系数的 一；4 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄
12、清它们的异同点, 数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1 .直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形2如 ax +bx+c=0 (*)的式子： 当a =0时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； 当a#0时，若A> 0。 (*)式方程有两组不同的实数解 u 直线与抛物线相交；若 =0 u (*)式方程有两组相同的实数解 u 直线与抛物线相切；若< 0= (*)式方程无实数解u 直线与抛物线相离.2 .直线与抛物
13、线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于 A(x1, y1 )B(x2, y2 ),则AB|=$1十kAB2 xA - xB或 AB = J1 + 尸 yA - yB .k若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时，借助于焦半径公式处理：抛物线y2 = =2px(p >0)上一点M(x0,y0 )的焦半径长是 MF =±x°+卫，抛物线 2x2 = =2py(p >0 比一点 M(x0,y0 酌焦半径长是 MF| =±y0 +-p六、抛物线焦点弦的几个常用结论设A(x1, yi BN, y2 ),直线AB的倾斜设AB为过抛物线y2 =2px(p >0
14、)焦点的弦, 角为日，则2p2 22 =,YiY2 = -p ；4 2p AB = 2 = xi + x2 + p ；sin f以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形的面积1_ _1_ _ 2fa| | fb| - p焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°七、抛物线有关注意事项1 .凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而 不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视 &A0这个条件。2 .解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.