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1、2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题： 18 小题 , 每题 4 分，共 32 分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1) 以下反常积分中收敛的是(A)1 ?+ 2? (B)?+ 2?(C) 1?+ 2? (D)?+2?【答案】 D。【解析】题干中给出4 个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。1?+2?=2?|2+ = +；?+2?= ?+ 2?(?) =12(?)2|2+= +；1?+2?= 1?+2?(?) = ln (?)|2+= +；?+2?= - ?+2?-?= -?-?|2+ ?-?+ 2?=2?- 2-?- ?|2+=
2、3?- 2，因此 (D) 是收敛的。综上所述，此题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2) 函数?(?) = lim?0(1+?)?2?在(- ,+ ) 内 (A)连续 (B)有可去中断点(C) 有跳跃中断点 (D)有无穷中断点【答案】 B【解析】这是“1型极限，直接有?(?) = lim?0(1+? ?)?2?=?lim?0?2?(1+?- 1)= e? lim?0?=?(?0),?(?)在?= 0处无概念，且lim?0?(?) = lim?0?=1,因此?= 0是?(?)的可去中断点，选B。综上所述，此题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、持续两个重要极限(3)
3、设函数?(?) = ?cos1?,? 0，0,?0( 0,?0). 假设?(?)在?= 0 处连续，则(A) - 1 (B)0 2 (D)0 0，0,?0再有?+(0) = limx0+?(?)- ?(0)?= limx0+?- 1cos1?= 0, 1,不存在，1，?-(0) = 0于是，?( 0)存在 ? 1，此刻?(0) = 0.当 1时，limx0?- 1cos1?= 0，limx0?- - 1sin1?=0, - - 1 0,不存在，- - 1 0，因此，?(?) 在?= 0持续 ? - 1。选 A综上所述，此题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、持续函数持续的概念，函数的左极
4、限和右极限(4) 设函数?(?)在(- ,+ ) 内持续，其?(?)二阶导函数?(?)的图形如右图所示，那么曲线?=?(?)的拐点个数为A O B ? (A)0 (B)1(C) 2 (D)3【答案】 C【解析】?(?)在 (- ,+ ) 内持续，除点?= 0外处处二阶可导。?=?(?) 的可疑拐点是?(?) =0的点及?(?)不存在的点。?(?)的零点有两个， 如上图所示， A点双侧?(?)恒正，对应的点不是?=?(?)拐点，B点双侧?(?)异号，对应的点确实是?=?(?)的拐点。尽管f(0)不存在，但点x = 0双侧f(x)异号，因此 ( 0,f ( 0) 是y= f (x)的拐点。综上所述
5、，此题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、持续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5) 设函数?(,)知足?(?+?,?) =?2-?2，那么?|= 1= 1与?|=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C) -12,0 (D)0,-12【答案】 D【解析】先求出f (,)令 = x + y, =yx,? x =1+ ,y =1+ ,于是f (,) =2(1+ )2-22(1+)2=2(1- )1+= 2(21+ - 1)因此?f?|= 1= 1= 2 (21+ - 1)|(1,1)= 0?f?|= 1= 1= -22(1+ )2|(1,1)= -12综上所述，此题正确答案是D。【考
6、点】高等数学- 多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分(6) 设 D 是第一象限中由曲线2?= 1,4?= 1与直线?=?,?= 3?围成的平面区域，函数f (x,y)在 D上持续，那么?f (x,y)dxdy =D (A) d34f (r cos ,r sin )1sin 212sin 2rdr (B) d34f ( r cos ,r sin )1 sin 21 2sin 2rdr (C) d34f ( r cos ,r sin )1sin 212sin 2dr (D) d34f ( r cos ,r sin )1 sin 21 2sin 2dr【答案】 B【解析】 D 是第一象限中由曲
7、线 2xy= 1,4xy = 1与直线y = x,y = 3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将 ?f ( x,y)dxdyD化为累次积分。 D的极坐标表示为3 4，1 sin 2 1 2sin 2，因此?f (x,y)dxdyD= d34f ( r cos ,r sin )1 sin 21 2sin 2rdr综上所述，此题正确答案是B。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7) 设矩阵A=11112?14?2,b=1?2。假设集合= 1,2，那么线性方程?=?有无穷多解的充分必要条件为 (A)? ,? (B)? ,? (C)?,? (D)?,?【答案】 D【
8、解析】 Ax = b 有无穷多解?r (A|b) = r (A) 0，D是由曲线段?=?(0 ?2)及直线y = 0,?=2所围成的平面区域，?1,?2别离表示D 绕?轴与绕?轴旋转所成旋转体的体积。假设?1=?2，求 A的值【解析】?1=?2sin?2=?21- cos 2?2?20=?2?24?20由 A0可得?2=2?20?= - 2A ?20?cos? =- 2A (?|0?2- ?20) =2?又?1=?2可得 A=8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17) 函数?(?,?) 满足?(?,?) =2(?+1)?,?(?,0) = (?+1)?,?(0,?) =?2+2?求?
9、(?,?) 的极值。【解析】由?(?,?) =2(?+1)?，得?(?,?) = (?+1)2?+?(?)又?(?,0) = (?+1)?可得?+?(?) = (?+1)?得?(?) =? , 从而?(?,?) = (?+1)2?+?对?积分得?(?,?) = (?+1)2?+ (?-1)?+ (y)又?(0,?) =?2+2?， 因此 (y) = 0因此?(?,?) = (?+1)2?+ (?-1)?于是?(?,?) = (2?+2)?, ?(?,?) = (?+?2+2?+2)?,?(?,?)=2?令?(?,?) =0， ?(?,?) =0得驻点 (0,-1)，因此A=?(0,-1) =1
10、 B=?(0,-1) =0C=?(0,-1) =2由于B2- AC0, 因此极小值为?(0,-1) = -1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18) 计算二重积分 ?(?+?)?,其中 D=(?,?)|?2+?22,?2【解析】因为区域D关于 y 轴对称，因此?=0原式 =?2?=2?2? 2- ?2?210D =2 ?2( 2-?2-?2)?10 =2 ?22-?2?10-2?4?10令?= 2?, 那么?22-?2?10=4?40?2?2?=12(1-?4?)?=?40?8又?4?10=15因此二重积分=?4-25【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19) 函数
11、?(?)= 1+?2?+ 1+?21?1?，求?(?)的零点个数【解析】?(?) = -1+?2+2?1+?2, 令?(?) =0，得驻点?=12,当?12时，?(?) 12时，?(?) 0,?(?)单调增加；因为?(1) =0，因此?(?) 在(12,+ )上存在唯一零点。又?(12) 0,?(?) 0.设?,曲线?=?(?)在点 (?,?(?) ) 处的切线与?轴的交点是 (?0,0), 证明?00，故?(?)单调增加。由?可知?(?) ?(?) = 0.又?(?) 0, 故?(?)?(?)0, 即有?0?0-a = b -?(?)?(?)-?=(?- ?)?(?)- ?( ?)?( ?)
12、由拉格朗日中值定理得?(?) =?(?) -?(?) =?(?)(?-?) ,?0，因此?(?) 单调增加，从而?(?) ?(?) ,故?(?) 0, 即?0?综上所述，?0?【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22) 设矩阵?=?101?-101?, 且?3= 0 (1)求?的值； (2)假设矩阵?满足?-?-?+?=?, 其中?为三阶单位矩阵，求?【解析】(1)由于?3= 0，因此|?| = |?101?-101?| =?3= 0于是?= 0(2)由于?-?-?+?=?因此(?-?)?(?-?) =?由 (1) 知?-?= 1-10-1110-11 ,?-?= 001010- 10
13、2因为?-?,?-?都可逆，因此?= (?-?)- 1(?-?)- 1=21- 111- 1110 20- 1010100=31- 211- 121- 1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23) 设矩阵?=02-3-13-31-2?相似与矩阵?=1-200?0031 (1)求?,?的值； (2)求可逆矩阵?, 使?-?为对角矩阵。【解析】(1)由于矩阵?与矩阵?相似，因此tr?=?,|?| = |?|于是3+?=2+?,2?-3=?,解得?=4,?=5(2)由(1) 知矩阵?=02-3-13-31-24,?=1-20050031由于矩阵?与矩阵?相似 , 因此|?-?| = |?-?| = ( - 1)2( - 5)故?的特点值为1= 2= 1，3= 5.当1= 2= 1, 解方程组 (?-?)?= 0, 得线性无关的特点向量1= 210 ，2= - 301当3= 5，解方程组5 (?-?)?= 0, 得特点向量3= - 1- 11令?= (?1,?2,?3) = 10010- 1011, 那么?- ?= 100010005，故?为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特点值与特点向量矩阵的相似对角化