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1、学习必备欢迎下载专题一飞向太空的勾殷定理学海搜奇历史的误会大约在公元前1100年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高 进行了一次伟大的历史性对话。周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏 羲如何测定天体的位置？要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来 测量，请问数是从哪里来的呢？”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开 始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形 前需要知道九九口诀。设想把一个矩形沿对角线切开， 使得短直角边（勾）长为3, 长直角边（股）长为4,斜边（弦）长则为5。以弦为边作一正方形，并用四个与上述 直角三角形一样的半矩形
2、把它围成一个方形盘。 从它的总面积49中，减去由勾股 弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24,便得到最初所图直角三角形作正方形的面积25。这种方法称为积矩。”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的 周髀 算经其含义就是对直角三角形（图1.1）的特例即勾3、 股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界 上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国 的周朝时期。然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、 天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发现了 “直角三角形两条 直角边的平方和，等于斜边的平方”，千百年来， 西方人 却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。殊不知，历史
3、的真相是毕达哥拉斯的发现 晚了中国人的发现500600年。这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾 操作与演示“弦图”与勾股定理对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在勾股方圆图注中，以我国古代证明 几何问题的一种独特方法一一割补原理，做了进一步的直观演算。他画“弦图， 将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补, 各从其类”，如图1. 2所示。图1. 2赵爽的“弦图”商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1. 3所示，把矩形ADB用对角线AE分成两个直角三角形，然后以 AB为边长作正方形BMNA再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(
4、方形盘)DEFG其面积为2(3+4) =49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形 ADB的面积之和，即2X 3X 4=24。所以正方 形ABMN勺面积=方形盘DEFG- 2个矩形ADBC勺面积，即，49-24=25=52=32+42也就是“勾的平方加股的平方等于弦的平方”。赵爽的证明可用现代数学表述为：如图1.4所示，以a、b、c分别表示勾、股、弦,那么，a b表示“弦图”中两块图1 4 “弦图”的现代数学图示“朱实”的面积，2ab表示四块朱实的面积，(b - a)2表示“中黄实”的面积。于是，从图中可明显看出，四块“朱 实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c为边长的 正方形“弦实”的
5、面积，即2 2 2 2 2 2 c (b -a) 2ab = b - 2ab a 2ab = a b这就是勾股定理的一般表达式。古往今来，许多人对勾股定理提出了各种不同的证 法，吉尼斯的世界记录是，勾股定理的证法已超过 370种, 是世界上证法最多的定理。赵爽给勾股定理以如此简明、直观的证明，使世界数学家们无不赞叹其思想之高超、方法之巧妙，被誉为世界上勾股定理证明之最 超级链接一、七巧板与勾股定理七巧板是起源于我国宋代的智力游戏，19世纪开始流传到日本和欧美国家。1818年左右，美国、德国、英国、法国、意大利和奥地利等国就已经出版过 介绍七巧板的书籍，把七巧板称为“中国的拼图板”、“中国拼板游
6、戏”等，其中很 多图形参考了我国的有关书籍。19世纪声名显赫的法国领袖拿破仑在流放中都不 忘中国的七巧板游戏。1960年,荷兰作家罗伯特范古利克出版了一本小说中 国的谋杀案，他在小说中塑造了一个哑巴男孩，每当他的手势不够用时，他就 用七巧板图形来表达，小说以男孩的七巧板拼图破案作结尾。1942年美国数学月刊发表了中国浙江大学两位作者的文章，他们证明了用一副七巧板能拼成的 凸多边形最多只有13种，如图1.5所示图1. 5七巧板拼成的13种凸多边形利用七巧板可以拼成许多图形，包括人物、动物、 植物、建筑物、文字等，据说有记载的图形已超过1 000 种。你可知道七巧板也可以用来证明勾股定理吗？图1.
7、 6是用2副同样大小的七巧板拼成的，在图中， 下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的 2 个正方形由另一七巧板拼成，这3个正方形内侧围出 一个直角三角形。因为斜边上的大正方形面积等于两 条直角边上的小直角三角形面积之和，所以我们不难 得出这样的结论：直角三角形斜边长的平方等于两条 直角边长的平方和。这正是勾股定理的内容、美女荡秋千在明朝程大位的著作直指算法统宗里，有这样一道趣题： 荡秋千平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉， 良工高士素好奇，算出索长有几？把它译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地I尺，将它向 前推两步(古
8、人将一步算作五尺)即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5 尺,如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多图1.7汤秋千的几何图示长?已知：如图1. 7所示，假设OA为静止时 绳索的长度，AC=1，BD=5, BF=IO。求：OA = ?解设OA = x，贝UOB = OA = x根据题意得FA=FC AC=BD AC=5- I =4 则 OF=OAFA = x-4在直角三角形OB中，根据勾股定理得x2 =102 +(x_4)2解这个方程，得x = 14.5所以，秋千绳索的长度为14. 5尺。图1. 6用七巧板证明勾股定理、美国总统与勾股定理在美国总统中有几个与数学有所联系。华盛顿是一位著名
9、的测量师，杰克逊为鼓励在美国讲授高等数学做了许多工作，林肯被认为是以研究欧几里得原本来 学习逻辑的倡导者。更有创造性的是第20任总统加菲尔德(18311881年)，在中学时代，他就显示了对初等数学的浓厚兴趣和卓越才华，1876年4月新英格兰教 育月刊发表了他关于勾股定理的新证明方法。他的证法是这样的:bB如图1. 8,在Rt ADE勺斜边DEt,作等腰Rt DEC过点c作AE的垂线交AE勺延长线于B,那么，在 ADE和厶 BEC中，/ ADEM BECED=EC，/ A=Z B=90°,因而 ADEA BEC图1. 8美国总统对勾股定理的证明所以S 'EDCS梯形ABCD1(
10、a b)(a b)2因为梯形ABC的面积等于厶AED DEC BC三个面积之和,即A_(a b)(a °b)= _ c _ ab _ ab2 2 2 2化简，即得a2 b2 = c2四、奇妙的勾股树如图1. 9,这是一棵美丽的大树，它们的奇妙之处就在于它们的树干和树枝是由一幅幅勾股定理的图形组成，每棵树的勾股定理图形完全相同，只是尺码在 勾股定理的繁衍过程中逐渐变小。当然，我们可以通过改变第一个勾股定理图中直角三角形三边的比例，或者在繁衍过程中改变直角边的方向，就可得到千姿百 态的勾股树，你也不妨试一试。图1.9奇妙的勾股树五、勾股数勾股定理在数学上是全方位的，它给人们的启迪不仅在于
11、“形”的方面，而且 也在于“数”的方面。如果从“数”的角度看勾股定理，我们就会注意到数论中的“整 勾股数组”问题，即不定方程/ 寸=£的“正整数解组”，也叫“整数勾股数组”， 简称“勾股数”。因此，我们说，如果a、b、c都是正整数，并且具有关系a2 bc2， 那么a、b、c就称为“勾股数”。显然，如果（a、b、c）是一组勾股数，那么，将它们同 乘以一个正整数k，其结果（ka、kb、kc）也是一组勾股数。所以，我们只需考虑a、b、 c两两互素的勾股数，并把它称为基本勾股数组。那么，怎样造出一组勾股数来呢？古今中外有许多数学家都在探讨这个问题。古希腊的毕达哥拉斯学派发现了这样一种方法：设
12、m是任意大于等于2的正整数，则（m2 -1、2m、m2 1） 一定是一个勾股数 组。因为 （m2 -1）2 （2m）2 =（m2 1）2所以（m2-1、2m、m2+1）是一组勾股数组，而且它们两两互素，是基本勾股数组。 但是，这个公式并不能给出全部勾股数组。公元1世纪，我国古代数学名著九章算术提出了一个更妙的方法：若给1 1两个数m n，那么，(m? -n2)、mn、- (m2 n2)就是一组勾股数，每次给的 m n不同，所得的勾股数就不同。你能说明这是为什么吗 ？到公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。可喜的是，如果我们限定 m n为两个互素的奇数，那么，用九章算术里 的这个公式
13、就能造出全部两两互素的勾股数组。因此，我们可以把这个公式叫做 方程x2 y2 = z2的通解公式。六、勾股定理与费尔马大定理如果有人间起上世纪数学界中最重要的结果是什么，我相信很多人会说是费 尔马(Fermat)大定理。这个悬置长达300多年的著名难题在：1995年被英国数学 家A.维尔斯(Wiles)彻底解决。1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫(Wolf)奖。首先，让我们来介绍费尔马大定理，它与勾股定理还有一定的渊源关系呢。2 2 2如果勾股定理的公式a b =c中的a、b、c是未知数，那么勾股定理就是 第一个不定方程(即未知数的个数多于方程的个数)，它也是最早得出完整解答的 不定方程，它一
14、方面引导出各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题 程序树立了一个范式。法国人费尔马(Pierre de Fermat，16011665年)虽然学 的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在工余时间常 读数学书，并自己从事一些数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图(Diopho ntus)2丄 22的算术一书中论述求解x y =z的一般解的问题时，在书的空白处，用笔 写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个 四方数分拆成两个四方数之和。更一般地，任何大于二的幕指数不能分拆为同样 幕指数的两个之和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下
15、整个 证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是：n 丄 nn当n3时，x y=z “没有正整数解。人们不相信费尔马找到了这个结论的证明，或者正如成千上万的后来人一样， 自以为证明出来而实际上搞错了，因为许多有名的数学家都试图证明它，但都以 失败而告终。然而费尔马确实创造了无穷下降方法，证明了n=4的情况，n=3的情况是瑞士大数学家欧拉(LeonardEuler，17071783年)在1753年给出的。19 世纪初实际上只有n=3、n=4两种情况得到证明，而n=5的情况则是在经历了半个 多世纪，一直到18231825年才首次完全证明。费尔马大定理对当时的数学家是 一个最大的挑战。为了表示学术界对
16、它的重视，1816年法国科学院首次为费尔马 大定理设立了大奖。许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家，法国的高斯和 柯西都曾热衷于这个问题。在早期尝试解决费尔马大定理的英雄豪杰里有一位巾帼英雄，她是德国的苏菲日尔曼(sophie Germain, 17761831年)。小时候她是一个很害羞、胆怯的女孩，靠自学阅读和研究数学。由于当时女性在数学上受到歧视，她就用一个男 性化名同一些大数学家通信，其中包括高斯和勒让德，她的才能使得这些一流的 数学家大为惊讶。2 2 2我们现在回过头来看看勾股定理a b二c，如果在方程两边同2时除以c，可得到(a)2 (b)2 “c c2 2 2设a=x，b = y
17、,则要找正整数a、b、c满足a b二c，等价于找有理数x、y, c c使得(x，y)满足髫x2 y2 =1。(x，y)可以看成是平面上单位圆上的一个点，x、 y都为有理数的点(x，y)，称为有理点。这样我们就把由勾股定理得到的方程是 否有正整数简化为平面上的单位圆上是否有有理点。同样xn ' zn是否有正整数解等价于平面上的曲线xn yn =1上是否有有理点的问题。我们称由方程xn yn =1定义的曲线为费尔马曲线。在中学数学里，我们对平面代数曲线有一些了解，在解析几何里，对二次曲 线进行了完整的分类。平面上二次代数曲线有：2 2椭圆 7=1 ；a b2 2双曲线 笃-与"或
18、xy=a ;a b抛物线 y = ax2.代数几何学在解决费尔马大定理时起到了非常大的作用。代数几何学是解析 几何的自然延续，在解析几何中，我们用坐标方法通过方程来表示曲线和曲面， 通常只研究一次、二次曲线，即直线、椭圆、双曲线及抛物线。三次及三次以上 的曲线一般就不再仔细研究了。代数几何与解析几何的一个主要不同点是，解析几何用次数来对曲线和曲面 分类，而代数几何学则用一个双有理变换不变量一亏格来对代数曲线进行分类。 1929年英国数学家莫德尔(Lewis J。Mordell)提出著名的猜想：亏格的代数曲线 上的有些点数目只有有限多个。1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想， 他的证明
19、用到了多位数学家的成果。他的结论被认为是上世纪的一个伟大定理， 标志着数学史上最著名的难题取得了 100多年来最重大的进步，他因此而获得 1986年的菲尔兹(Fields)奖。但是，这个难题的最终完全解决是英国数学家A 维尔斯在经过漫长的7年探索之后，终于在1993年6月取得突破，他采取了与费尔马、欧拉、莫德尔等人 完全不同的研究路线，综合运用了椭圆曲线理论、模型式理论、伽罗华表示理论 等许多现代数学理论，最终在1994年9月完全证明了费尔马大定理。七、勾股定理与外星文明人类在宇宙中是惟一存在的智慧生物吗？除了人类文明之外，茫茫宇宙是否还 存在外星文明？这是古今中外一直困扰我们人类的难题。在这
20、种探索中，科学家通过宇宙飞船考察了太阳系里的其他行星，特别是对 可能存在生命的火星和土星的一个卫星“土卫六”进行了重点探测，但并没发现 有生命存在的迹象。在太阳系之外，要想找到智慧生命，首先要像太阳系一样的行星系统，天文学家估计，在银河系中类似地球这样的行星约有100万颗，可惜它们离我们太遥远了。很多学者认为，要寻找外星文明，首先应该寻 找一种能跟外星人相互沟通的“语言”，然后再跟 外星人联系。而科学家自然想起了“勾股定理”和9“勾股数”，正如我国著名数学家华罗庚所说：“若 要沟通两个不同星球信息交往，最好在太空飞船中带走两个图形一一表示数'的洛书与表示数行关系的勾股定理图。”因为勾股
21、定理反映了宇宙中最基本的 形和数的关系，只要是有智慧的高级生物，就一定会懂得其含义，“勾股定理”和图1. 11勾股定理图形“勾股数”被认为是可作为与外星人沟通的“语言” 方法1在地球上找一个平坦的地方，画一个直 角三角形，以三边长向外侧画一个正方形，通过这种 最原始的勾股定理图形（图1.11），引起外星人的注意, 从而引发他们也向地球发回相应的信号。方法2在非洲撒哈拉大沙漠一带，构建一个巨 大的勾股定理立体模型，从而引起外星人的注意。方法3利用勾股数的信息传递，来跟外星人联 系。宇宙中哪些星球存在智慧生物？如果有外星人，他们真能读懂“勾股定理”和“勾股数”吗？这些谜底有待我们去揭开。勾股定理的妙用和推广月形定理 这是古希腊数学家希波克拉底提出的一条著名定理，它实际上是 勾股定理的推广应用：以直角三角形的斜边为直径，作半圆并使三角形内接于半 圆；再以三角形的直角边为直径，分别作半圆，圆弧相交得2个月牙图形。试证明这2个月牙形的面积之和等于直角三角形的面积。请求证。欧几里德推广的定理 这个定理记载在欧几里德的几何原本里，实际上 也是对勾股定理的推广：直角三角形斜边上的一个多边形的面积等于两直角边上 与它相似的多边形的面积之和。请予以证明。求作一个直角三角形 运用勾股数的知识，你能否作一个直角三角形，使它 的边长都是正整数，且周长为 70 cm ?请说明理由。