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1、<近世代数复习题 >一、定义描述（ 8）1、群：设 G 是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：（ 1）结合律成立，即对G 中任意元素 a， b， c 都有（ ab） c = a（ bc） .（ 2） G 中有元素 e.叫做 G 的左单位元，它对G 中每个元素 a 都有 ea = a .（ 3）对 G 中每个元素 a，在 G 中都有元素 a-1 ，叫做 a 的左逆元，使 a-1a = e .则称 G 对代数运算做成一个群。2、正规子群 ：设 N 是群 G 的一个子群，如果对G 中每个元素 a 都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称 N 是群 G 的一个正规子群（
2、或不变子群）。3、环：设非空集合 R 有两个代数运算， 一个叫做加法并用加号+ 表示， 另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（ 1） R 对加法作成一个加群；（ 2） R 对乘法满足结合律： （ ab） c = a（ bc）；（ 3）乘法对加法满足左右分配率：a（ b+c）= ab + ac ，（b+c） a = ba + ca .其中 a， b， c 为 R 中任意元素，则称 R 对这两个代数运算作成一个环。4、极大理想 ：设 N 是环 R 的一个理想，且N R .如果除 R 和 N 外， R 中没有包含N 的其它理想，则称N 为环 R 的一个极大理想。5、惟一分解整环：设 K 是有单位元的整环
3、。如果K 中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解， 则称 K 为惟一分解整环。 整数环 Z 及域 F 上多项式环F x 都是惟一分解整环。6、欧氏环 ：设 K 是一个有单位元的整环，如果（ 1）有一个从K 的非零元集K 0到非负整数集的映射存在；（ 2）这个对K 中任意元素a 及 b 0，在 K 中 有元素 q， r 使 a=bq + r，r=0或（ r）（ b ），则称 R 关于作成一个欧氏环。-7、素理想 ：设 R 是一个交换环，P ? R .如果 ab P=> a P 或 b P，其中 a， b R，则称 P 是 R 的一个素理想。显然，环R 本身是 R的一个素理想；又零理想
4、0是 R 的素理想当且仅当R 无零因子，亦即 R是一个整环。8、主理想 ：设 R 是一个环，任取aR，R 中包含 a 的全部理想的交也是R 的一个理想，且是 R 的包含元素a 的最小理想，并称其为R 的由 a 生成的主理想，记为< a > .9、理想：设 N 是环 R 的一个子加群，即对N 中任意元素a，b，差 a-b 仍属于 N，如果又有r R， a N=>ra N，则称N 是环R 的一个左理想；如果r R， aN=>ar N，则称N 是环R 的一个右理想；如果N 既是R 的左理想又是右理想，则称N 是环R 的一个双边理想，简称理想，并用符号N ?R 表示。否则记为N
5、 ?R .10、商群 ：群G 的正规子群N 的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G 关于N 的商群，记为G/N .11、主理想环 ：设K 是一个有单位元的整环。如果K 的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F 上的多项式环F x 都是主理想整环。但是，整数环Z 上的多项式环Z x不是一个主理想整环。二、填空（ 30）1、集合 M 的一个分类决定 M 的一个等价关系。2、集合 M 的一个等价关系决定M 的一个分类。3、设 G 是一个半群，则 G 作为成群的充要条件是，对G 中任意元素 a、 b，方程 ax=b , ya=b 在 G 中都有解。4、群 G 的一个非空子集
6、 H 作成子群的充要条件是：（ 1） a， b H => ab H ;（ 2） a H => a-1 H.5、设 H,k 是群 G 的两个子群，则HK GHK=KH.6、整数加群 Z 是无限循环群。7、无限循环群 <a>有两个生成元，即 a 与 a-1；n 阶循环群有（ n）个生成元，其中（ n）为 Euler 函数。例如， 4、 5、 6 阶循环群分别有（4） =2 ，（ 5） =4 ，（ 6） =2 个生成元。8、设 <a>是任意一个循环群。（ 1）若 |a|= ，则 <a>与整数加群 Z 同构；（ 2）若 |a|=n ，则 <a>
7、;与 n 次单位根群 Un 同构。9、循环群的子群仍为循环群。10、不相连循环相乘时可以交换。11、 k循环的阶为 k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。12、（ J.L.Lagrange， 1736 1813 ）设 H 是有限群 G 的一个子群，则 |G|=|H|（G：H）.从而任何子集的阶和指数都是群G 的阶的因数。13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。14、左陪集的重要性质（ 1） a aH . （2） aHaH=H . （ 3） b aH aH=bH .（ 4） aH=bH，即 a 与 b 同在一个左陪集中a-1b H（或 b-1a H）。（ 5）若 aH bH，则aH=bH
8、 .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。15、循环群的商群也是循环群。16、（第一同构定理）设是群G 到 G 的一个同态满射，又KerN ? G， N=（ N），则 G/N G/N.17、（第二同构定理）设G 是群，又HG， N ? G .则 H N ? H，并且 HN/N H/(H N) .18、（第三同构定理）设G 是群，又N ? G， HG/N .则（ 1）存在 G 的惟一子群HN，且 H=H/N ；（ 2）又当 H ? G/N 时，有惟一的 H ? G 使 H=H/N 且 G/H G/N H/N .19、设 G 是一个群， a G，则（ 1） a： x > axa-1（ x
9、G）是 G 的一个自同构，称为G 的一个内自同构；（ 2）G 的全体内自同构作成一个群，称为群G 的内自同构群，记为Inn G；（ 3） Inn G ? Aut G .20、环 R 的非空子集 S 作成子环的充要条件是：a，b S => a - b S ，a， b S => ab S .21、如果 p 是素数，则环 Z是一个域；如果 n 是合数，则环Z 有零因子，从而不是域。pn22、（环同态基本定理）设R 与 R 是两个环，且RR.则（ 1）这个同态核 N，即零元的全体逆象，是 R 的一个理想；（ 2） R/N R23、设P 是交换环R的一个理想。则P 是R 的素理想的充分与必要
10、条件是，商环R/P 无零因子，即为整环。24、整数环Z 的理想N 是Z 的极大理想，当且仅当N 是由素数生成的理想。25、整环K 中的元素一定是不可约元。26、设K 是任意一个惟一分解整环。则p 是K 的元素当且仅当p 是K 的不可约元。27、设K 是有单位元的整环。如果（ 1）K 中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；（ 2）K 中的不可约元都是素元；则 K 是一个惟一分解整环。28、 Gauss 整环 Z i是主理想整环。29、整数环Z 是欧氏环。30、域 F 上多项式环F x是一个欧氏环。31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。（反之不成立）32、主理想整环是惟一分
11、解整环。（反之不成立）33、群 G 中关于子群H 的互异的左 （或右） 陪集的个数， 叫做 H 在 G 里的指数， 记（G：H）.34、设 p K .p 0，且 p 不是单位。如果p|ab 就必有 p|a 或 p|b ，则称 p 是 K 的一个元素。35、同态：反身、传递（不满足对称）；同构：反身、传递、对称。例一、设 =（ 14）（ 235）， =（153）（ 24） . 求 -1 =？解：由定理可知：-1= （ 1）（ 5）（ 3）（ 2）（ 4）例二、证明： K=（ 1），（ 12）（34），（ 13）（ 24），（ 14）（23） 作成交代群A4 的一个交换子群。这个群（以及与其同构的
12、群）称为Klein（， 1849-1925）四元群。证 显然 K4 中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2 ，而且其中任二个相乘等于第三个，即K4 对置换的乘法封闭。从而K4 是 A4 的一个子群，且显然是一个交换子群。（证毕）例三、证明： Z i=a + bi|a ，b Z 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss 整环），并且其单位群是 ± 1，± i .证Z i 作成有单位元的整环显然。又显然±1，± i 均为其单位。下证：Z i 没有别的单位。设 =a + bi 是 Z i的任一单位，则有Z i 使 =1， | | 2|
13、| 2 =1 .这只有 | | 2 =a2 + b2=1，从而只有a=± 1， b=0；或 a=0， b=±1 .即只能是±1 及± i .因此，± 1 和± i 是环 Z i 的全部单位。故U（ Z i ） =± 1，± i .例四、在模 8剩余类环 Z8 中 ，令<4>=0,4，<2>=0,2,4 , 6 ，则 < 4 >不是 Z8 的素理想（因为2·2=4 < 4 >，但是 2 < 4 >），也不是 Z8 的极大理想 （因为 < 4
14、><2> Z8）.但是，易知 < 2 >既是 Z8 的素理想也是Z8 的极大理想。例五、设 G=< a > 为 6 阶循环群。给出G 的一切生成元和G 的所有子群。解：a， a5；（ 6） =2 .例六、试求下列各置换的阶：1 =（ 1378 ）（ 24）；【 4】 2=（ 1372）（ 234）；【 6】 = 1234563641523；【 3】 4=12345675763142 ；【6】例七、设 =（ 327）（ 26）（ 14）， =（ 134）（ 57） . 则 -1 = （ 13）（ 2654） ； -1=（265）（ 34） .三、判断（ 10）1、在环 R中，当 a 不是左零因子时，则ab =ac ， a 0=> b=c ；（1）当 a 不是右零因子时，则ba= ca ， a 0=> b=c .（ 2）2、无零因子的交换环称为整环。3、除环和域没有零因子。4、Zn 中非零元 m 如果与 n 互素，则为可逆元；如果不与n 互素，则为零因子。5、欧氏环主理想整环惟一分解整环有单位元整环6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。8、群 G 的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。9、理想的理想不一定是原环的理想，亦即理想也不具有传递性。