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1、16数学技术应用科学数学技术应用科学M athematics Techndogy App lied Science例说多元函数条件极值求法中的三个陷阱申兰珍(中央财经大学 数学系，北京 100081)摘要：通过三个例子说明了一般教材中多元函数条件极值求法中的不严谨性关键词：条件极值；陷阱中图分类号：0174 1文献标识码：A 文章编号：7- 5416- 2336- 9( 2006)- 0015- 0216数学技术应用科学16数学技术应用科学作者简介:申兰珍(1956-), 女,副教授主要研究方向:数学教学求函数Z = f(x y)在条件 (x, y) = 0下的条 件极值常用两种方法：代入法和
2、拉格朗日乘数法几 乎所有教材对这两种方法的介绍都是这样的 ：代入法：从 (x, y) = 0中解出y = y (x )代 入Z = f(x, y)中，则求函数 Z = f(x, y)在条件 (x, y) = 0下的条件极值就变为 Z = f( x, y (x ) 一元函数求极值了乘数法：构造拉格朗日函数F (x, y,) = f( (x, y) +(x, y )将条件极值问题转化为F(x, y,)的无条件极值而三元函数的极值判定法一般教材又都不讲，并且条件极值通常 用来研究函数最值问题的，于是教材便给出一个所 谓判定最值的方法：若求得拉格朗日函数只有一 个驻点，在实际问题中，根据实际问题的性质
3、确知 函数有最大或最小值且在定域内取得则此驻点便 是所求最值点当我们研究函数条件极值时则会发现其述之 中有陷阱例说如下：2 2 2例1 求函数Z = x + y在约束条件y = 1-x下的条件极值2用代入法求解时，如果将y = 1 - x代入Z = x + y 贝y Z = x + 1 - X.令 Z = 2x- 1 = 0得可 能极值点为(1/21 V2)与(1/2 - 1 /J.但用拉 格朗日乘数法可得三个极值点，分别为(1, 0), (1/2 1/J?)与(1/2 - 1/鸟)不难得出(10)是 极大值点，极大值是1而(1/2 1 2)与(1/2 - 1 A 2)是极小值点，极小值是3/
4、4为什么会产生这 样得情况？原来用代入法求可能极值点时，代入是 有条件的当从 (x y) = 0中解得y = y(x)代入Z = f(x, y)求极值时,则在可能极值点(xo, yo)处!必须满足 y(x, y)? 0(隐函数求导法)此例正是 由于代入过程中条 件加强了，故而把定域中满足!y (x, y) = 0的点(1, 0)漏掉了 关于用代入法求 二元函数条件极值时要考虑到使；(x, y) = 0的点教材中没有做明确的交代，这对于读者来说应该 算是一个陷阱例2求f(x y) = X2 - y2在y = 0下的条件 极值2显然(Q 0)是在y = 0条件下f(x y) = x - y2的条件
5、极值点构造拉格朗日函数 F(X, y, ) = x2 - y2 + y 令 Fx = 0 Fy! = 0 得(Q Q 0)是驻点，但(Q Q 0) 不是F (x, y,)的极值点，事实上，对于 > Q在 (QQ0)的 邻域内存在(x, 0 0), x?Q使F(x, y, ) > F (0, Q 0),也总存在(0,y, 0), y ? Q 使 F (x, y ) < F ( 0 0 0).此例说明在条件 (x, y) =0下f( x, y)的条件极值与三元函数F (x, y,)无条件极值并不等价，这正是在读教材的拉格朗日 乘数法中 将条件极值转化为F(x,y,)无条件极值的问
6、题 这句话所应该认识到的否则，我们就会得出一种由f(x, y)在条件 (x, y) = 0下条件 极值判定拉格朗日函数极值的错误方法不过，可以证明当f(x y),(x, y)连续且偏导数存在时，若(Xq, yo, Q )是 F (x, y,)的极值点，则(XQ, yo) 也是f( x, y)在条件 (x, y) = 0下的条件极值点， 证略例3某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本不同第一工厂生产X个单位产品和第二 工厂生产y个单位产品时总成本C(x, y) = x2 +22y + 5xy+ 700,若公司的任务是 500个单位,如何 分配任务才能使总成本最小？用拉格朗日乘数法解之如下：人2
7、2令 F (x, y, ) = x + 2y + 5xy+ 700+ (x + y- 500).! !由 Fx= 0Fy = 0, x + y = 500得 x = 125 y =375为一驻点于是可知第一工厂生产 125个,第 二工厂生产375个总成本最小，最小成本为531 950其实这是一个错解因为当x = 50Q y = 0时 C (500,0) = 254 700就比求得的小的多产生这种错误的原因实际上是解题者掉入了条件极值求 法的第三个陷阱拉格朗日乘数法中所说的根据实际问题的性质确知函数有最大值或最小值且 在定域内部取得这句话按惯例常常被人们认为是直觉或经验性的判定，也就是说非理论性
8、的判 定而多元函数在定义域边界的取值情况是相当复杂的,一般凭直觉或经验做出最值点仅取在定义域 内的判断很容易出错更为严重的是一般书上所配 的都是一个驻点的且不加分析地被肯定为最值点 的例子，这更加使人们产生一种错觉 ：只要求得一 个驻点便是最点此例的错解就属于这种情况条件极值这部分内容无论是在学习还是实际应用中 都很重要，我们应该准确地把握它参考文献:1 曹克明微积分M ,北京：中国经济出版社，1998456 4662 莫国梁.关于用代入法求条件极值的一点注记J. 高等数学研究,2003 ( 2): 423 王杰.高等数学M ,重庆：重庆大学出版社，19921194 毛瑞庭，王树禾.高等数学自
9、学指南M ,北京：中国 科技大学出版社,1992 115刘书田.微积分学习辅导与解题方法M ,北京：高 等教育出版社,2003 48516数学技术应用科学16数学技术应用科学Illustrate three traps in the solution of conditional extremeof ma ny variable fun cti onw ith exampleSH ENG Lan- zhen(M athematics Deparment CentralU n versity of F inanceand Econm ics Beijing 100081 Ch ina)Abst
10、ract: U sing by three examp les, it explain the unconscien tionsnessand uncarelu hess n the solu tion of con diti onal extrem e of ma ny variable fjn cti on in the common textbooksKeywords conditiona| trapQ 1994-2()11 Chitia Aodemic Journal ILkctranic Publishing H0iise4 All rights reserved, httpnkirtiCt