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1、淘出优秀的你一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系， 在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有 着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述一)、一元二次方程的根的判断式k>K A一元二次方程ax2 bx c = 0 (a = 0),用配方法将其变形为：(X )2= - 22a 4a2(I)当-4ac 0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：-b ± Jb2 -4acX =x1,22a2a 当b2 -4ac = 0时，右端是零因此，方程有
2、两个相等的实数根：2 当b -4ac：0时，右端是负数因此，方程没有实数根.由于可以用b2 -4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把b2-4ac叫做2 2一元二次方程ax by=0 (a = 0)的根的判别式，表示为：厶=b -4ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：2 2 2(1) 2x -3x 1=0(2) 4y 9=12y(3) 5(x3)-6x = 0解：Ay(-3)2 -4 2 1=1 0,原方程有两个不相等的实数根.2(2) 原方程可化为：4y -12y 9 = 0=( 1 22) - 44 9 , O原方程有两个相等的实数根.(3) 原方程可化为：5x
3、-6x *15 = 0丄=(-6)-45 15 = -264"0原方程没有实数根.说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例2】已知关于X的一元二次方程3x2 -2x k = 0 ,根据下列条件，分别求出k的范围:(i)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.解：，;.=(_2)2一4 3 k=4-i2ki(i) 4 i2k 0= k ：；-i(2) 4 i2k =0= k =；33i(3)4 i2k -0= k <i(4) 4 i2k < 0= k332 2【例3】已知实数X、y满足X y -
4、 xy2x-yJ = O ,试求X、y的值.解：可以把所给方程看作为关于 X的方程，整理得：X2 -(y -2)x y2 - y O 由于X是实数，所以上述方程有实数根，因此：. - -(y - 2)2 4(y2 - y 1) = 3y2 _ O= y = 0，代入原方程得：X2 2x 1 = 0= X = -1 .综上知：x=1,y=0二)、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2 bx c =0 (a = 0)的两个根为：-b + Jb2 _4ac-b - Jb2 -4acX,x =2a2a-b + Jb2 -4ac -b - Jb2 _4ac b所以：Xl X22a2aa-b +
5、Jb2 _4ac -b _ Jb2 _4ac (-b)2 _(Jb2 _4ac)2 4ac CXi X222 = 一2a2a(2a)4a a2 I定理：如果一元二次方程aX bX 0 (" O)的两个根为Xi，X2 ,那么：beXi X2,XiX2 :aa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为"韦达定理”.【例4】若xi, x2是方程X2，2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值： X12X22 ；(2) - ；(3) (XI 一 5)(X2 -5) ；(4) Ix -X2 I Xlx2分析：本题若直接用求根公式求出方程的两
6、根，再代入求值，将会出现复杂的计算.这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得：1 2 - -2,X1X2 - -20072 2 2 2(1) X2 =(XI X2) -2x1x2 =(-2) -2(-2007) = 401811x1 X2-22(2)x1x2 x1x2-2007 2007(x1 -5)(x25) = xx2 5(x1 x2) 25 = -20075(2) 25= -1972(4) | X1 - X2 I = (X-X2- (X1 X2) 1 4X1X2 = . (-2) - 4( -2007) = 4 502说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变
7、形：2 2x2(x1 x2) - 2x1x2,x1X2X1 X222,(X1 X2) =(X1 X2) 4X1X2, x1x2IX1 - X21 f ( x x2)2 -4x1x2 ,X1X22X12X2 = X1X2 (x1 X2),4x3 x23 = (x1 x2)3 -3x1x2(x1 x2)等等.韦达定理体现了整体思想.*【例5】一元二次方程2 4x a = 0有两个实根，一个比 3大，一个比3小，求a的取 值范围。3 >0解一：由 L-(XI 3)(X23) <0 解得：ac3解二：设f(x)=2-4a ,则如图所示，只须f(3)"0 ,解得a : 3淘出优秀的
8、你【例6】已知一元二次方程X2 (a2 _9)Xa25a0一个根小于0,另一根大于2,求a的取值范围。2 2 2解：如图，设 f(x)=x +(a -9)x + a -5a + 6If(O)Co='2C a V 38一 1：a：I32 ： a ：则只须(2)£°，解之得2262 1 2【例7】已知关于X的方程X -(k I)X -k 0，根据下列条件，分别求出k的值.(1)方程两实根的积为 5; (2)方程的两实根X1, X2满足IXIl=X2 .分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是 X1 = X2 _ 0 ,二是-XI=X2 , 所以要分类讨论.
9、2 1 2(k+1) -4(-k ÷1PO3解：(1) 方程两实根的积为 5 4= k_m,k=412X1X2k2 1 = 5L 4所以，当k = 4时，方程两实根的积为5.由IX1 I = X2得知:k - -1 ,由于丄 0 =当X1-O时，X1 = X2 ,所以方程有两相等实数根，故二=0= k =号；当 X1 0 时，P1 = X2 = x1 X2 = O= k 1 = O =故k二1不合题意，舍去.综上可得,k = 3时，方程的两实根X , X2 满足 | x1 I= X2 .淘出优秀的你说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，
10、即所求的字母应满足,：_0 .【例8】已知1, 2是一元二次方程4k2 - 4kx k0的两个实数根.3(1)是否存在实数k ,使(2x1 - X2)(X1 - 2X2)=-成立？若存在，求出 k的值;若不存在，请您说明理由. 求使 虫竺-2的值为整数的实数 k的整数值.X2 X1解：(1)假设存在实数k ,使(2x - X2)(X1 - 2X2)=-成立.22 一元二次方程4kX - 4kX k 1 = 0的两个实数根4k=02= k ： 0 ,.: - (Vk) -4 4k(k 1) - -16k _0 +X2 =1 又X1, X2是一元二次方程4kX2 -4kX k0的两个实数根'
11、;k 1X1 x2 :4k2 2 2k 94k(2x1 -x2)(x12x2) = 2(x1x2 ) -5x1x2 = 2(x1 x2) -9x1x2=9 ,但 k ： 0 .不存在实数 k ,使(2X1 - X2)(X1 -2X2)=-成立.52X1X2 -22X1X228X1X2X1X2要使其值是整数，只需k 1能被4整除，故k 1 - _1,_2, _4 ,注意到k ： 0 ,要使 鱼匹- 2的值为整数的实数k的整数值为-2, -3, -5 . X2为说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在, 否则即不存在.(2)本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法.