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1、1 第二课时三角函数线 预习课本 P1517,思考并完成以下问题 (1) 有向线段是如何定义的? (2) 三角函数线是如何定义的? 新知初探 1 有向线段 带有方向的线段叫做有向线段. 1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值. ( ) 三角函数线的方向表示三角函数值的正负. ( ) (3) 对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线. ( ) 小试身手 课前自土学习率稳才能樁髙 4 2 答案： X (2) V (3) X4 3 2已知角a的正弦线的长度为单位长度，那么角 a的终边（ ） A. 在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y =
2、x上 D.在直线y = x上 答案：B 3. 角a（0 a 填“ ”或课當讲嫌设计举一能通翼麗 4 4 9 n 作出一 的正弦线、余弦线和正切线. 解：如图所示,5 9 n 才的正弦线为MP余弦线为0M正切线为AT 鱼 1 (1)sin a ； (2)cos a w 2 三角函数线的应用 题点一：利用三角函数线比较大小 1 禾U用三角函数线比较下列各组数的大2 . 4 n 2 . 4 n sin 丁与sin牙，tan与tan 2 n 解：如图所示，角2y的终边与单位圆的交点为 P,其反向延长线与 2 n 单位圆的过点 A的切线的交点为 T,作PMLx轴，垂足为 M sin - 3 MP tan
3、 2= AT; * s A K Lr * % q T 4 n 5的终边与单位圆的交点为P,其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为， 4 n 作 P M 丄x轴，垂足为 M ,贝 U sin = MP, tan 5 由图可见，MPM P 0, ATAT sin ，tan _ 3 5 3 2n ta n 题点二：利用三角函数线解不等式 2.在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 a的集合: 6 解：（1）作直线y =彳交单位圆于 A B两点，连接OA OB则OA与 OB围成的区域（图 阴影部分）即为角a 的终边的范围，故满足条件的角 a的集合为 n a 2k n+ W a
4、W 2k n + 23-, k Z 7 (2)作直线x =-1 交单位圆于 C, D两点，连接OC OD则0C与0D围成的区域(图中 阴影部分)即为角 a 终边的范围，故满足条件的角 a 的集合为 2 n 4 n a 2k n + W a W2 k n + 3, k Z 题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3. 求函数 f(x) = 1 2cos x + In sin x丐 的定义域. 1 丿1 | n 3 n 即定义域为 x 2kn+ 3 W x b, cos x a(sin x0, sin x-#0, 1 cos x c,取点(1 , c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置
5、，9 结合图象可确定相应的范围. 3利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角 a的三角函数线，然后运 用运动的观点，找出符合条件的角的范围. 在这个解题过程中实现了一个转化， 即把代数问 题几何化，体现了数形结合的思想. 课后层级训竦步步提升能力 层级一学业水平达标 1角5和角可有相同的（ ） A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 n 6 n 解析：选 C 在同一坐标系内作出角 和角一丁的三角函数线可知，正弦线及余弦线都 5 5 相反，而正切线相等. 2.已知角a的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角 a的终边在（ ） A. 直线y=
6、x上 B. 直线y= x上 C. 直线y= x上或直线y= x上 D. x轴上或y轴上 解析：选 C 由角a的正切线是长度为单位长度的有向线段，得 tan a= 1,故角 a的终边在直线 y = x上或直线y = x上. 7n 如果MP和OM分别是角a =-的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是 7n sin 0, 8 Mf0, OM0, 二 MP0OM 4. 已知角a的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则 a的终边在（ ） A. 第一象限的角平分线上 3. A. MROMO B. OMOMP C. OMMRO D. Mf0OM 解析：选 D 7 n是第二象限角, cos 7n T1. 6.
7、 _ 若角a的余弦线长度为 0,则它的正弦线的长度为 _ . 解析：若角a的余弦线长度为 0，则a的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为 1. 答案：1 7. 用三角函数线比较 _ sin 1 与COS 1 的大小，结果是 9.作出下列各角的正弦线、 余弦线、正切线. (1) 5 n n 5 n 解：（1）因为一孑 y, n ，所以作出 角的终边如图（1）所示， 5 n 交单位圆于点P,作PML x轴于点M则有向线段 MP= sin ，有向线 解析：如图, sin 1 =MP cos 1 答案： sin 1COS 1 3 n 3 n 则 sin &若 e ，- 3n 2 解析： 由图
8、可知 si n 4 =2， 3n sin e 1, sin 2 - 1，2 即sin e 1, 2 答案： 1 2 ，2 显然 MPOM 即 sin 1COS 1. e的取值范围是 _ 象限的角平分线上，故选 C. 5. 若a是第一象限角，则 sin A. sin a + COS a 1 C. sin a + COS a 1 a + COS a的值与 1 的大小关系是（ ） B. sin a + COS a = 1 2n 12 6 5 n 段OMk cos ，设过A（1,0）垂直于x轴的直线交 OP的反向延长线于 T,13 5 n 5 n 则有向线段AT= tan _6-.综上所述，图(1)中
9、的有向线段 MP OMAT分别为_6-角的正弦线、 余弦线、正切线. 2 n n 2 n (2)因为 - n,，所以在第三象限内作出一 角的终 边如图所示. 交单位圆于点 P用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段 2n MP, OM, A T分别为一角的正弦线、余弦线、正切线. 10求下列函数的定义域. y = 3tan x 3. 解： 为使y = Ig 孑sin x有意义, xvf，所以角x终边所在区域如图所示， 5 n n 所以 2kn二;-X2kn+ 丁，k 乙 4 4 所以原函数的定义域是 5 n n x2kn 丁 x0,所以 tan x#, n n 所以 / + -xn +
10、 7, k 乙 所以原函数的定义域是 n n x k n xk n + =, kZ 6 2 (1) y=ig 丄 sin 2 sin 为使y= 3tan x 3 有意义, 所以角x终边所在区域如图所示, 2. 2 14 层级二应试能力达标 1.下列三个命题： n 5 n n 4 n 云与二-的正弦线相等； 与匚-的正切线相等； 6 6 3 3 n 5 n ；与亍的余弦线相等. 4 415 B. 2 D. 0 n 4 n y轴对称，大小相等，方向相同； 和-歹两角的终 和一厂的余弦线方向不同. 4 4 2 a + COS a = 3，则这个三角形是（ ） B.直角三角形 D.钝角三角形 n 解析
11、：选 D 当 0a 1,而 sin 2 a + cos a = 3, 3 a必为钝角. n n 如果4a 2，那么下列不等式成立的是 3n cos 4 A. cos a sin a tan B. tan a sin a cos C. sin a cos a tan D. cos a tan a sin 解析：选 A 如图所示, 在单位圆中分别作出 0M正切线 AT,很容易地观察出 OMMPAT,艮卩 cos 4. 使 sin x cos x成立的x的一个变化区间是 a sin a tan a . 的正弦线MP余弦线 A. B. C. 7t 3n 4 D. 0 , 7t 解析：选 A 如图，画出
12、三角函数线 sin x = MP cos x= OM 由于 sin 3n 4 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 C. 3 n 5 n 解析：选 B 6和-歹的正弦线关于 边在同一条直线上，因而所作正切线相等; 2.若a是三角形的内角，且 sin A.等边三角形 3. 16 n n sin = cos - 4 4 为使 sin x cos x成立， 则由图可得一手 x扌. 解析：利用三角函数线得 a的终边落在如图所示/ AOB区域内, n 5 n 所以a的取值范围是 0,百U , 2n . 十宀 n 5 n 答案： 0，3 U 3，2 n 7.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角 0的取值范
13、围. 1 1 也 sin 0 2；2 三 cos 0 亍 解：(1)图中阴影部分就是满足条件的角 0的范围， 5 n n 即 0 + 2k n 0 + 2k n, k Z . 5. sin 2 n 6 n ,cos , tan 5 5 2n 5 从小到大的顺序是 解析： 由图可知： 6n 2 2n cos vo sin 0 5 / | MP| AT, 2 n 2n / sin tan 5 6 n 2n 2 n 故cos sin 5 ta n 5 6 n 2 n 2n 答案： cos sin 5 5 vtan 5 6.若 0 a 1.利用三角函数线，得到 a的取值范围是 D 17 6 6(2)图中阴影部分就是满足条件的角 0的范围,18 2 n n n 2 n 即 9 2k n wB 2k n 或 2k n BW2kn+ , k Z 3 6 6 3 If 遂僦軀 8 .若 0 a 2，证明：sin a a tan a . 证明：如图所示，连接 AF，设弧AP的长为1 , y T f OAS 扇形 OASOAT, 亠 - 1 1 1 2IOA IMFp2i |OA2lOAAT , Ml A :.| MP I | AT, 二 sin a a tan a .