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1、第二讲 扩散系数与浓度的关系一俣野方法一、问题引出前面在处理扩散问题时都是假定D为常数，通过解析法求解扩散方程。但实际上，扩散系数D是与浓度C(从而也与空间坐标)相关的。菲克第二定律式(7-11):(7-11)俣野(Matano)从实验得出的浓 D(C)的方法，一般称这种方法为夕二D芝.t :X :X式中的D不能从括号中提出，因此不能用普通的解析法求解。 度分布曲线C(x)出发，解决了计算不同浓度下的扩散系数 俣野法。、数学处理设式(7-11)的定解条件为：初始条件:t=0 时,J=C2(7-92)边界条件:dCdx=0X= 土若(7-93)采用Boltzmann变换,(7-94)使偏微分方程
2、式(7-11)变为常微分方程。.C.:td- ;tdC2t d(7-95):C1 dC.C dd-1 dC Dt d :xD*(7-96)td d'式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得(7-97) dC 1对式(7-97)中的dC从C1到C积分(7-98)注意到浓度分布曲线上的任一点表示同一时刻 因子提到积分号前边，则式 (7-98)变为C-x的关系，因此t为常数，可把与t相关的1 1 CCxdC = t d2 、t cici1 ,cL dC ' C dcyC dC'(7-99)xdC DD=iD2t ClV dx £ i dx 拦i I dx 力
3、注意边界条件式(7-93)为所以dCdx C :Ci=0(7-100)xdC(7-101)式(7-101)即扩散系数D与浓度C之间的关系式。式中'生j是C-x曲线上浓度为 C处斜率的倒数;dC cCf xdC为从C到C的积分。C1 下面再分析一下式(7-101)。由于扩散系数 D与浓度C有关，在扩散过程中浓度分布曲线往往不会保持式(7-47)、(7-48)所示的中心对称关系。可以进行坐标变换C2C xdC =0(7-102)xt x ,使图7-25根据浓度分布曲线求不同浓 度下的扩散系数dC=0，所以由式(7-101)可知 C zC2式(7-102)所定的条件是必要的。 从几何上看，这
4、样变换坐标的目的， 是要使x= 0的平面把图7-25中画 有影线的面积划分为面积相等的两 部分A和B , x ' = 0所决定的平面 就是俣野面。因为dx很明显，只有当扩散体系的体积不变时，俣野面才与原始焊接面重合。经式(7-102)坐标变换后式(7-101)变为(7-103)_.1 'dx '1 CD (C )= 一一 I x dC 2t LdC * C1 俣野法根据式(7-103)求浓度C=Cm时的扩散系数 D(C)值的方法如下： 试样经t时间扩散后，根据实验结果画出浓度分布曲线； 用作图法找出俣野面，即使 图7-25中的面积A = B; 求积分 f xdC值，因为 1 'xdC = f x'dC+'x'dC =0,所以 f x'dC =xdC ,C1C|C1CC|C2即图7-25中的面积B -(A - A)=A1, l-dx i为C-x曲线在浓度C处的斜率的倒数。时间已dC c知，则式(7-103)右边各项均可求得，即可求出该浓度下的扩散系数D(C)。D(C)。经过一次退火，可以获得该温度下对应于不同浓度的一系列扩散系数俣野面的重要物理意义是，物质流经此平面进行扩散，扩散流入的量与扩散流出的量正 好相等。