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1、包装盒形状和尺寸的最优设计摘要走进超市，柜台上摆满了各式各样的软包装饮料（优酸乳，鲜牛奶，果汁，王老吉），细心的人不难发现，这些不同的饮品却有着相同大小（尺寸）的包装。为什么这么多厂家都选择了这个尺寸的包装， 它有何魅力让众厂家如此青睐呢？众所周知，优良的设计不仅可以省料省钱还有利于资源的节约。这样的包装一定是以它的优良设计打败了其他尺寸，才受到了众厂家的宠爱。问题描述现在我们就来研究一下包装盒的形状，尺寸的最优设计问题，通过你的研究，证实一下 此类包装盒是否真值得厂家如此亲睐。具体任务如下：1. 取一个饮料量为250ml的包装盒，测量你们认为验证模型所需的数据，例如包装盒各部 分的长度，高度
2、，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是你们自己测量得到的， 那么你们必须注明出处。2. 设包装盒是一个底面为正方形的长方体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理的 说明你们所测量的包装盒的形状和尺寸，例如说，底边和高之比，等等。3. 利用你们对所测量的包装盒的洞察和想象力，做出你们自己的关于包装盒形状和尺寸的 最优设计。模型假设1. 假设只考虑包装盒的表面材料用量，折叠部分忽略不计。2. 假设设计的包装盒均以 250ml的容量为标准，记包装盒的体积为S,表面积为V。模型建立1. 根据测量得到250ml的伊利牛奶的包装盒尺寸标准如下S271.215立方厘米长6.3厘米宽4.1厘米高10
3、.5厘米以上数据由自己测量得出！为了计算方便，将S取整为271立方厘米，包装盒所用材料为 V=(6.3*4.1+6.3*10.5+4.1*10.5)*2=270.06，同上取 270 平方厘米2. 现在将包装盒设计成底边为正方形的正方体，设底边为X，高为丫，则S=X*X*Y=271 ，XV=X*X*2+X*Y*4 ，当包装盒所用材料最少时为其最优设计，所以要求V最小时, X/Y的值由 S=X*X*Y=271 二 Y=271/(X*X)代入 V 中，得，V=2*X*X+1084/X，则 V '4X-1084/(X*X)，令 V '0，4X=1084/(X*X)则 X*X*X=27
4、1所以当X=Y时，V最小，为最优设计由以上计算得出，包装盒的最优设计为底和高相等的正方体 所用材料为271立方厘米3. 现在根据日常的知识，假设圆柱形的包装盒所用材料为最省。设底面的半径为R，高为H，则S=PI*R*R*H=271由 S=PI*R*R*H=271，二 H=271/(PI*R*R)V=2*PI*R*R+542/R则 v '4*PI*R-542/(R*R)令 V '0, R*R*R=542/ (4*PI)时有最优解解得 R=3.5 H=7.04M=2*PI*R*R+2*R*H=231.78当包装盒设计成圆柱体时制作材料比前面两种设计都要省。所以本组的包装盒最优设计方案为圆柱体，因为在体积相同的理想情况下，圆柱 体包装盒设计方案是最省制作材料的。结果分析从材料方面计算，圆柱形的设计是最省的。但考虑到实际的运用，比如装箱 率来计算，圆柱形设计在装箱时会留出许多空间缝隙，降低了装箱率。正方体设计虽然在装箱时没有空间浪费，但是由于底面积比较大，装箱率也不如立方体的 设计。所以从各方面着想，市面上的包装盒设计的使用性还是可以肯定的。