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1、第九讲：重叠问题【知识要点】：三（ 1）班准备给参加班级绘画比赛的 16 位同学和参加朗读比赛的 12 位同学每人发一份纪念品，当中 队长玲玲将 28 份纪念品发下去时，却多出 5 份，这是怎么回事？对了，因为有 5 位同学既参加了绘画比赛， 又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了 5 份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理 包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时， 为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示 ，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从
2、而找出解答方法。【例 1】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第 10 面这行彩旗共多少面？【思路导航】 根据题意画出下图。从图上可以看出，从前数起红旗是第 面，从后数起是第 面，这样红旗就数了 ，重复了次，所以这行彩旗共有+ -=面。 【课堂反馈 1】1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第 7个。这队小朋友共有多少 人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21个。这一行座位 有多少个？【例 2】 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第 4 个，从右数起是第 3 个，从前数
3、起是第 5 个，从后数起是第 6个。做操的同学共有多少个？【思路导航】 根据题意画出下图。由图可看出：小明的位置从左数第 ,从右数第 个，说明横行有+ -= 个人；从前数第 ，从后数第个，说明竖行有+ -=人所以做操的同学共有：X=人。【课堂反馈 2】 1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从 右数起都是第 4个。跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？【例3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘
4、米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长.度就是重叠部分，重叠的部分是厘米，所以这两块木板的/ /FF总长度是+ =厘米，每块木板的长度是1F =厘米。【课堂反馈31、 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间 重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？66cm2、 两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长 66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠 部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？【例 4 一次数学测试，全班 36人中，做对第一道聪明题的有 21人，做对第二 道聪明题的有18人，每
5、人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？【思路导航】根据题意，画出下图：图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得+ =人，这人比全班总人数多出了 =人，这多出的人既对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都 做对的人数。【课堂反馈41、 三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。 已知参加赛跑的有36人, 参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？2、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？【例 5 三（1）班订数学报的有 32人，订阅读报的有 30人，两份报纸都订
6、的有 10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？【思路导航】根据题意，画出下图：从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的 人，这10人既被包括在订数 学报的 人内，又被包括在订阅读报的 人内，重复算了 _次，所以要算 出全班人数，必须从 + = 人中去掉被重复算过的 人。所以全班人数 应是 = 人。【课堂反馈51、三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人, 每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？2、两块木板各长 90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是 15 厘米，这块钉在 起的木板总长多少厘米？【课后作业】1、同
7、学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8 个。这一排共有多少个同学？2、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6 个，从后数是第 5个；从左数、从右数都是第 3个。三（ 4）班共有学生多少人？3、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长 35厘米的木板。中间重合部分长 11 厘米，这 两块木板各长多少厘米？4、三（ 5）班有 42名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两种棋都不会的 有 10 名。两种棋都会下的有多少名？5、三年级有 107个小朋友去春游，带矿泉水的有 78人，带水果的有 77 人，每人至少带一种。 三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？