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1、粒子滤波算法09S003057 徐飞由于我的课题是用粒子滤波进行目标跟踪，今天参加了一场粒子滤波算法的讲座，对经典粒子滤波与其它粒子滤波进行了详细的讲解，学到了很多知识。经典粒子滤波算法的一般描述：1. 初始化：取k = 0,按p(X0)抽取N个样本点X0'), i = 1,N。(i)(i)' (i)(i)(i)2. 重要性米样:xkf q(Xk|x0：L，Zi：k)，令x0：k=(X0：、Xk)，其中 i = 1,N。3.计算权值:q(xki) |x0：",Z1:k)p(Zk |xki)p(xki) |xki)1)若采用一步转移后验状态分布，该式可简化为 就)=缶k
2、L p(zk | x)。4. 归一化权值：斜k =j =_5. 重采样：根据各自归一化权值建)的大小复制/舍弃样本x0Z，得到N个近似服从(i)(i).(i) W p(x0:k | Z1:k)分布的样本 x0:k。令由k = ®k = 1/N , i = 1, ,N。6. 输出结果：算法的输出是粒子集x02 : i =1.N,用它可以近似表示后验概率和函数gk (x0:k )的期望p(x°:k | Z1:k)1 /, i、E(gk(x0:k)gk(x0:k)N i7.K=K+1,重复2步至6步。其它粒子滤波 正则粒子滤波正则粒子滤波(Regularized Particle
3、 Filter , RPF雇为了解决由重采样引入的新问题而提出的一种改进的粒子滤波。 当通过序贯重要性采样后引起粒子退化问题时，前面提到可以用重采样的方法来减小退化的影响，但是引入重采样策略同时也引入了新的问题，即粒子匮乏问题，经过若干次迭代之后，所有粒子都趋向于同一个粒子，导致粒子的多样性丧失。这是因为在重采样过程中，粒子是从离散分布中采样取得的，而不是从连续分布中采样得到的。正则粒子滤波正是为了解决上述问题而提出的。它与 SIR粒子滤波的区别在于：在重采样过程中，SIR从离散近似的分布中重采样，而正则粒子滤波则从连续近似的分布中重采 样。Nj j m ii、x"kjp(xk |
4、y°:k) 'kKh(xxk)i =11 x其中，Kh(x)= n K ()是对核笞度K(进行了重新标度后的结果，n为x的维数,h称为hxh核带宽，满足h>0 ,并且核密度满足xK(x)dx = 02|x|2 K(x)dx :：:的对称概率密度函数。对核带宽h的选择，要求满足后验密度和相应的正则经验密度表示之 间的平均积分方差最小。2MISE(P) = E pg | YoJ-p(xk| Y0：k)2dxk其中,p(xk|y°：k)表示对p(xk | y°：k)的近似。在所有权值相等的特殊情况下，最佳的核密 度是Epanechnikov核密度胃(1-|
5、x)， if|x|卜：1Kopt =< 2Cnx0, else其中，Cn是Rnx内单位超球体的体积。 nx根据正则化在选择步骤之前还是之后，RPF分为Post-RPF和Pre-RPF,两种RPF在弱意义下收敛于最优滤波器，收敛率为h2+1/JN ;在强意义下，估计误差正比于 h2 1/、一2。辅助粒子滤波Pitt 和Shephard在标准SIR滤波算法的基础上提出了辅助粒子滤波(AuxiliaryParticle Filter, APF)。与标准序列重要性重采样 (SIR)算法相比，APF也是以序列重要性采样(SIS)算法为基础，只是选择了不同的重要性密度函数q(xk, i | z1:k
6、),它在粒子集合xk,ijk上进行采样，其中ij是k-1时刻粒子的标号。根据贝叶斯准则pg,i |zi：Q 二 p(Zk |xQp(xk,i |zk)=p(Zk | xk)p(xk | i ,zi* )p(i | zi*如=p(Zk | xk)p(xk | xL)辅助粒子滤波在联合概率密度p(xk,i|z1:k)上进行采样，忽略(天)中的标号i ,在边缘概率密度函数 p(xk | Z|:k)上获得一个样本集合xk旗。令以前的重要性密度函数满足如下 的比例关系q(4,i |鬲)工 p(Zk |k)p(xk |xL) L其中，Uk是在己知x"的情况下，的概率特性，可以是均值 K =Exk
7、 |xk_1或者是一个 采样e p(以)。令q(xk,i|4k) =q(i |z:k)q(xk |i,Ztk) 并且q(x |i,石:k) =p(x |xL)在每个采样点上，粒子权值的更新公式如下ii iji、j _ ij p(4 |xk)p(乂 |xkj _ p(Zk|xk)k I q(x：,ij |Zi:k)p(Zk|"k)与SIR滤波算法相比，辅助粒子滤波算法的优势在于它在k-1时刻的样本集合上随机抽取了一些点，抽取时以当前的观测数据为条件，这样可以更加接近真实的状态。辅助粒子滤波可以看作是在一些点的估计卜;的基础上，在之前时间点上进行重采样。当噪声比较小的时候，可以很好地用
8、祢来表示p(xk|x),这时辅助粒子滤波算法就不像SIR算法一样对局外点比较敏感，权值的大小也更加均匀。然而，过程噪声比较大时，单一的点估计不能很好地表示p(xk|x") , ASIR性能下降。高斯粒子滤波Jayesh和Petar提出的，将高斯滤波和粒子滤波结合，称为高斯粒子滤波(GaussianParticle Filter , GPF*该方法的前提是用高斯分布来近似后验分布，它比其它的高斯滤 波方法适用性更强，能处理更多非线性动态系统问题；而与一般的粒子滤波相比，因为GPF用高斯分布近似后验分布，所以只要所用的高斯分布是正确的，就不会产生粒子退化问题， 就不需要对粒子进行重采样，
9、从而使算法的计算量降低，复杂度也降低。通常一个高斯随机变量 x的密度可表示为N(x;，D =(2二)m2 |E |,2 exp(-(x-)W-1(x-)/2)其中，卜为x的m维向量均值；£为x的协方差矩阵。GPF设后验分布p(xk |瓦。=Ckp(xk |Z0:k)p(Zk |xk)可以近似成高斯分布，即下式p(x | Z):k) Ckp(Zk |xk)N(xk :孔，二)-k U-t/I、/I.其中，Ck =( jp(xk |z0:k)p(Zk |xk)dxk)。GPF测量更新是通过一个高斯分布近似上述滤波概率分布，即p(xk|z0:k) ： N(x:kBk)和& 一般不能
10、用解析表达式直接求出，在GPF中，用蒙特卡罗方法计算式中和Ik的估计值，通过对重要性密度函数q(xk | z0:k)抽取样本xk并计算其权值 与；，i表示样本数，然后基于这些样本及权值来获得状态a的均值K和协方差£k。计算公式为'N盘kxkN一上式中，N表示样本总数。高斯粒子滤波比其它高斯滤波有更好的性能，而与一般的粒子滤波相比计算量大大减 小，复杂度降低。但是高斯滤波在后验分布不能用高斯分布近似的非线性动态空间模型或者 非线性系统非加性高斯噪声模型时，滤波性能不能令人满意。通过今天的学习，对粒子滤波的各种方法有了深入的理解，有助于我的课题选择适合的滤波方法，也有助于进一步的研究和学习。