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1、切线问题1、求曲线yfxx31在点 P 1,2 处的切线方程 .2、过原点的直线l 与曲线 yex 相切，求直线l 的方程 .3.过点（ 0,1）的直线 l 与两曲线y=lnx ， x2=2py 均相切，求p 的值。函数单调性和求极值、最值例 .曲线 yx 22 ln x的单调减区间是 ()A.(0,1;B.1,) ;C.(,1 及 (0,1 ; D. 1,0) 及 (0,1;例 . 若函数 f ( x)x2a 在 x1处取极值，则ax1例若()3323(2)1有极值，则的取值范围是.fxxaxaxa例已知函数 f (x)x312x8 在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为M , m ，则
2、M m.例 . 设函数 f ( x)x33ax b(a 0) .（）若曲线yf ( x) 在点 (2,f ( x) 处与直线 y8 相切，求 a, b 的值；（）求函数f ( x) 的单调区间与极值点.（）若 b1且 f (x) 在 x1 处取得极值 , 直线 y=m与 yf (x) 的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。思考: 若是有 1 个不同的交点呢 ? 2 个不同的交点呢 ?例 . 已知函数f( )x32x21x(1)求函数 f (x) 在区间 1,2 上的最大值和最小值 .(2)若在区间 1,2上，恒有 f (x)a0 ，求 a 的取值范围 .(3)若在区间x1 , x2 1,2
3、 上，恒有f (x1)f (x2 )a ，求 a 的取值范围 .( 三)练习1设 f (x) x ln x ，若 f '(x0 ) 2，则 x0 （） A.e2B.e C.ln 2D. ln 2x 有 f (22已知对任意实数x)f ( x) ， g (x) g(x) ，且 x0 时， f (x)0 ， g ( x)0则 x 0 时（）A f (x) 0 ， g ( x) 0B f (x) 0 ， g ( x) 0C f (x) 0 ， g ( x) 0D f (x) 0 ， g ( x) 03已知函数 （ x) 的图象如右， 则 （ x) 的图象（如下）可能为（）(A)(B)(C)(
4、D)4R ，若函数yexax ， xR 有大于零的极值点，则（）设 aA a1 B.a1 C.a1a1D.ee5函数 yx cos xsin x 在下面哪个区间内是增函数（）（A） (， 3) （B）(， 2) （C）( 3， 5)（D） (2， 3 )22226函数 f (x)ax3x1 有极值的充要条件是( ) A a0 B a 0； C a0 ；D a 07函数 f (x)x ln x 的单调递减区间是8. 已知函数 f (x)ax3bx2cx在点 x0 处取得极大值5，其导函数 yf '(x) 的图象经过点(1,0) ， (2,0) ，如图所示 . 求： （） x0的值；（）
5、a, b, c 的值 .导数中参数范围问题一、课前练习： . 若()3323(2)1在 R 上单调递增，则的取值范围是fxxaxaxa . 若f()x3323(a2)x1有极值，则a的取值范围是xax二、典型例题例 . 已知 f ( x)x3 3x29x 在区间 ( a,2 a 1) 上单调递减，求则a 的取值范围例 . 已知 f ( x)1 x3x2ax 5 ，3（）若 f (x) 的单调递减区间是( 3,1) ， 求 a 的取值范围（）若 f (x) 在区间 1,) 上单调递增，求 a的取值范围小结：若函数 f (x) （不含参数）在区间是 ( a, b) （含参数）上单调递增（递减） ，
6、则可解出函数f ( x) 的单调区间是 (c, d ) ，则 ( a, b)(c, d )一个重要结论：设函数f ( x) 在 (a, b) 内可导 . 若函数 f ( x) 在 ( a, b) 内单调递增（减） ，则有 f ' ( x) 0( f ' (x) 0) .方法 1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数构造函数g( x) （可将有意义的端点改为闭）求g( x) 的最值得参数的范围。方法 2：如参数不方便分离，而f ' ( x) 是二次函数，用根的分布：若f ' ( x) 0 的两根容易求，则求根，考虑根的位置若 f ' (x)0 不确定有
7、根或两根不容易求，一定要考虑和f ' (a) f ' (b) 有时还要考虑对称轴变式 . 若函数f ( x)x3ax23x1, 在 0,上单调递增，求a 的取值范围 .例 2若函数f (x)x3tx2t 2 xt 3 (t0) 在 2, 2 上单调递减，求t 的取值范围 .例 3已知函数fxx332bx，其中a, b为实数 .若f x在区间1, 2上为减函数，且 b9a ，求a的取ax值范围 .（）fx3x26ax b3x26ax9a ，又 fx在1, 2 上为减函数，fx0 对 x1, 2 恒成立，即 3x 26ax9a 0 对 x1,2恒成立 .f10 且 f20 ，36a
8、9a0a1a 的取值范围是 a1.3a 1 ，即12a 9a0a127课后作业：1. 已知函数 f ( x)x3ax2x 1， aR 设函数 f (x) 在区间2， 1内是减函数，求a 的取值范围332. 已知函数3. 设函数f ( x)x3ax2a2 x3(a0) ，若函数f (x) 在区间2， 1 内是增函数，求a 的取值范围f ( x)2x33(a1) x26ax8,其中 aR.（ 1）若 f (x)在x3 处取得极值，求常数a 的值；（ 2）若 f ( x)在(,0) 上为增函数，求a 的取值范围 .4. (1)求证 x0 时， ln xx1(2)证明不等式：12xe2x x0 .5.
9、 已知函数 f (x)ax在 x1处取得极值 2.x 2b(1) 求函数 f ( x) 的表达式； (2)当 m 满足什么条件时 , 函数 f ( x) 在区间 (m , 2m1) 上单调递增？解： 因为 f / ( x)a( x2b)ax( 2x), 而函数 f ( x)axb在 x1处取得极值 2,(x 2b) 2x2/a(1b) 2a 0a4所以f (1)0 ，即a，解得, 所以 f ( x)4x即为所求 .b1f (1)2b21 x21（ 2）由（ 1）知 f / ( x)4( x 21) 8x24(x1)( x1)( x21) 2(1x2 ) 2m1可知， f (x) 的单调增区间是
10、 1, 1 , 所以， 2m 111 m 0 .m2m1所以当 m ( 1 , 1 时，函数 f (x) 在区间 (m , 2m1) 上单调递增 .导数中的分类讨论问题一、参数引起的分类讨论例：已知函数例：已知函数f( )plnx(p1)x21, 当p0时，讨论函数f ( x)的单调性。xf (x)ln( x 1)k (x1)1 ，求函数f (x) 的单调区间；二、判别式引起的分类讨论例：已知函数 f ( x) x2x a ln x ， (aR) ， 讨论 f (x) 在定义域上的单调性。三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例：已知函数f (x) = -2x3 + 2ax 2 +3x ，
11、令 g( x) = ln( x + 1) + 3-f ?(x) ，若 g(x) 在 (1,) 上单调递增，求实数 a 的取值范围 .32四、二项系数引起的分类讨论4. 已知函数 f (x)(a1)ln xax21.(1) 讨论函数f ( x)a，求证：对任意xx， ) ，|f(xfx2)| 4|xx2|.的单调性； (2) 设 21， 2(01) (1三、针对性练习1. 已知函数f ( x)a ln xax3(aR且a 0)（）求函数f (x) 的单调区间；（）当 a2时，设函数 h(x)( p2)xp 2e3 ，若在区间 1,e上至少存在一个x0 ，使得 h(x0 )f ( x0 ) 成立，
12、试x求实数 p 的取值范围2. 已知函数 f ( x)x2axa ln( x1)(aR) , 求函数 f ( x) 的单调区间；例：已知函数f (x) p ln x (p 1)x 21,当 p0 时，讨论函数f (x) 的单调性。解：f ( x) 的定义域为（ 0，+）， f 'xp2 p 1 x2 p 1 x2pxx，当 p1时， f '( x) 0，故 f ( x) 在（ 0， +）单调递增；p.当 0 p 1 时，令 f '( x) =0，解得 x2 p1则当 x0,p时， f '( x) 0； xp时， f '( x) 0.2 p1,2 p 1故
13、 f ( x) 在 0,p单调递增，在p,单调递减 .2 p12 p1例：已知函数f (x)ln( x1)k (x 1)1 ，求函数 f (x) 的单调区间；解:（1） f ' ( x)x1k,( x1),所以,1当 k0时 , f ' ( x)0; 当 k0时 ,由 f ' (x)0 得 : x 11 ,所以,k当 k0时 f (x)在 1,上为增函数；当 k0时 f (x)在 1,11上为增函数；在11 ,上为减函数；kk二、判别式引起的分类讨论例：已知函数 f ( x)x2xa ln x ， (aR) ， 讨论 f (x) 在定义域上的单调性。f( x)2x1a2
14、x2xa0) ，解：由已知得xx,( x（ 1）当（ 2）当18a0 ， a18a0 ， a1时， f (x)0 恒成立，f ( x) 在 (0,) 上为增函数81时，81) 0 a1时，11 8a 11 8a0 ， f (x) 在 11 8a ,11 8a 82222上为减函数，f (x) 在 (0, 118a , 11 8a ,) 上为增函数，222）当 a0时， 11 8a0 ，故 f ( x) 在 0, 118a 上为减函数，22f ( x) 在 11 8a ，）上为增函数2综上，当 a1) 上为增函数 ;时， f ( x) 在 (0,8当 ) 0a1时， f (x) 在 118a,1
15、1 8a 上为减函数，822f (x) 在 (0, 118a, 118a ,) 上为增函数，22当 a0 时， f(x) 在（ 0， 118a 上为减函数，f ( x) 在 1 1 8a）上为增函数22五、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论例：已知函数f (x) =-2 x3 + 2ax 2 + 3x ，令 g( x) = ln( x + 1) + 3-f ?(x) ，若 g(x) 在 ( 1 ,) 上单调递增，求实数 a 的取值范围 .32解：由已知得 g (x)ln( x1)3(2x24ax3)ln( x1)2x24ax ，g ( x)14x24(1a)x14ax 14x 4ax1，又
16、当 x(1 ,) 时，恒有 x10 ，2设 h(x)4x24(1 a) x1 4a ，其 对称轴为 x44aa 1，82(i) 当 a11,即 a0时，应有16(1 a) 216(14a)022解得 :2 a0 ，所以 a0 时成立，a 11, 即 a0 时，应有 h(1) 0即: 14(1a)14a 0(ii) 当22212解得 a0 ，综上：实数 a 的取值范围是 a 0 。六、二项系数引起的分类讨论4. 已知函数 f (x) (a1)ln xax2 1.(1) 讨论函数 f ( x) 的单调性；(2) 设 a 2，求证：对任意x1 ，x2 (0 ， ) ，| f ( x1 ) f ( x
17、2 )| 4| x1 x2|.解析： (1) f ( x) 的定义域为 (0 ， ) ，() a12 2a1fx 2 ax.xaxx当 a 0 时， f ( x) 0，故 f ( x) 在 (0 ， ) 上单调递增当 a 1 时， f ( x) 0，故 f ( x) 在 (0 ， ) 上单调递减当 1 a0 时，令 f ( x) 0，解得 xa1，2aa1(a1) 时， f ( x)0；则当 x (0, 时， f ( x) 0；当 x,2a2a故 f (x) 在 (0,a 1(a1) 上单调递减 上单调递增，在,2a2a(2) 不妨设 x1 x2. 由于 a 2，故 f ( x) 在 (0 ，
18、 ) 上单调减少，所以 | f ( x1 ) f ( x2)| 4| x1 x2 | 等价于f ( x2 ) f ( x1 ) 4x1 4x2，即 f ( x2) 4x2 f ( x1 ) 4x1 .令 g( x) f ( x) 4x，则 ( 1224x1) a 2 4axa.g xxaxx4x24 12x12于是 g( x) x0.xx从而 g( x) 在(0 ， ) 上单调减少，故g( x1 ) g( x2 ) ，即 f ( x1 ) 4x1 f ( x2 ) 4x2 ，故对任意 x1 ，x2 (0 ， ) ，|f ( x1 ) f ( x2 )|4| x1 x2 |.三、针对性练习1.
19、已知函数f ( x)a ln xax3(aR且a0)（）求函数f (x) 的单调区间；（）当 a2 时，设函数 h( x)( p2) xp2e3 ，若在区间 1, e 上至少存在一个x0 ，使得 h(x0 )f ( x0 ) 成x立，试求实数p 的取值范围解：（ ）由f ( x)a(1x)x知：当 a0 时，函数f (x) 的单调增区间是 (0,1)，单调减区间是(1,) ；当 a0 时，函数f ( x) 的单调增区间是 (1,) ，单调减区间是(0,1) ；（）a2,f ( x)2 ln x2x3.令 F (x)h( x)f (x) ，p2e3 2 ln x 2x 3 pxp2e2 ln x
20、 .则 F (x) ( p 2) xxxxp2e1.当 p0 时，由 x1, e 得 px0,2 ln x 0 ，xx从而 F ( x)0,所以，在 1, e 上不存在 x0 使得 h(x0 )f ( x0 ) ；2.当 p0 时， F ( x)px22xp2e ,x1, e,2e 2x0 ,px2x2p0, F ( x)0 在 1, e 上恒成立，故 F ( x) 在 1, e 上单调递增。F ( x)maxF (e)pep4e故只要 pep40 ，解得 p4eee21综上所述，p 的取值范围是 ( e24e1,) 。2. 已知函数 f (x)x2axa ln( x1)(aR) , 求函数 f ( x) 的单调区间；a2x(xa2 )解： f '(x ) 2 x a2,x1x1a22x( xa2)若 a1, f ( x)2>0 在（ 1，）恒成立，0 时，则2x1所以 f ( x) 的增区间（ 1，） .a2a 22x(xa2 )若 a0, 则1，故当 x(1, ， f '(x)20 ，22x1a22x(xa2)当 x ,) 时， f ( x)20 ，2x1所以 a>0 时 f ( x) 的减区间为（ 1, a2 ）， f (x)的增区间为a2 ,) .22