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1、四边形辅助线练习题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形初梯形在解决一些和四边形有关的问题时往 往需要添加辅助线下面介绍一些辅助线的添加方法.一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线 构造平行四边形.1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1,已知点o是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:0E与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造 平行四边形.2利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2,在
2、AABC中，E、F为AB上两点，AE=BFt ED证:ED+FG=AC说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3. 利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3,已知AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF二AC.图3图4说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，造平行四边形当已知-s和菱形有关的辅助线的作法中点或中线应思考这种方法.和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借噜晞判护咛竦:定定理解决问题. 例4如图5,在AABC中，乙ACB=90。，乙BAC的平分线交BC韦点D, g是AB上二点，
3、且AE二AC, EF例5点/求证EF+BF的厳小值等于DE如图6,四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC 长说明：菱形罡一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅 助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问 题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的 辅助线的作法较少.例6如图7,已知矩形ABCD内一点，PA=3, PB=4, PC=5求PD的长.四、与正方形有关辅助
4、线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既罡轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多解决 正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.£例7如图8,过正方形ABCD的顶点B作BE证：乙BCF= 2乙aeb.n一说明：本题是一道综合题,既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质通过连接正方形的对角线构造正 方形AHBO：进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问題.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线.构造全等三角形或平行四边形例1已知：如图，ad为A4BC中线，求证：AB+AC>2AD.类题1 已知：如图，AD为A4BC的中线，AE=EF.求
5、证：BF二AC二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2 .已知:如图，在A4BC中，ZC = 90° . M为AB中点，P、Q分别在AC、 PM 丄 QM 于乩求证：PQ2 =AP2+BQ2.类题2.已知：AASC的边bc的中点为N,过a的任一直线AD丄BQ于d, CE, 证：NE=ND三、有中点时，可连结中位线.例3 如图，A4BC中，D、E分别为AB、AC上点，P、Q,求证：AP=AQ P类題3 已知：如图，E、F分别为A类題4 如图，AABC中，ad是高, 的中点；（2） ZB = 2ZBCE四、有底边中点，连中线.利用 例4已知:如图，
6、在RtM PF 丄 A3 于 F, PE±C线G为垂足，DC二BE求证：（1） G是CE題D为BC边中点，P为BC上一点,AI辅助线法D:EF>（AB-CD）.M、N为BE、CD中点，连MN交AB、AC于ICE,D于E类题5 已知：如图，矩形ABCD,六、与梯形中点有关的辅助线：有腰材F例5 已知:如图、在直角梯形 -已知：梆/dB类零【作山1、t2、如ACCE, F为AE中点，求证：BF丄FD人求证:AM二MB与MXC BC C 同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生3、籍四边形ABCD,对角线韦交于点0, P、E、F分别是AD、OB、0C釣中点. 求证:PE=EF4、等
7、腰梯形ABCD中，DC服 ZAdfc=601 求证：AEF”是等边三角形。5、如图，在四边形ABCD中，直平分。B6、如图，在AABC中，E是AB的中点，CD平分乙ACB,A善线上，M、<=B化证明结论。Qc=2ABo-*NfnctANBD 出ACI CDCMN与PQ互相垂7、BD、CE分别为AABC外角平分线，AM丄BD于M： AN丄CE于乂探究MN与AB、BC、AC的关系。 附加题：(1) 若将上题中BD改为乙ABC的平分线，其它条件不变.则上题结论呆否成立。(2) 若BD、CE分别为ZABC和乙ACB的平分线，其它条件不姿8、AABC 中，AB=AC, ZBAC=« ,在
8、於BCA等邻角四酒形届解答下现问 舸形的CA,点C匚如图1所示,则易证,1点，AC住戡取A&LAgU竝他-AE；BD=CE,如图2所示，将AADE逆时胡昶转到如图所示位酉 连结BD、c/C (1)判断BD与CE的数星关系 、CE延长线所夹锐角的度数。(2)点G、F分别 索乙GPF与a的心ABGl等辱 ADE 并加以证明。的四边形口9、我们给书碇义(1) 写出一介你所学过的爲殊四边形中是(2) 如%1仔30_ ig=AC, 在就上，且C 延长交AB于点G .求证：四边形AG車是等邻角四边形;(3) 如图2,若点D在AABC的内部，(2)中的其他条件不变， 角四边形，若存在，指出是哪个四边
9、形，不必证明；若不 1、在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA怎(1) 请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；(2) 试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说由。G有巨组相邻内角E(画图、证明)妙点，试探BC、AD的中備，连接EF并C于点H.图中是否存在等邻EF. YG, GH, HE0D对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线对角线的四边形的中点四边形是正方形的四边形的中点四边形是平行四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形星顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是顺次连接矩形各边中点所得的四边形罡顺次连接菱形各边中点所得的四边形是顺次连接正方形各边中点所得
10、的四边形是(5)练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，月矩形B.直角梯形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，)正方形所得图形一定是(C.菱形为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是Ax等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形3、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是()平行四边形菱形等腰梯形对角线互相垂直的四边形A.® B.C.D.4、顺次连接四边形如)各边的中点所得四边形是菱形，则四边形如)一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等
11、的四边形5、如图,在梯形ABCD中,ABCD, AD=BC,点E, F, G, H分别是AB,BC, CD. DA的中点,则下列结论一定正确的是().A ZHGF = ZGHE B ZGHE = ZHEFC ZHEF = ZEFGD ZHGF = ZHEF6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第刀个矩形的面积为7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是8、如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满证明：四边形月必GD是矩形；写岀四边形aGD和四边形舷皿的面积； 写出四边形亦ca的面积；求四边形&仙的周长.D.Ai谢中点9、如图，四边形ABCD中,AC=a, BD=b,且AC丄BD,顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形AbC】D】,再顺 次连接四边形A：B：CD各边中点，得到四边形,如此进行下去，得到四边形皿CJk(1)(2)(3)10. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ZADE和ABCE 分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMX为怎样的四边形，并证明