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1、【学习目标】1能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内 在联系2 能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式但不要求 记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉 性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2cos22sin cos(S2 )cos sin2 (C2 )2cos211 2si n2tan 22ta n1 tan2(T2 )要点诠释
2、:(1) 公式成立的条件是： 在公式S2 ,C2中，角 可以为任意角，但公式T2中，只有当 一 k及2k(k Z)时才成立；4 23(2) 倍角公式不仅限于 2是 的二倍形式，其它如 4是2 的二倍、一是一的二倍、3是的2 42二倍等等都是适用的要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键 如: sin 2sin - cos- ； sin班2 和角公式、倍角公式之间的内在联系2sin尹cos尹(nZ)在两角和的三角函数公式 S ,C ,T 中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下:要点二：二倍角公式的逆用及变形1-公式的溯2stn從BE
3、ts = si口sinacosa口加*cx*s: tr sin; a. = 2cos' ct1 = 1 Jan* a =cos2cr.2；tan 2(z.1- tan- a2- 公式的换l+siii2a= (siuei 士 cosu)"；降訟式；曲11空丝皿"匕沁2 2升報式；1十皿嘗加,=卞13罰竹：u,要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基此题型求值题、化简题、证明题1对公式会“正着用，“逆着用，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、 换元等；2.掌握“角的演变规律，寻求所求结论中的角与条件中的角的关系，如(),2()()等等，把握
4、式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);3将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1 .化简以下各式：22tan 37.5(1) 4sin cos ; (2) sin cos ； (3)厂22881 tan2 37.5【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(1) 2sin(2)【解析】(1) 4sin cos 22 22sin(2) sin2cos 8 82COS 82sin -8cos4tan 37.521 tan 37.51 2sin 37.5 22 1 tan 37.
5、5【总结升华】此题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二 倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会此题中的解题思路.举一反三：=cos4C3) =tanl5O* = m(180'-3(r)-ran3T -类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例 2.求 sinlO ° sin30 ° sin50 ° sin70 ° 的值.【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用sin sin2 ，不断地使用二倍角的正弦公式2cos方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cossin 22si
6、 n进行化简.1【答案】16【解析】方法一：sin 10 sin 50 sin 70sin 20 cos20 sin 50sin 40 sin504cos10 1二 sin10 sin30 sin50 sin70162cos10sin 20 sin 50 sin 702cos10sin40 cos40sin 8014cos10 8cos10 8、 1方法二：原式 cos20 cos40 cos802sin 40 cos40 cos80sin80 cos802sin 20 cos20 cos40 cos804si n 201 si n16014si n 202si n 20【总结升华】此题是二倍
7、角公式应用的经典试题.16 sin2016方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征二倍角形式，逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式.在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余(补)的关系，从而使最终的结果为实数利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形:般地，假设 sin 0，那么 cos cos2 cos4 L cos2nn 1sin 2n 1.2 sin举一反三：2sin 20 cos20 cos40 cos802sin 20cos80【变式 1 】求值：sin10 ° cos40 ° sin70 °【解析】原式cos
8、20 cos40 cos802sin 40 cos40 cos80 2sin804sin 208sin 20si n160sin2018sin 208sin208'类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3 化简以下各式：/八 sin sin 2/ox 口(1)(2). 1 sin41 cos cos2【思路点拨】(1)观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简.(2)观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简.【答案】(1) tan (2) sin2 cos2【解析】 sin sin 2 sin 2sin cos sin (1 2cos )怡门.
9、1 cos cos 2 cos2cos2cos (1 2 cos )(2) . 1 sin 4sin2 2 2sin2 cos2 cos2 2(sin 2 cos2)2 |sin2 cos21 sin2 cos2.2 2【总结升华】余弦的二倍角公式的变形形式：1 cos 22 cos ,1 cos 22si n.经常起到消除式子中1的作用由于 sin22sincos，从而1 sin2(sincos )2，可进行无理式的化简和运算.例4化简：2cos212ta nsin2 44【解析】原式 -2sin 42cos 4 cos 4cos 2cos 22sincos 44cos2cos2【总结升华】
10、 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手通过切化弦、弦化切、异化同、 高次降幕等手段，使函数式的结构化为最简形式.举一反三：【变式1】(1)1sin6的化简结果是(2)sin3，且a (, n )，那么sin 2的值为52cos3【答案】(1) sin3 cos3 (2)2【解析】(1)原式=.,1 sin 3cos3=、.、(sin3 cos3)2=| sin3 cos3|= sin3 cos33 4 十"2si ncos(2)因为sin，且a (, n )，所以cos，原式=25 25cos类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370
11、633例2】例5.求值：3(1) sin( ) ，求 cos( ).12256(2) sin( ) m，求 sin2 .4【思路点拨】观察所求的角与角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解.【答案】(1)7(2) 2m2125【解析】(1) cos(-)cos cos2 -6612 21 2sin21229二1 2 -257_25(2) sin2cos(i 2)=1 妙2 41 2sin2 -42m2 1【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通条件和所求式子之间 的联系，考查公式运用和变换的技巧.举一反三：【变式1】sincos，求 sin2 , co
12、s2 , tan2 的值.【答案】8.1717【解析】sincos1，得(sin3cos)2由sin2sincos sin 22sincoscos13，得cossin ,. 2cos2sin即 1 sin22 sin3sin整理得9sin23sin解得sin卫或sin严舍去-1 2si n21、17sin 28.17cos 217【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定.【变式2】tan 41 , (1)求 tan 的值；(2)求 sin 222空的值.【解析】(1) tan 4tantan41 tan1，解得tan211 tan tan41 tan3(2) sin212 cos2si nco
13、s2 cos2sincoscos21c 22cos12cos1115 tan23 26【总结升华】第(1)问中利用了方程的思想求tan 的值；对于第2)问的题型,般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解.类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633例3】例 6 f(x) sin x 2sin xcosx 3cos x，求：(1) f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；(2) f (x)的单调区间.【思路点拨】用降幕公式把原式降幕，然后用辅助角公式化成Asin( x ) k的形式.【答案】(1)、22x | x k,k z (2 )单增区间
14、3k, k, k88 85k, k,k z88【解析】(1)原式=1sin2x cos2x 1z 单减区间sin2x cos2x 2y Asin( x )的性质等知识要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:(1)缩角升幕公式=.2 sin (2x)42那么当2x2k,即x | x k,kz时，428fmax (x)2 2(2) f (x)的单调递增区间为：2k 2x2k-，那么242,3,xk, k,k z8 8f (x)的单调递减区间为：2k-2x2k3，那么242,5xk,k,k z8 ' 8【总结升华】此题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及1sin
15、sin2cos,12sinsincos2 21 cos2cos2 2221 cos2. 21 cos21cos2sin .(2)扩角降幕公式cos,sin222例 7. 向量 a (1 sin 2x,sinx cosx) , b (1,sinx cosx)，求函数 f(x) a b .(1 )求f(x)的最大值及相应的x值；8(2 )假设 f () ，求 cos2 2 的值.54【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中 的“数量关系，从而建立函数f(x)关系式._316【答案】(1)、, 2 1 x k (k Z) (2)丄825【解析】 (1)
16、因为 a (1 sin 2x,si nx cosx), b (1,si nx cosx),所以f(x) 12 2sin 2x sin x cos x1 sin2x cos2x .2sin 2x 1 4因此,当2x2k，即xk(k Z)时，f(x)取得最大值.21 428(2)由f()1sin 2cos 2 及f(8)得 sin 2 cos23-，两边平方得1 sin4_955251616即 sin 4一 因此，cos 22cos4sin 4254225举一反三:x x 2 x【变式"函数f(x) sin-cos- cos -1.(I)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间;(n)
17、求函数f (x)在,一上的最小值【答案】(I)2，2k -,2k54z (n)【解析】(I) f(x) sincos仝 -cosx 1 2221 . 11sin xcosx -2 22 sin(x -) 1242所以函数f(x)的最小正周期为2 .,k Z，那么 2kx 2k24函数f (x)单调递减区间是2 k-,2k 乞4 4744 .那么当x时，f (x)取得最小值4【变式2】向量m= (si nA , cosA), n (羽,1), m- n=1,A为锐角.(1)求角A的大小;(2)求函数f(x)cos2x 4cos Asinx (x R)的值域.【解析】(1)由题意,m n 、. 3si nA cos A 1 ,2sin A 6sin由A为锐角得A ,6 61(2)由(1 )知 cosA -2所以 f(x) cos2x 2sinx22sin x 2sinx2 sin x2因为 x R 所以 sinx -21,1.1 3因此，当sin x时，f (x)有最大值一，当sin x= 1时，f (x)有最小值3,所以所求函数f (x)2 2