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1、§.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面学习目标】1了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系2掌握关于平面基本性质的三个公理.3会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.问题导学 翩牙新知夯实耳础知识点一平面思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有平行四边形梳理(1)平面的概念 平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.绝对的平无限延展 几何中的平面的特征：不计大小不计厚薄(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45 °且横边长等于邻边长的2倍DAR一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分
2、用虚线画出来AE S(3)平面的表示方法 用希腊字母表示，如平面,平面,平面Y 用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD . 用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC,平面BD.知识点二 点、直线、平面之间的关系思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用 符号来表示？直线和平面呢？答案 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“？”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“？ ”或“ ？”表示.梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言付号语言图形语言A在I上A IiFA在I外A?I* AiA在内A zC
3、7A在外A? I在内I? I在外I? -1K %I, m相交于AI m = AI, 相交于AI = A, 相交于I = I7 W知识点三 平面的基本性质 思考1直线I与平面有且仅有一个公共点 P.直线I是否在平面内？有两个公共点呢?答案 前者不在，后者在.思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面.梳理关于平面基本性质的三个公理公理文字语言图形语言付号语言作用公理1如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这 条直线在此平面内A I, B I ,且A , B O? I ? 确定直线在平面内的依据 判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三A, B, C三点不共 线？
4、存在唯一的 平面使A, B,C 确定平面的依据 判定点线共面点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点 的公共直线鈿P 且P ? = I,且P I 判定两平面相交的依据 判定点在直线上-思考辨输判断正俣.1. 8个平面重叠起来要比 6个平面重叠起来厚.（×）2. 空间不同三点确定一个平面.（× ）3 .一条直线和一个点确定一个平面.（× ）题型探究启迪思绻探究車点类型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线I ,直线a与, 分别相交于点A, B.(2)点A，B
5、在平面内，直线a与平面交于点C,点C不在直线AB上.解 用符号表示： = I, a = A, a = B，如图.用付号表示：A , B , a = C , C?AB ,如图.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上,b在平面内，则点A,直线b,平面之间的关系可以记作()B. A b? C. A? b? D. A? b (2)如图所示，用符号语言可表述为()A .= m ,n? ,m n
6、= AB .= m ,n ,m n= AC.= m ,n? ,A? m , A? nD.= m ,n ,A m , A n答案(1)B(2)A类型二共面问题PQ? .如图，已知 a? , b? , a b= A, P b, PQ / a,求证:证明 因为PQ / a,所以PQ与a确定一个平面 所以直线a? 点P 因为P b, b? 所以P 又因为a? P?a,所以与重合，所以PQ? 引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平 面内.证明 已知：a/ b/ c, l a=A, l b= B, l C= C.求证：a, b, C和I共面.证明：如图，a
7、 / b, a与b确定一个平面 T I a= A, I b= B, A , B 又 T A I, B I, I ? b / c, b与C确定一个平面 ,同理I? T平面与都包含I和b,且b I = B ,由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合， a , b , C和I共面.反思与感悟 （1）公理2的推论推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.（2）点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论.解决该类问题通常有三种方法 纳入平面法：
8、先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内. 辅助平面法（平面重合法）：先由有关的点、线确定平面再由其余元素确定平面 ,最后证明平面 重合. 反证法.通常情况下采用第一种方法跟踪训练2 如图所示，l 12 = A, 12 13= B, l 13= C.求证：直线Ii, 2 , 13在同一平面内.证明方法一（纳入平面法）1 12 = A, 1 和 12 确定一个平面 2 13 = B, B 12.又T 2? a， B 同理可证C B 3 , C 3, 3? 直线1, 12, |3在同一平面内.方法二（辅助平面法）1 2 = A, 1 和 2确定一个平面 2 3 = B, 2, 3 确定一
9、个平面t A 2 , 2? , A a T A 2 , 2? , A .同理可证 B a, B C a, C 不共线的三个点 A , B , C既在平面a内，又在平面 内，平面a和重合，即直线 , 2 , 3在同一平面内.类型三证明共点、共线问题命题角度1线共点问题例3如图所示,已知E, F , G , H分别是正方体 ABCD AiBQiDi的棱AB , BC , CCi , CiDi 的中点.求证：FE, HG , DC三线共点.证明 如图所示,连接 CiB , GF, HE,由题意知HCi/ EB,且 HCi= EB,四边形HCiBE是平行四边形， HE / CiB.又 CiG= GC,
10、 CF = BF,1 GF / CiB ,且 GF = 2CiB. GF / HE ,且 GF HE, HG与EF相交.设交点为 K, K HG , HG?平面 DiCiCD , K 平面 DiCiCD. K EF, EF?平面 ABCD , K 平面 ABCD , K (平面 DiCiCD 平面 ABCD = DC), EF , HG , DC三线共点.反思与感悟 证明三线共点问题的基本方法先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点常结合公理3,证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.跟踪训练3如图所示,A , B , C , D
11、为不共面的四点，E , F , G , H分别在线段AB , BC ,CD, DA 上.(i)如果EH FG = P ,那么点P在直线上;如果EF GH = Q ,那么点 Q在直线上.答案(i)BD (2)AC解析(i)若 EH FG = P ,则点P平面ABD , P平面BCD,而平面 ABD 平面BCD = BD , P BD.若EF GH = Q,贝U Q平面ABC, Q 平面ACD , 而平面 ABC 平面 ACD = AC , Q AC.命题角度2点共线问题 例4如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，设线段AiC与平面ABCiDi交于点Q,求证：B,Q, Di三点共线.证明 如
12、图，连接 AiB, CDi,显然B平面AiBCDi, Di 平面AiBCDi, BDi?平面 AiBCDi.同理，BDi?平面ABCiDi,平面 ABCiDi 平面 AiBCDi= BDi.T AiC 平面 ABCiDi = Q, Q 平面 ABCiDi.又 I AiC?平面 AiBCDi, Q 平面 AiBCDi. Q在平面AiBCDi与平面ABCiDi的交线上,即 Q BDi, B, Q, Di三点共线.3,反思与感悟点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理解决此类问题常用的方法3知，这些点都（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 在
13、这两个平面的交线上.（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.跟踪训练4如图所示，平面 = I, A, B, C,且 C?l ,直线 AB I = M ,过 A, B,C三点的平面记作Y则丫与的交线必通过（)B .点BA .点AC .点C但不过点MD .点C和点M答案 D解析 I AB? Y M AB, M 又 = I, M I , M 根据公理3可知，M在丫与的交线上.同理可知，点C也在丫与的交线上.达标检测检测评析甌过黄1. 有以下结论： 平面是处处平的面； 平面是无限延展的； 平面的形状是平行四边形； 一个平面的厚度可以是 0001 cm.其中正确的个数为（）A. 1
14、 B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的； 两种说法是错误的.故选 B.2 .若一直线a在平面内，则正确的作图是（）U答案 A解析 B中直线a不应超出平面 a； C中直线a不在平面内；D中直线a与平面相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为（）A . A? a, a? , B aB. A a, a? , B aC. A? a, a , B? aD. A a, a a, B a答案 B解析 点A在直线a上，而直线a在平面a内，点B在平面a内，表示为A a, a? a, B a4 .下面四个条件中，能
15、确定一个平面的条件是（）A .空间中任意三点B .空间中两条直线C . 一条直线和一个点D.两条平行直线答案 D 5如图，已知D, E是厶ABC的边AC, BC上的点，平面 a经过D , E两点，若直线 AB与平面a的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 答案 P 直线DE 解析 因为P AB, AB?平面ABC,所以P 平面ABC.又P a,平面 ABC平面a= DE ,所以P直线DE.I 一"规律与方法.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语 言描述出来，
16、再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代 表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.突出先部分再整2. 在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用,体的思想.课时对点练、选择题1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）答案 D解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.2.下列说法中正确的是（）A .三点确定一个平面B .四边形一定是平面图形C .梯形一定是平面图形D .两个不同平面 和有不在同一条直线上的三个公共点答案 C解析 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确;梯形的上底和下底平行，可
17、以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.3. 如果空间四点 A, B, C, D不共面，那么下列判断中正确的是（）A . A, B, C, D四点中必有三点共线B . A, B, C, D四点中不存在三点共线C .直线AB与CD相交D .直线AB与CD平行答案 B解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.4. 如果直线 a?平面,直线b?平面, M a, N b , M I, N I ,则（）A . I ? B . I? C . I = MD . I = N答案 A解析. M a, a?
18、,. M ,同理，N , 又 M I, N I ,故 I? 5.三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为（）A . 1B. 2C. 3D .无数答案 C解析 在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示:PA, PB, PC相交于一点 P,则PA, PB确定一个平面 PAB, PB ,PC确定一个平面 PBC, PA, PC确定一个平面 PAC.故选C.6 .已知, 为平面，A, B, M , N为点，a为直线，下列推理错误的是 （）A . A a,AB a, B ? a? B . M ,M N N ? = MNC . A ,A? = AD . A, B,M ,A, B, M
19、且 A, B, M不共线？ , 重合答案 C解析 A ,A , . A ( .由公理可知为经过A的一条直线而不是点A.故 = A的写法错误.7 .一条直线和直线外的三点所确定的平面有（）A . 1个或3个B . 1个或4个C . 1个，3个或4个D. 1个，2个或4个答案 C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内,3个平面；若三点不共线,则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定8.空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7答案 D解析 可以想
20、象四棱锥的 5个顶点，它们总共确定 7个平面.二、填空题9 若直线I上有两个点在平面 内，则下列说法中正确的序号为 . 直线I上至少有一个点在平面外； 直线I上有无穷多个点在平面外； 直线I上所有点都在平面 内； 直线I上至多有两个点在平面内答案10. 三条平行直线最多能确定的平面的个数为 .答案 3解析 当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面.综上最多可确定 3个平面.11. 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是.答案 1或4解析 其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不
21、在此平面内时，则可确定4个平面.12. 若直线I与平面 相交于点 O, A, B I, C, D ,且AC / BD ,则O, C, D三点的位置关系是.答案三点共线解析 I AC / BD , AC与BD确定一个平面，记作平面则 =直线CD.又 V O AB? O 直线 CD, O, C, D三点共线.三、解答题F是AiA的中点，求证:i3.如图在正方体(i)E, C, Di, F四点共面;(2)直线CE, DiF, DA三线共点. E为AB的中点,证明(i)如图，连接i EF / AiB, 且 EF = 2AiB,又 I AiB / DiC ,且 AiB = DiC,i EF / DiC,
22、且 EF = 2DiC, E, F , Di, C四点共面.(2) I EF / CDi, EF<CDi, CE与DiF必相交，设交点为 P,贝U由P直线CE, CE?平面ABCD , 得P平面ABCD.同理，P 平面ADDiAi.又平面 ABCD 平面 ADDiAi= DA , P直线DA. CE , DiF , DA三线共点.四、探究与拓展14. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个 正方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”有多少个.解 正方体的一条棱长对应着 2个“正交线面对”，12条棱长共对应着 24个“正交线面 对”；正方体的一条面对角线对应着 1个“正交线面对” ,12条面对角线对应着 12个“正 交线面对”，共有36个.15. 如图，在直角梯形 ABDC中，AB / CD , AB>CD , S是直角梯形 ABDC所在平面外一点， 画出平面 SBD和平面SAC的交线.解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点 S在交线上.由于AB>CD,则分别延长 AC和BD交于点E,如图所示, E AC, AC?平面 SAC, E 平面 SAC.同理，可证E平面SBD.点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE,直线SE就是平面 SBD和平面SAC的交线.