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1、、非线性递推数歹0目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法 （化为：一阶线性、包等变形、 不动点法、数归法、母函数法等）重点：（难点）根据其特点采用相应方法求 an1、分式递推数列：an.Jaan b, 1若d =0，贝U an 1aan bba=-cancanc令其为bn 1.次bnc十 （一阶线性c若d#0,c#0，用不动点法（P166 TH10）例 1、an = n , a =1,求 an20 +1，一 11c解： =+2 即 bn*=bn+2an 1 an2 1 _ 2n 1一 一1则日一1=1 -2 2n=2n""厂例 2、4an噂anan噌+2an =9,
2、a1 =1,求 a”解：变形："1皿1 ： I I Tb 2 - ： - ： 2 -6：9bn 1 = “令：2 69 =0（化为型）1= 2 =3则 bn 1 =bnbn 一 11bn 111 bnr-1bn是等差且常bnb126n-5bn = - an1 - 2n2n 1题中a恰好是2x - 9=x的根，即a为f（x）=29的不动点x 4TH9 P166TH10 P166an b fnUn - - 2Un 一 P2、其他非线性递推数列包等变形后等差（等比）线性分式迭代数归母函数法（书上例10、11、12）例 10、an r?,a1 = a2 = 1,a3 = 2 , an 1 :
3、an/3 ananj（伫3），求 an解：变形 ananu =3 +anan（an*,anq非连续二项）anan项=3 - ananu=an 1an/ - anan 3 =anan- an 4an 二= an an4an3 i=an/ an 1 . an4即.an" an】 an4 annand（为常数列）an 1 an 4a2=3-an 1 =3an -an4二阶常线性齐次-an（特征根法）例 12、a1 =1,a2 =10,a2an/ -1033n_3解：变形 业' =10 四，即：b；=10bn <an Jan/1111迭代.bn = 10bnj 2 =102 1
4、0bn/ 2 = =102bnanan J111n 2q n 2104 102 一 b2 -1.心E1_"=10 2 =1。21。" =1。（bnwT b2 ）1 J. an =10an=10nUn 1 = Un U2j -2 -U1例 11、，n ,', U0 = 2 , U1 =22nn求证：Un 1 = 23解：（猜测后证明）适用丁递推关系复杂，不便求an （或证明an）n =1 时,U2 =2 2n = 2 时,2# 2*23 _ 323 _ 3 - 3 =2 323一n1）猜测:（再证:U3 =8 82胃 2淄；麦）为整数,则2为（0,1）内的纯小数）2n
5、 -1 nn=0、1、2显然成立2）数学归纳法证明，设f（n）= d3假设n=k时，结论成立，贝U n=k+1时由斗 1 =斗 u24 -2 一u1=2f k 2 顼 k 22f k 4 2 "f）i. 52=2f k 2f k4 . 2J k 小 k.2f k 2 k4 . 2-f k 2f k _ 52f k 2f k -1 = f k 1k-f k 2f k -1 = -1则 uk* = 2妇）+ 2盘*）+23+ + 2-5（ 2（=）* + 2（"*）为记 k 取2= 2f（k*）+2fk4t）奇、偶数，包为-）2猜测成立2)再证f(n )为整数fn =2匚-13
6、. f(n )为整数，2fn为(0, 1)内的纯小数2n-n.对任意自然数n, U=2 3例15、母函数法d么痴*孙 C01 . Cn*攵丁f 7 _C0 . Cv . Cnvn4 守以列 Cn , Cn , ,Cn 尹夕坝工田f |X =Cn CnX CnX联系是研究组合数性质的有效方法之一一般：多项式a0 + a1x + anxn称为数歹0 a0“ an的母函数(有限、无限均可)qQ而母函数Z anXn可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项 n =0例 15、a。= 1,a = -2, an = 5an 二一6an n _ 2解：(显然特征根法可求an)现用母函数法令 f (x
7、)=a0 +ax+anxw an -5an+6an =0,二设法求出f(x),即可求an寻求 an -5an4,6an xn由5xf (x )= 5a°x 5a x? "J L 5anxn 6x2 f (x )=6a0x2 +6anuxn + +得：1 -5x6x2f x=a°a -5a°xa2- 5a6a°x2an 5an_1 6anq xn " F -7xf x ="7x 2工 *1 -5x 6x21 -2x 1 - 3x 1 -2x 1 - 3x=5、2x n -4、3x n = "5 2n -4 3n xn000nnan =5 2 -4 3