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1、一、数形结合思想数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象的数量关 系，直观形象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段 图常常与其它解题方法结合使用，可以说，它是学生弄清分数(百分数)应用题 题意、分析其数量关系的基本方法。【例1】一桶油第一次用去丄，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22 千克。原来这桶油有多少千克分析与解第一次用去第二次用去从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数X (1 1 1)=20+225则这桶油的千克数为：(20+22) 4- (1-i-l ) =70 (千克)【例2】一堆煤，第一次用去这堆煤的20%,第二次用去290千克，这时剩下的
2、煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克加尤290千克10千克50%剩下的煤分析与解显然，这堆煤的千克数X (1-20%-50%) =290+10则这堆煤的千克数为:(290+10) 一 (1-20%-50%) =1000 (千克)二、对应思想量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽 象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。（量率对应常常和画线段 图结合使用，效果极佳。）7【例3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的丄，比男职工少144人，缝纫20机厂共有职工多少人分析与解解题的关键是找到与具体数量144人的相对应的分率。Mp37奴、工占20r1I
3、111了男职工占0-茹） 足jL'f1iIJ相差人77 13从线段图上可以清楚地看岀女职工占丄，男职工占1 ,女职工比2020 20男职工少占全厂职工人数的兰一也就是144人与全厂人数的2相对 20 20 10 10应。全厂的人数为：1444- （1- -）二480 （人）20 20【例4】菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖岀这批大白菜的1,第二天卖出3余下的？，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克5“ I ”余下的5剩下240千克分析与解从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出+后余下的 (l-)o则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：592404- (
4、1- ) =400 (千克)5同理400千克的对应分率为这批大白菜的(1-1),则这批大白菜的千克 3数为：4004- (1- ) =600 (千克)3三、转化思想转化是解决数学问题的重要手段，可以这样说，任何一个解题过程都离不开 转化。它是把某一个数学问题，通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思 考、求解，从而实现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题，常常含有 几个不同的单位“1”，根据题目的具体情况，将不同的单位“1”转化成统一的 单位"1”，使隐蔽的数量关系明朗化。1、从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率”的转化【例5】男生人数是女生人数的纟，男生人数是学生总人数
5、的几分之几分析与解男生人数是女生的土，是将女生人数看作单位“1”，平均分成5份，男生是5这样的4份，学生总人数为这样的（4+5）份，求男生人数是学生总人数的几分 之几就是求4份是（4+5）份的几分之几44一（4+5）=-9【例6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的扌，若弟给兄42元，则弟的钱数是兄的彳，求兄弟两人原来各有多少元分析与解兄弟两人的总钱数是不变量，把它看作单位“1",原来弟的钱数占两人总钱数的丄，后来弟的钱数占两人总钱数的丄，则两人的总钱数为：4+52+3424 一（亠一二-）=90 （元）4+52+3弟原来的钱数为：90X丄=40 （元）4 + 5兄原来的钱数
6、为：90-40=50 （元）2、直接运用分率计算进行“率”的转化【例7】甲是乙的？，乙是丙的纟，甲是丙的的几分之几3 5分析与解甲是乙的2,乙是丙的纟，求甲是丙的的几分之几就是求士的？是多少3 5534x2_853 15【例8】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产 了计划的3,下半月比上半月多生产了丄，这样全月实际生产了 1980个零件， 一月份计划生产多少个分析与解丄是以上半月的产量为"1”，下半月比上半月多生产丄，即下半月生产了 计划的Ox （1+i） =o则计划的（0 +竺）为1980个，计划生产个数为：55255 253 3119804- X （1
7、+ - ） =1500 （个）5 553、通过恒等变形，进行“率”的转化【例9】甲的扌等于乙的字，甲是乙的几分之几分析与解4 3由条件可得等式：甲乙X二5 74 43 4方法1：等式两边同除以丄得：甲乙x二三5 57 5甲二乙X兰25方法2：根据比例的基本性质得：甲：乙=-:-75化简得：甲：乙二15： 28即甲是乙的空。25【例10五（2）班有学生54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加了课 外兴趣小组，而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生 各有多少人分析与解由条件可得等式：男生人数X (1-75%)= 女生人数X (1-80%)男生人数：女生人数=4： 54就
8、是男生人数是女生人数的上。54女生人数：54一 (1 + -) =30 (人)5男生人数：54-30=24 (人)四、变中求定的解题思想分数(百分数)应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化, 往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单 位“1”，问題就会迎刃而解。1、部分量不变【例11】有两种糖放在一起，其中软糖占？，再放入16块硬糖以后，软糖20占两种糖总数的丄，求软糖有多少块4分析与解根据题意，硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化，但软糖块数不变，可以99 11确定软糖块数为单位“1S则原来硬糖块数是软糖块数的(1-)4- 倍。2020 9加入16块
9、硬糖以后，后来硬糖块数是软糖块数的(1-) -=3倍，这样164 4块硬糖相当于软糖的3-=-倍，从而求出软糖的块数。9911QQ16一 (1-)(1- )4- =9(块)4420202、和不变【例12】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的彳，后来他又读了 20页，这时已读的页数是剩下页数的丄，这本课外读物共有多少6分析与解根据题意，已读页数和未读页数都发生了变化，但这本书的总页数不变，可 把总页数看作单位“1”，原来已读页数占总页数的丄，又读了 20页后，这时 1 + 8已读页数占总页数的丄，这20页占这本书总页数的（丄一丄），则这本1 + 6 1 + 6 1 + 8课外读
10、物的页数为：20=（丄一丄）二630 （页）1 + 6 1 + 8【例13兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的丄，老二2出的钱是其他两人出钱总数的老三比老二多出400元。问这台彩电多少钱分析与解从字面上看丄和丄的单位“1”都是其他两人出钱的总数，但含义是不同的, 23丄是以老二和老三出钱的总数为单位“1”，丄是以老大和老三出钱的总数为单 23位“1”。但三人出钱的总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1”，老大 出的钱数相当于彩电价格的丄，老二出的钱相当于彩电价格的丄，老三出 1+21+3的钱数相当于彩电价格的1 丄一丄二丄，400元相当于彩电价格的丄一1 + 21 + 3
11、 1212=-o这台彩电的价格为：1 + 3 64004- （1一丄一丄一丄）=2400 （元）1 + 21 + 31 + 3五. 假设思想假设思想是一种重要的数学思想，常用有推测性假设法和冲突式假设法。1、推测性假设法推测性假设法是通过假定，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容， 从而得到正确答案。3【例14】一条公路修了 1000米后，剩下部分比全长的二少200米，这条公路全 长多少米分析与解由题意知，假设少修200米，也就是修1000-200=800 （米），那么剩下部分 正好是全长的°,因此已修的800米占全长的（1-）,所以这条公路全长为：3（1000-200） 一（1
12、一二）=2000 （米）2、冲突式假设法冲突式假设法是解应用题中常用的一种思维方法。通过对某种量的大胆假 设，再依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾冲突，进行比较，作适当 调整，从而找到正确答案的方法。【例15】甲、乙两班共有96人，选出甲班人数的丄和乙班人数的1,组成4522人的数学兴趣小组，问甲.乙两班原来各有多少人分析与解假设两班都选出丄，则选岀96x1=24 （人人假设比实际多选出24-22=244（人）。调整：这是因为把选出乙班人数的1假设为选出丄，多算了丄一丄二丄，由5 445 20此可先算出乙班原来的人数。（96x 1-22） 4-=40 （人）445甲班原来的人数：96-
13、40=56 （人）【例16】某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本 减价10元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的 -o书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本分析与解2根据减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的彳，我们假设减价前岀售 的挂历为3本，减价出售的挂历为2本，则售出这2+3=5 （本）挂历所获的利润 为：18X3+ （18-10） X2=70 （元）这与实际共获利润2870元相矛盾，这是什么原因造成的呢调整：这是因为把出售的挂历假设为5本，根据实际共获利润是假设所获利 润的28704-70=41倍，实际共售出挂历
14、的本数也应该是假设5本的41倍。即5 X41=205 （本）六、用方程解应用題思想在用算术方法解应用题时，数量关系比较复杂，特别是逆向思考的应用题， 往往棘手，而这些的应用题用列方程解答则简单易行。列方程解应用题一开始就 用字母表示未知量，使它与已知量处于同等地位，同时运算，组成等式，然后解 答出未知数的值。列方程解应用题的关键是根据题中已知条件找出的等量关系， 再根据等量关系列出方程。4【例17某工厂第一车问人数比第二车间的上多16人，如果从第二车间调40人到第一车问，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人 分析与解根据题意，有如下数量关系：第一车间人数+40人二第二车间人数一4
15、0人解：设第二车间有X人。4X+16+40=X405解得：X=4804 4第一车间人数为：一X+16二一 X480+16=400 （人）5 5【例18老师买来一些本子和铅笔作奖品，已知本子本数与铅笔支数的比是 4 : 3,每位竞赛获奖的同学奖8本本子和5支铅笔，奖了 7位同学后，剩下的本 子本数与铅笔支数的比是3： 4,老师买来本子、铅笔各多少分析与解根据題意，有如下数量关系：（本子本数一8X7）:（铅笔支数一5X7） =3 : 4解：设老师买来本子4X本，铅笔3X支。（4X-8X7） : （3X-5X7） =3 : 4解得：X = 17本子数：4X=4X 17=68 （本）铅笔数：3X=3X 17=51 （本）