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1、振动线性微分方程模型数学科学学院数学与应用数学10汉本 *摘要：振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。例如，单摆，弹簧的振动，RLC电路的电磁振荡等。在一定条件下振动问题可归结为二阶线性常 系数微分方程的问题来讨论。这篇文章中以弹簧振动为具体的微分方程模型，利用常系数线性微分方程的理论讨论有关振动的问题并通过对其解的分析，阐明有关的物理现象。关键词:线性 临界值特征方程共振线性振动的弹簧振动模型质量为m的指点固定在弹簧上沿水平轴振动，平衡位置 x = 0。由受力分析 可知水平方向上质点受弹簧弹力与介质阻力（例如与水平面及空气的摩擦力）。由胡克定律F-kx知质点所受弹力为-kx，其中k为
2、弹簧系数。又由介质阻力dxdx与质点运动速度dt成正比，阻力为_ad?，由牛顿第二定律有d2xdt2dx-k-adtf(t)(1)其中f（t）为外力。（1）即为线性振动的数学模型。1.简谐（无阻尼运动）-aS当外力f（t）二0，阻力 dt，则（1）写为d 2xm 2 亠 kx = 0 dt2即mx 也=0这时的振动称之为简谐振动,（1）化为 x+w2x 二 0，其中 w2 = k m，解特征方程2 w0解得 一 -wi可知（1 ）的通解为x(t)二 G coswt C2 sin wt 二 Asin(wtJ A = . G2 C；i）对于给定的弹簧，k为常数 w .为一固定常数，则余弦函数的周期
3、T =兰w此时，弹簧的振动是稳定的，运动的位置与速度都随时间t周期性变化ii) k增大(弹力F增大)或质点m减小时？增大，T减小，这与我们高中时 所学的知识是相符的2. 衰减振动(有阻尼自由振动)dx当外力f (t) = 0但阻力 _a - 0时，(1)写成 mx ax kx = 0 这时dt的振动称为衰减振动，方程化为xx = 0，记a = 2、： ， = w2m mmm特征方程九2 + 2&扎+ w2 = 0解得鮎,2=-6 土 J§2-w2讨论：对于固定弹簧i) 当 ；2 w2特征方程有两个不同的负实根，这时方程的通解为x(t) =Ge +C2e 更可以看出对于位移X，
4、tT临时，XT 0，振动迅速衰减，振动速度衰减， 并趋于0而停止，振动也停止，运动不再具有振动性质ii) 当62vw2特征方程有两个不同复根，记打,2=。土內，其中:-二，方程通解为 x(ttC1 cos t C2sin t ，此时随着tT处 振幅x减小，XT 0，运动趋于停止，存在T为一常数 但它并不是严格意义上的周期函数，只是从一个最大振幅便到另一个最大 振幅所用的时间相等为Tiii) 当、；2 = w2特征方程有实重根八2 一 f这时方程的通解为x(t) =(Gt «2)带当t 时，位移X与速度均趋于0而停止，运动不再具有振动性质，而：二w称为衰减运动的临界值。3. 受迫振动当
5、外力f (t) = 0，阻力-玄鱼=0时(1)写为x 旦x x =丄(2)dtm m m是一 个二阶常系数线性微分方程，这时的振动受到外力的作用，称为受迫 振动。设外力为f(t)二F°cospt，其中F。为一常数，P为外力频率a 1 kf方程变为x+x+ x =-°cospt可知其通解是i)， li)， iii)中m mm的某一个通解加上一个特解在这里，我们以无阻尼受迫振动，即広=0的情况为例分析dt记=w2，则（2）变为 x w2x = Fo cos pt （2.1）mm对应其次方程通解为x（t）=Asin（wt ）现求（2.1 ）一个特解i）当 p = w 时，设为 x
6、 = M cos pt N sin ptx 二-Mpsin pt Npcospt2 2x = -Mp cospt-Np sin pt对比同类项系数得N =0F。m(w2 _ p2)所以（2.1 ）通解为 x（t） =Asin（wt ）F2 cos ptm（w + p ）解的前半部分为简谐振动的解，它代表固有振动，后半部分代表由外力引 起的强迫振动ii）当P > w时，则强迫振动的振幅越来越大iii) 当 p =w 时， 则(2.1 )有形如 t(M cos pt N sin pt)的解,求导并带入（2.1 ）后，比较同类项系数得 M =0N= F02mw（2.1 ）的通解为x（t）二As
7、in（wt ） 电sin pt，这时振幅最大2mw这时的振动称为共振发生共振现象时，会产生很大的振幅，引起破坏性效果。如 1940年11 月7日，华盛顿市的塔科马大桥在气流作用下发生共振，振幅达到 28英尺而 使该桥坍塌。因而，生活中很多时候要避免共振的发生。但只要我们掌握共 振 的规律，我们也可以在生活中利用它，例如乐器的构造便是利用了共振原理。另一方面，由特解 x的系数可知，外力频率P越大（p 1），振幅越小。例如，小轿车在并不平坦的路面上高速行驶， 车轮受凹凸不平的 路面颠簸，P很大，车身反而很稳。这种现象称之为 消振。小结：文中只是介绍了具有代表性的弹簧振动模型，实际上在反映客观现实世 界运动过程的量与量之间的关系的可建立的数学模型中有各种各样的常微分方 程模型，有线性的也有非线性的，常系数非及非常系数的。例如，人口模型，糖 尿病监测模型，经济模型，交通模型等。而常微分方程是解决实际问题的重要工 具，在整个数学大厦中占据着重要的地位。参考文献：常微分方程 第三版，高等教育出版社微分方程樓型与混7屯王树禾，中国科学技术大学出版社