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1、第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：'（X1）2 +（y+3）2 +（z-2）2 =25 x+yz+2=0且（1）母线平行于X轴；（2）母线平行于直线 X = y, z = c，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程'（x_1）2 十（y+ 3）2 +（z_2）2 =25<x+y-z+2=0中消去 X，得到：（Z 一 y 一3）2 （y 3）2 （Z-2）2 =25即： y2 z2 _ yz _6y _5z3 二 02此即为要求的柱面方程。x = y（2）取准线上一点 M 0（x0,y0,z0），过M 0且平行于直线丿'
2、的直线方程为：jZ = CX = Xo tXo 二 X - t“y = y° +t 二彳 y° =y-1z = z°= z而Mo在准线上，所以7x_t _1)2 +(y _t +3)2 +(z_2)2 =25、x+yz 2t+2 = 0上式中消去t后得到：x2 +y2 +3z2 _2xy_8x+8y-8z-26 = 0此即为要求的柱面方程。2而M。在准线上，所以:" 2 , , 2x -t = y +(z + 2t)、xt = 2(z+2t)消去 t,得到：4x225y2 z2 4xz-20x -10z =0此即为所求的方程。3、求过三条平行直线 x=y
3、=乙x 1,与x-1=y /二乙- 2的圆柱面方程。解：过 又过准线上一点 M/xyzJ，且方向为1,1,1的直线方程为:= x1 tX =x-ty = yi t 二yi = y -1z = z tz = z -t将此式代入准线方程，并消去t得到：2 2 25( x y - z - xy - yz - zx) 2x 11y - 13z = 0此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为(u) x(u), y(u), z(u)1,母线的方向平行于矢量S X,Y,Z?，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：x = Y(u) vS与x 二 x(u) Xv« y = y(u)+
4、Yvz = z(u) +Zv式中的u, v为参数。证明：对柱面上任一点 M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点 M (x(u), y(u), z(u)，则，M M = vS即1、求顶点在原点，准线为x2 -2z 1 = 0, y - z T =0的锥面方程。解：设为锥面上任一点M (x, y,z)，过M与O的直线为:X _ Y _ Zx y z设其与准线交于(X。，丫。，Z。)，即存在t,使X。二xt ,丫。二yt ,Z。二zt，将它们代入准线 方程，并消去参数t,得：x22z(zy) (zy)2 =0即：x2 y2 _ z2 二 0此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为(3 , T ,
5、 -2)，准线为x2 y2 - z2 = 1, x - y z = 0，试求它的方程。解：设M(x, y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为:令它与准线交于(X。，丫° ,Zo)，即存在t ,使X。=3 (x3)t畀° =_1+(y+!)tZ。= -2 + (z + 2)t将它们代入准线方程，并消去t得：3x2 -5y2 7z2 -6xy - 2yz 10xz -4x 4y - 4z 4=0此为要求的锥面方程。4、求对锥面上任一点 M (x, y, z)，过M与顶点O的母线为：X _ Y _ Zx y z令它与准线的交点为(X。,Y0 ,Zo)，即存在t，使X。二x
6、t ,Y。= yt , Z。二zt，将它们代入 准线方程，并消去t得：xy yz zx 二 0此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为(1, 2, 4)，轴与平面2x 2y0垂直，且经过点(3, 2, 1)的圆锥面的方程。解：轴线的方程为:x-1 _ y-2 _z-42 2 1过点(3, 2, 1)且垂直于轴的平面为:2(x_3)2(y _2) (z_1) =0即：2x 2y z -11 =0该平面与轴的交点为11 20 37(,)，它与(3,2,1)的距离为：999门1,11Z+/20齐+/37十<116d ( 3)(2)(1)V 9993要求圆锥面的准线为：的径矢为0 =。0, y&#
7、176;, Z0<,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:毎=v (u)(1-v) 0与x = vx(u) (1 -v)x0y =vy(u) (1-v)y。z =vz(u) (1-vN式中，u,v为参数。证明：对锥面上任-点M(x,y,z)，令OM，它与顶点A的连线交准线于7 AM / AM ,且AM = 0 (顶点不在准线上).AM 二 vAM亦即 二V (u)(1-v) 0此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即:x,y,z =vx(u), y(u), z(u)(1-v)x°, y°,z。x = vx(u) (v)x0 y 二 vy(
8、u) (1-v)y° z= vz(u) (1 -V)Zo 此为锥面的坐标式参数方程,u,v为参数。§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:(1)；(2)；绕-1 _y_z绕d<7u工旋转-1 2M'：=(x(u),y(u),z (u,)即1-12(3)口z绕z轴旋转;1-33(4)空间曲线绕z轴旋转。x 1 1- 1 -1 2 + y2 = 1解：(1 )设皿1(为，,乙)是母线 仝= =三上任一点，过 M1的纬圆为:(x Xi) _(y yj 2(z 乙)=0X2 y2 (z1)2 =Xi2 yi2 (Zi 一1)2(2)因 M i在母线上，空 =上 =_
9、Z1(3)2 1-1从(1)( 3)消去 X|, yi,Zi，得到：2 2 25x 5y 23z -12xy - 24yz 24xz - 24x 24 y - 46z 23 = 0 此为所求的旋转面的方程。(3) 对母线上任一点 Mi(Xi,%,z|)，过该点的纬圆为：z = N(1)2 2 2 2 2 2X y z = X1y1z1(2)又M1在母线上，所以：(3)1-3 3从(1)( 3)消去 x1, y1,z1，得到：9(x2 y2) -10z2 _6z_9 =0此为所求的旋转面方程。(4) 对母线上任一点 Md, %,乙)，过M1的纬圆为：；z 勺(1)12 丄 2 丄 22,2 丄
10、2/cx y z = N N (2)又M1在母线上，所以乙弋(1)X12 %1从(1)( 3)消去 X1, %,Z1，得到：x2 y2 =1* * 2乙=乙=为 -10_z_1即旋转面的方程为：X2 y1( 0 z< 1)2、将直线-z绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就:可能的值讨论这是什 0 1么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点 Mi(Xi,yi,zJ，过Mi的纬圆为:z =乙(1)5 2222 2 2|x +y +z =+y1 +zl又人y1 -Pz(3)a01从(1)( 3)消去 X, y1,z1，得至U：x2 y2 _込2 _ 2=0此即为所求旋转面的方程。当=0,戸
11、工0时，旋转面为圆柱面(以 z轴为轴)；当:-0/ =0时，旋转面为圆锥面(以 z轴为轴，顶点在原点)当：,=0时，旋转面变为z轴；当=0 -0时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线-的参数方程为x =x(u), y = y(u),z = z(u)，将曲线丨绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设M (x(u), y(u),z(u)为丨上任一点，则对经过 M的纬圆上任一点p(x, y,z)，§4.4椭球面2 2 2xyz1、做出平面x - 2 =0与椭球面-21的交线的图形。49 4x2解：平面x - 2 = 0与椭球面-42y292 -1的交线为:4，即'2 2丄J
12、2734x = 2图形为2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面 x=4的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点M (x,y,z)，要求的轨迹为 ，则条两两相互垂直的射线，分别交曲面Pi,p2,P3，设= A,op2 = r2,op 3= r 3,试证:1111112 2 2 2 2 2 r(r2r3a b c证明：利用上题结果，有 -II 22F. v! L2 2 2 2A a b c(i =1,2,3)12 2 2)2 C 12'-3 )c即:丄丄丄二丄丄丄r-2r22r32a2 b2 c2其中叫, Vi是OPi的方向余弦。若将op(i =1,2,3)所在的直线看成新的
13、坐标系的三个坐标轴，则'i, '2,'3是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而 '2 1 1=+ + . 2 2 a b c '32 =1，同理，.三22 = 1宀22 - - 32二1所以,1 1 1 1 , 2 2 2、 1 z | 2 | 2 | 22222 ( '2 '3 )2(12r(r2r3ab当直线变动时，直线上的三定点P，它与三点的距离分别为5、一直线分别交坐标面yoz, zox, xoy于三点 代B,C，A, B,C也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点a,b,c，当直线按照这样的规定(即保持A,B,C分别在三坐
14、标面上)变动，试求p点的轨迹。解：设 A(0, y1,zj B(X2,0, Z2),C(X3, y3,0)，则知:X2ZX3, y3 二乙_Z2X2Z1Z2%C(,-,0)乙一'z2 Z2 乙又设P(x,y,z),cx2(y -)2 (z 乙)2 二 a2、2 2 2 . 2*(x_xj +y +(z_z2)=b(1)（一闫s孕)2 . z2Z2 -乙又p在AB的连线上,(4)xi-yiZ2zi从（i）4)消去 yi, Zi, X2, Z2，得到2 2即：2（i一葺）二冷 _ib ca2 -c2b2b2 -a2c2满足要求的平2、给定方程2 2 2x - =i (A B C 0)A_、
15、 B -， C - 试问当取异于A,B,C的各种数值时，它表示怎样的曲面?2 2 2解：对方程y =i （A B C 0）A 九 B扎 Cio、当A时，（*）不表示任何实图形；2o、当A 、 B时，（*）表示双叶双曲面；3o、当B£时，（*）表示单叶双曲面；4o、当: C时，（*）表示椭球面。2 2 2xy z3、已知单叶双曲面i，试求平面的方程，使这平面平行于494(*)yoz面（或xoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。解：设所求的平面为 x = k，则该平面与单叶双曲面的交线为:(*)=1亦即'2V-9k为使交线（*）为二相交直线，则须：10,即卩k=24所以，要求的平
16、面方程为：x = 2同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,则该平面为：4、设动点与（4,0,0）的距离等于这点到平面x = 1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。2 2解：x 20y -24x-116=0此即为要求的射影柱面方程。6、设直线I与m为互不垂直的两条异面直线，C是I与m的公垂线的中点， A, B两点分别在直线I，m上滑动，且.ACB =90；，试证直线 AB的轨迹是一个单叶双曲面。 2亦即x.|x2y1yc0( 2) 又设M （x, y,z）为AB上任一点，则xXjyyizc- - X2 _ 禺y2 - y1- 2c从( 1) ( 3)中消去 x-, y-,
17、X2, y2，得:.2h 2 X 2.2 x 2 丄內 22.222y2 2 c(1) x (1) y E z c2即：二c_ 2 4 21 1 - l 不垂直 m二 1（4）表示单叶双曲面，即 AB的轨迹是一单叶双曲面。7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：x = a secu cosvy = bsecus in vz =ctgux = atgucosv y = btgus in v z = csecu解为:令确定a与b1-（1,2,6）和（，-1,1）均在该曲面上。3 有:-V a1 丄9a2u 4- = 12 b2 12丄=2b2从而$a36 X _65 b25所以要求的椭圆
18、抛物面的方程为:36x25疋=2z5即：18x2 3y2 =5z2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2） 与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为 2a，夹角为2 o解:（1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于 xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为（0,0, a），而定平面即为z=0，设比值常数为c,并令所求的轨迹为匕，则点 M (x, y,z) 7 =、2、2x y (z_ a)即 x 2消去参数u,v得：务占=2za b这正是椭圆抛物面的方程。对方程 y2 (1c2)z2 -2az a2 = 0此为的方程。x轴
19、，使其与二异面直线的夹(2)取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取 角相等，则二异面直线的方程为：y +tga x = 0Z = ay -tga x = 0z = -a设所求的轨迹为，则M (x, y, z)匸 uy z +a2+z + ax2+x ytga0011tga2222tg :y-tg:1- tg:2tg -解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:x = au cosv* y = bus in v与x = a(u v) y =b(u -v)z = 2uv式中的u,v为参数。解：对方程x = au cosv« y = busin v1 2z =
20、 _u.2x = a(u v) y = b(u -v) z = 2uv2 2消去参数u,v得：二爲=2za b这正是双曲抛物面的方程。§4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、求下列直纹面的直母线族方程:(2) z=axy解：（1 ）从原方程得：x2 - z22-y（1） x2 y2 - z2 = 0即：(x z)(x - z) - - y y亦即:为了避免取极限,将上方程写成:（1）（2）（t S），则（2）便是（1）原曲面的直母线族是（1），其中s,t不全为零。（2 ）原方程变形为：-=ayx亦即：=ay =txz =xt列=t由=axyz = sy_ax = s(1)得:(2)
21、s(x z) = ty(x - z)t = -sy，广u (y + z) = vx 若将原方程变形为：y2-z2=-x2，则可得到：丿、v(y _ z) = -ux（1） （2）即这原曲面的两组直母线族方程。2、求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）(1)-1x+ 2 扎y + 4z = 4 九hx 2y 4hz = 4解：（1）原方程等价于从此式中消去，得：z2 = x y此即为直母线（1 ）所形成的曲面。2 2（2）从原方程中消去，得：- z2 = 1164此即为（2）的直母线族所形成的曲面。2 23、在双曲抛物面 -=z上，求平行于平面 3x - 2y-4z =0的直母线。1642 2解
22、：双曲抛物面 .丄二Z的两族直母线为:164（行J/ 2V(Z +上)=zL. 42第一族直母线的方向矢量为：2, -1, u第二族直母线的方向矢量为：2,1, v据题意，要求的直母线应满足：2 3-2-4u=0 = u=12 32-4v=0 = v = 2要求的直母线方程为：x亠142x-_z.42,2亠？.4224、试证单叶双曲面2 2 2葺-令-1的任意一条直母线在a b cxoy面上的射影，一定是其腰圆的切线。证明：单叶双曲面的腰圆为2 2x y “12 2a bz = 0两直母线为:z + _czcy二 v(1)b1y= -(1 )vb2xy/1它在xoy面内的射影为az =0(2)
23、将（2）的第一式代入（1）的第一式得:曲一4b211n 11即：Rv -)2y2 厂(p -v2)y (- -v) b v上述方程的判别式为：（2 ）与（1）x 65、求与两直线一3行的直线的轨迹。& 41 2、2 2（P v ） b v相比，证毕。/亠与3解：设动直线与二已知直线分别交于x0 - 6 _ y°3二(v 丄)2(丄-v)2 =0b v v丫 8 上相交，而且与平面2 -21(Xo, yo, Zo), (x1, y1, z1)，则Zo -1_x 比_8 乙 43 一 2 一 -212x 3y -5 = 0平又动直线与平面2x 3y -5 =0平行，所以,2(xo
24、 - xj 3(y° - yj =0对动直线上任一点 M （x, y, z），有：x°X1 X0y 一 y。 Z-Z°从（1）y1-yoZ1 - Zo（4）消去 X。，y。，Zo, , z，得到:24z946、求与下列三条直线x =1y=z，与x-2 y 1-345都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线X=1y = zX及直线丿y = -z不妨设其与第一条直线交于p（1, , ）注p（1, -, ）与第二条直线的平面为： （x 1） _（y z） =0过p与直线x -2-3y 1Z-2 的平面为(x 1)3(y z)_3(x1) (y z)=05
25、动直线的方程为:査(x+1) _(y+z)=00(x+1) 3(y z) 3(x1) +(y+ z) =0从上式中消去参数2 2 2，得：x y - - z 1此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。2 2 2证明：单叶双曲面刍当- q = 1的一族直母线为:a2 b2 c2u(x -)a c宀*(1丰.a cb过该族中一条直母线的平面为：su(-，)_v(1乂) tv(- -u(J)H0a cba cb即：su()-sv(1 y)，tv( )_tu(1 y)=0( 1)a
26、cb a cbx zym(_ +-) = n (1_f)另一族直母线为：a cbx zi yn( ) = m(1)a cb过该族中一条直母线的平面为：km（- 勻一门（1 一上）丨n（2 -Z）-m（1丿）=0a cba cb即 km（ ?） 一 k n（1 -门1（°一三）一口1（1丫）=0（ 2）a cb a cb对照（1）、（ 2）得，只要令 m = s, k = u, n = t,丨=v，得（2）便是（1）了亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线，同理，对v族的直母线也有类似性质。2 2对双曲抛物面：§ _笃=2za b其族直母线为：(*)u（T、一
27、 a bx取其中的一条（即取定 u ）,显然平面一a母线中的任何一条，这是因为：v族直母线=2u通过直母线（*），但该平面不通过 bv族直11b ba ababy wby)v =zb的方向矢量为2vt _ y _2vt,b a abx y.平面2u不能通过v族中的任何直母线。a b2 2 28、试求单叶双曲面 二 ' 笃-刍=1上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。a b c解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u母线和一条v母线，所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为:W(x T=u(1 +#)a cbt(xT=v(i¥)a cbv(X-Z)N(1*)
28、.a cb将两方程化为标准式，得:a(t 2 2 2 a(v -t )-2bvt c(v t ) v2)a(v2 -12)xz -由此求出二直线的交点坐标为:a(uv +wt)X vw ut又二直线垂直，b(vw_ut)c(uv _wt),z =vw utvw ut .a 29、试证明双曲抛物面 务-首 =2z(a = b)上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲a b线上。证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u族直母线，也仅有一条 v族直母线，所以同族的直母线不能相交。设两相交的直母线为：(u2 -w2)(v2 -t2) _4b2uvwt c2(u2 w2)(v2 t2) = 0222 a
29、(uv wt) b (vwut)c (uvwt)x y z (vw + ut)a (u v w t ) b (v w u t ) c (u v w t )2(a - b - c )uvwt 2(vw ut),22, 2,2、， 2,2、，2“22,2,2、，2 , 2 2、 ,(u v w t )(a c ) b (v w u t )2 (a - b - c )uvwt(vw +ut)2(a2 -c2)(w2v2 - u2t2) b2(v2w2u2t2) 2(a2 - b2 - c2)uvwt 4b2uvwt(vw +ut)2(a2 b2 -c2)(w2v2 u2t2 2uvwt)2(vw u
30、t)-a2b2-cbx ay - 2abu 二 0ubx -uay - abz = 0tay -2abu =0uayabz = 0其方向矢量为a,-b,2u其方向矢量为a,b,2v即 X2y2z2 二 a2 b2 -c22 2 2x y z又交点在单叶双曲面上，所以：2 2 2 =1a b c222刍+每-务=1故交点的轨迹为a2 b2 c22丄 2丄 22丄-2x + y +z =a +b -c(*)一 1由二直线直交，所以：a2 -b2 4uv = 0 = uv =(b2 - a2)4二直母线的交点坐标为:x = a(u v)y = b(u -v)z =2uv产2x2 a2y b2 a2
31、2 _ b ab2 2 2b -az =2但由（*）式有:（* * ）为一双曲线方程，.交点在一双曲线上。10、已知空间两异面直线间的距离为2a，夹角为2二，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z轴，公垂线的中点为原点 O,让x轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为:y +tga x = 0z = a'y _tga x = 0z = a过这两直线的平面为:二i : (z -a) u(y tg ： x)二 0:2 : l(z a) m(y 7g： x) =0十扎(z_a)+u(y+tga，x)=0 二平面的交线为：
32、丿'/J (z+ a) + m(y _tga，x)=0(1) _ 2二阳 +um（1 tg 2a） = 0（2） 当二异面直线不直交时，tga|1，从（1）（2）中消去 扎u,l,m，得：2 2a (ctg - -1)2ya2(1 -tg2：)单叶双曲面此为要求的轨迹方程。当二异面直线直交时，则 tg> =1，此时，（1）（ 2）变为:J“(z _a) +u(y + x) =0JJ(z + a) +m(y _x) =0(1)'为'y + X = 0J(z + a) +m(y x) = 0它的轨迹为平面y x = 0。仇(z _a) +u(y + x) =0当i=0时，(i厂为八丿y丿y _x =0它的轨迹为平面y x =0从而当二异面直交时，动直线(1)的轨迹为二平面:y x = 0与