《最大公因数与最小公倍数应用较难含有部分的讲解教学文案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最大公因数与最小公倍数应用较难含有部分的讲解教学文案.docx（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习资料最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、 性质1:如果a、b两数的最大公因数为 d,贝U a=md,b=nd,并且（m,n） =1。 例如：（24,54） =6,24=4 X 6,54=9 X 6, （4,9 ） =1。2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。a与b的最小公倍数a,b是a与b的所有倍数的最大公因数，并且ax b=a,b x（ a,b ）。例如：（18, 12） =, 18 , 12=（18, 12）X 18 , 12=3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公因数是 6,最
2、小公倍数是72。已知其中一个自然数是 18,求另一个自然数。练一练：甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最小公倍数是288,求乙数。例2两个自然数的最大公因数是 7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以 7,则原题变为：“两个自然数的最大公因 数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。” 例3已知a与b, a与c的最大公因数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数 是 120,求 a, b, c。分析与解：因为12 , 15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即 是12 , 15=60 的倍数
3、。再由a , b , c=120 知，a只能是60或120。a , c=15，说明c没有质因数2，又因为a , b , c=120=23 X3X5，所以c=15。练一练：已知两数的最大公因数是 21 ,最小公倍数是126 ,求这两个数的和 是多少？例4已知两个自然数的和是50 ,它们的最大公因数是5 ,求这两个自然数例5已知两个自然数的积为240 ,最小公倍数为60 ,求这两个数习题四1. 已知某数与24的最大公因数为4,最小公倍数为168,求此数。2. 已知两个自然数的最大公因数为 4,最小公倍数为120，求这两个数3. 已知两个自然数的和为165,它们的最大公因数为15,求这两个数4. 已
4、知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数5. 已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公因数的差为 450, 求这两个自然数。6. 已知两个自然数的和为 147,它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为 432,求这两个自然数。7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此 数最小是几？9、已知A与B的最大公因数为6,最小公倍数为84,且A= 42，求B10、已知A和B的最大公因数是31，且AX B= 5766，求A和B。11、有一盘
5、水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3, 5个5个数余4个，问 这个盘子里最少有多少个水果？家庭练习1. 拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少 圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2. 现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班, 每班分到的这三种水果的数量分别相等， 那么最多分给了多少个班？每个班至少 分到了三种水果各多少千克？3、一个数被2除余1，被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此 数最小是几？4、将72和120的乘积写成它们的最大公因数和最最小公倍数的乘积的形式5、两个自然数的最大公因数是12,最
6、小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几 组？例1用自然数a去除498, 450, 414,得到相同的余数，a最大是多少?分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公因数应能被a 整除。498-450=48, 450-414=36 , 498-414=84。所求数是(48, 36, 84)=12。例2现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公因数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公因数一定是1111的因
7、数。因为1111=101x 11，它的因数只能是 1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公因数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。练习：1、在1000到2000之间，能同时被6、8 10这三个自然数整除的自然数一共有 几个？2、 三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最 小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是 6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然 数最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲
8、每秒 跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人又同时从出发点 出发？5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少?6甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公因数是13,求这两个数8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个 一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳 4.5米，袋鼠每次跳2.75 米, 它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12.
9、375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米 ？【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多 少块这样的长方体木块？【例6】（1）A B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。A、B两数的最 大公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是 288,最大公因数是4,甲数 是36,乙数是多少？【例 7】 加工某种机器零件，要经过三道工序 .第一道工序每个工人每小时可完 成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每 小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？练习：1. 甲数是乙数的三分之一，甲
10、数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？2. 一块长方形地面，长 120米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3. 已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公因数是 31.求这两个自然数4有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了 91 个碗。参加野炊的至少有多少同学？带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题除此之外，例如：16十3=5 1,即16=5X 3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整数（b
11、M 0）,那么一定有另外两个整数q和r, 0<r vb，使得 a=bx q+r。当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 rM 0 时，我们称 a 不能被 b 整除， r 为 a 除以 b 的余数， q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）用带余除式又可以表示为a十b=qr，0< r v b。 例1 一个两位数去除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41的两位数.解题可从带余除式 入手分析。解：被除数十除数=商余数，即被除数=除数x商+余数， 25仁除数X商+41，251-4仁除数X商， 210=除数X商。/ 210=
12、2X 3X 5X 7, 210 的两位数的因数有 10、14、15、21、30、35、42、70,其中 42 和 70 大于余数 41.所以除数是 42或 70.即要求的两位数是 42或 70。例 2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数X商+余数， 即被除数=除数X 40+16。由题意可知：被除数 +除数=933-40-16=877 ，（除数X 40+16） + 除数=877,除数X 4仁877-16,除数=861-41,除数=21,被除数=21X 40+16=856答：被除数是 856,除数是 2
13、1。例 3 某年的十月里有 5个星期六, 4 个星期日,问这年的 10月 1 日是星期几？ 解：十月份共有 31 天,每周共有 7 天, 31=7X 4+3,根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的10月1日是星期四。例 4 3月 18日是星期日, 从 3月 1 7日作为第一天开始往回数 （即 3 月 16 日（第 二天）,15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993- 7=284 （周）5 （天），从星期日往回数 5天是星期二，所以第 1993天必是星期二 .例 5 一个数除以 3余 2，除以 5余3，除以 7余 2，求适合此条件的最小数。这是
14、一道古算题 . 它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之 剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌： “三人同行七十稀，五 树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知 . ”意思是，用除以 3 的余数 乘以 70，用除以 5的余数乘以 21，用除以 7的余数乘以 15，再把三个乘积相加 . 如果这三个数的和大于 105，那么就减去 105，直至小于 1 05为止.这样就可以得 到满足条件的解 . 其解法如下：方法 1 ： 2X 70+3X 21+2X 15=233233-105X 2=23符合条件的最小自然数是 23。例 5 的解答方
15、法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2： 3 ，7+2=2323 除以 5恰好余 3。所以，符合条件的最小自然数是 23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例6 一个数除以 5余3，除以 6余4，除以 7余1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以 5余3”即“加 2后被 5整除”，同样“除以 6余4”即“加 2后被 6 整除”。解：5 ，6-2=28 ，即 28适合前两个条件。想：28+5 , 6 X?之后能满足“ 7除余1”的条件？28+5 , 6 X 4=148, 148=21X 7+1,又 148V210=5 , 6, 7 所以，适合条件的最小的自然数是 148。例
16、7 一个数除以 3余2，除以 5余3，除以 7余4，求符合条件的最小自然数。 解：想：2+3X ?之后能满足“ 5除余3”的条件？2+3X 2=8。再想：8+3 , 5 X?之后能满足“ 7除余4”的条件？8+3 ，5 X 3=53。符合条件的最小的自然数是53。 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法 . 当找到满足某个条件的数后， 为了再满足另一个条件， 需做数的调整， 调整时注意要加上已满足条件中除数的 倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球若干个 . 如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最后都剩 2 个. 布袋
17、中至少有小球多少个？解： 2+5 ， 7 X 1=37（个） 37除以3余1,除以5余2,除以7余2,布袋中至少有小球37个。例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以 2余1，19除以 2余1， 即15和19被2除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除 .由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b,均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。反之，如果两个整数之差恰被 m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相 同。例 9 可做如下解答：三个整数被N除余数相同，
18、N |（ 90-69）,即 N| 21, N |（ 125-90）,即 N| 35, N是21和35的公因数。要求N的最大值， N是21和35的最大公因数。 21和35的最大公因数是7, N最大是7。例10甲乙两数的乘积是2700,甲乙两数的最大公因数是 15。甲乙两数各是多 少？练习1、一张长方形纸，长72厘米，宽48厘米，把它裁成若干个相等的小正方形而 没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？2、当商取整数时，用某数去除410余5,去除242少1,去除550余10,这个 数最大是多少？3、 两个数的和是836,其中一个数的末尾是0,如果把这个0抹去就与另一个数 相等，这两个数各是多少？4、两个数的最大公因数是6,最小公倍数是144,求这两个数是多少。仅供学习与参考