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1、第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性；2.1；3.n 1 2n 2n 213n15n判断下列正项级数的敛散性n!4.nn 1 1005.2n 3n 1n n 3；8.Cn9.n 1 3n 11n 2n求下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛彳 n1 n1- 122n 1，n 1;13. 1.1 1.01In n1.0011.00012322221321442 1求下列幕级数的收敛半径和收敛区间n1 n n nn!xn ; 18.19 .-4rx2n 1 ; 20 .2 n I/2n n3rx求下列级数的和函数21 .nxn 1n 1；22.1 2n 1尸x；n 1
2、2将下列函数展开成x x0的事的级数x e23. shx XqXq25 . 1 x ln 1 x3；将下列函数在区间上展开为付里叶级数29 .将函数f x2x ,3x0 t0展开成付里叶级数。30 .将函数f xl_2分别展开成正弦级数和余弦级数。l(B)用定义判断下列级数的敛散性n 0 3n 1 3n 4；2.；3.22、n判断下列正项级数的敛散性4.2nn!nn5.n12n3n 12n 36.nn 1 2n 1，(a 0)；7.ban,其中ana (n),an, b , a均为正数;8.1n 1 11n,(a 0)； 9.n 11n _01判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或
3、绝对收敛n 1 2n210 .1 一 ； 11 .n 1n!；12.ln,3n 2 3n 2求下列幕级数的收敛半径和收敛域2nn x .;14 .2n !nxn nn 1 a b，(a0,b0)；2n 1；16.3n求下列级数的和函数2n 1 2n x n 1 n !；19.20 .求证：ln2将下列函数展开成xXo的事的级数21 . f x2-2x2 3x 1_ 一 x1 ; 23 ,一= > x0 0 ;1 xn 1 2n 1 2n 1 2n 3 .设w 0, i 1,2,判断级数24.证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项;1,2k 1k 0, 1, 2,的25 .写出函数 f x 1
4、 x 2k , x 2k 12付里叶级数，并讨论收敛情况。fx是周期为2的周期函数，上的表达式为-，将f x展开成付里叶级数。227 .将函数fx2, (0 x l)分别展开成正弦级数和余弦级数。(C)1 .用定义判断下列级数的敛散性a a2 1al1 a11a2a n1a11a21 an的敛散性。判断下列正项级数的敛散性1i nk2n ； 8.n 13n n!In n3. ; 4.; 5.n 1 nn 1 与nnn展成为以2为周期的26 .判断级数sinL的敛散性。n 1 n 2求下列幕级数的收敛半径和收敛区间n7 . Jn 1Jn 2 xn 1求下列级数的和9 .上n 1 n 2n 110
5、 .展开立圣为x幕级数，并推出 dx xn11 .求级数n2Wx3n 1的收敛区间及和函数n 112 .设函数f x区弦级数和余弦级数。13.将周期函数0,0,展为付氏级数，并据此求周期函数a ,0f1 x, f2 x |x | ,b , 0,的付氏级数，求下面级数4/11112234 2n 1第十一章无穷级数(A)n1 .解：Sn & 2 kTl 品 2 V2k 1,(n ),原级数发n 12 .解：V Sn k 1 2k 2k 212k2k12n 2(n)，原级数收敛且和为3 .解:n工 1k1 铲 5k115k1 3 T31 51nTT53 /4，(n),.3原级数收敛且和为-。
6、44.解:. limnUn1万7limnn 1 !100n100n 1limn100由比值判别法知原级数发散。5.解:limnUn 1Unlimnn ee n1 n lim n e n11 1, 由比值判别法 e知，原级数收敛。6.解：:lim Un lim Jn1 1 0 , 原级数发散 n n 2n 27.解：: lim nUn1lim n 2n 32,而 1发散，由比较判别法知原级n n n 3n 1 n数发散。4Un 1. n 1 n!8 .呷华：lim lim7n Un n n 1 ! n41 n 1 4r r ,rlim- n 0, 由比值判别法 n n 1 n知，原级数收敛。9
7、.解：lim nnUnn3nn 1lim - 1 , 由比值判别法知,n 3n 13原级数收敛。右刀4一1-TF "n 1 mn/n 1n/n 11+,10 .解：: n/U n ,而 lim lim - ,故22n 2 n 221limn.Un 1, .由比值判别法知，原级数收敛。n211 .解：|Un|J1,由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故n 1n 1 2原级数绝对收敛。-111 1 12 .解：|Un| -，而 -发散，故 发散。因此原级数非绝对 ln n n n 2 nn 2 In n一一 一一 11一 1收敛，又，显然，n 2,3,，且lim 0,故由莱布尼兹判别l
8、n n 1 ln nn In n法知原级数条件收敛。13 .解：lim|Un| lim |0 0| 0 , 原级数发散。 nn14 .解：此为交错级数，: 器n 1, (n)而级数1发散,1n 1n 1 nn故|Un|发散，即原级数非绝对收敛，显然n 1单调递减且趋向于零，故原 n 1级数条件收敛。15 .解:.limnan 1n11 一.lim 3 J 3 . R ,当 x -时,n , n 133_,1 级数为 一发散，当xn 1 . n1时，级数为1n-%收敛。故原级数的收敛区3n 1. n、,1 1间为一,一3 3a ,n n-1,116.解：: "1 Jr -J0, nan
9、n 1 n 111 n区间为 ，。an 117 .解：V 二111rn-0 , n , - R 0 01 n18 .解：. limnan 1anlimLn 2n 1 n 12。故当| xn 1n 1时收敛，当x1或x 3时发散，当x1时,级数为收敛；当x时，级数为发散。故收敛区间为1,3Un1Un2n 3 n 1x 22n2n 1x22时收敛,22时发散，x 板时原级数为发散,故收敛区间为、,2,220 .解:时，原级数n21 .解:二 f x22 .解:an 1anx dxdxn 1 23n 1发散。n nx13nn,R3,当x故收敛区间为，|x| 1,n 1nxdx3,3nx1dx1 2n
10、 1x12n 11 ln21。1 2n 1x2n 12n x2n012x2x2n 12x1x21x - In2n1xo23 .解:2 k 0 2k !Lx2k解:2cos21cos2x解:解:2n !2x2n2n2n2n2nIn 1|x| 131 x 33ncos -为偶函数, 2bn0,anx . coscosnxdx2cos01cos 一 2cosincosnx2n 1_1 4n2cosnx2n0,1,2,a0x 4 cos -在2n 1,2,x .一cosnxdx 2n x dx, 1sin 一 22n 1&n 1 x32n 1x .cos2cosnx 4n2 1 '28
11、 .解:由于f2x是奇函数，故an0, n 0,1,2,bn2t sin ntdt1一 xcosnx1-一sin x n1n3sin nx o n29.解:ann .cosxdx32xcos- xdx33xcosxdxa。bn30 .解:上包有F x2k13133 2nn x cos3n x sin3ncos一3n x . n xsin2k时,a2k0O1 时，a22kx dx02xdx33xdx0sin xdx3nxcosxn1,所以10 2k 1 21上均成立。1）正弦级数,f x 。再将F为周期的连续函数，G x(n 0,1,2,)注意到_2 xsin0n x dx141n一 ,nn2x
12、sin 一nsin x32k 1cosx30,x周期延拓得1,2,1, 2,3xsin0n x dx30，作奇延拓nxcosx33 .sin n1 sin n1,1日TH使在0,1个以21,x 1,1 ,计算付氏系数如下:n xx sindx12sin2n2一 n .一sin sin22）余弦函数作偶延拓设l,l使在0,1上恒有F x f x o再将F x周期延拓得G x日TH个以21为周期的连续函数,计算付氏系数如下:a。12 xdx0dxanxcosn x , dxn cos1x .一 dx212-2： n2 cos1222n12-22n,n1,2,bn1 .解:.Sn212nc n2co
13、s-cosn x0k 1 3n 1 3n 4(B)n 1133n 113n 413n 4112, ,1，原级数收敛且和为一。1221 ，原级数收敛且和为143.解：:Snk 2 k 1 k 1 k n 1，原级数收敛且和为124.解：:UU2n 1nn 1 ! nn 1n 12 n!知原级数收敛。5.解：: n/U n2n:3n 12n 32n3n 1根值判别法知原级数收敛。6 .解：n充分大nn、22n 1n 2n3n 1n.Un由比值判别法nn 2 lim n 2n 1limnn2n 17.解：.YUn级数收敛；b a8 .解：当9.解：:nbana 1时,an. limn1时，苫Un比较
14、判别法知级数收敛10 .解：:Un1Un非条件收敛11 解：，1Un |annn nn an2n 1一,而 2n 11-1 , 由根值判别法知原级数收敛。2，当b 1,即ab a时，原原级数发散，当ba时不定。11 an0,级数发放。dx21! 2n(u22n 1一 1 一 一），而一收敛,n 1 an级数发放。2n-2n2x2 3n 13 n3收敛，由2Un也发散，故也n 1故级数 |Un |发散，即n 1 一. n1、，、一，一一一原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列2n 1单调递减且收敛于n n 1零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12 .解：limn|Un |Tn1-1
15、n ln 2 一 lim _n n .9n2 4ln23|Un |发散, n 1即原级数非绝对收敛ln记原级数为an为交错级数，limanlimn9n2 4ln 2又电an.3n 13n 5 1 3n 2 3n 21 ln 2nlnI 21n 11 ln 2 - n3n 2 3n 23n 51,故由莱布尼兹判别法知原级数收敛,故原级数条件收敛。13 .解：:Un1Un2 n 1x 2n !2n2 n 1 ! x2x2n 1 2n,故对x,原级数收敛，所以收敛半径为,收敛区间为n 114 . lim anlim n.nn .an bn1, - -Rmax a,bmax a, b ,当 xmaxa
16、,b时，原级数发放,故收敛区间为R,R ,其中max a,b15 .解：:Un 1Un1,即2nx 5x 7时，原级数发散，当x3n2n 4 n 12n 14 x 5x3时，原级数收敛，当一T- 1，7,原级数收敛，当x 3时原级数也收敛。原级数收敛半径为2,收敛区间为7, 3 。16 .解：a n 1ann3n2 n23n23，二R1|2-,原级数收敛。当3原级数收敛，当2时, 3原级数发放。故原级数的收敛区间为43,17.解：2nnxx2n 12nx ,但n 12n1n 12x,故有2n nxx2n 12nxx2x22 21 x2 xn 12 n12 12n 12nx22n x11 2n一
17、 x n!1 2n一 x non!2nn!2n 12n x2n2nn!解：.nnx2n xxe2x2ex2n 1nxnnx证明：考虑级数2xnx2n2x2xx2xe|x|1 2n 1-xo n!|x| 2,逐项微分得:11x|x|2。dx02一 dx xln|2In 2 In |21c n n 1 n221 .解:ln22x22 .解:3x2x2x2n02n|x|(|x1|1)。7x4n 2n 1 ! nx2n !，|x| 1x,1 x22n 1 ! 2n x2n !25 .解:an1xsinnxdx 2x cosnx2x2ncosnxdxn 1,2,11n ncos xl 1 .1sin n
18、x on由于对 x 2k 1 , 2k 1，有x 22k 1 , 2k 3 ，所以1f x 2 x 22 k 121 一-x 2k f x o因此f以2周期的周期2函数，并且显然只有当x 2k 1,k 0, 1, 2, 时x是f x及f x 第一类间断点，所以fx符合狄利克雷收敛定理的条件，故 f x付氏级数在R处处收敛， k 0, 1,2,n 1 1 ,f x,有 1 sin nxn 1n02k 12k 126 .解:x奇函数，所以an00bnf x sin nxdx - 02 xsin xdx sinnxdx0万21sin nxnnxcosnx-cosnx 2n1 n sin 一n 22n
19、所以f x1 1 . n sin n n 2sin nx ,除x 2n1 均成立，(n 0, 1, 2,)。27.解：bnx2 sin on .xdx l2lxnxl 0-nxsin xl2l222 cos nn 2l4l23 nnx2l2一 1 n又.函数f x展成正弦级数为2l21 n1-nsin x l2 .x dx2l2 3l 2x cos 0n .xdx l4l222 n f x展开成余弦级数为4l2-2nn一 cosx ,l1 .解:Un(C)1 2k 1 2k 1 2kk 1 2k 112k 112k 112k12k 12k 312n 12n 31122n2n 31n121故原级
20、数收敛，且和为一。122 .证：电Una n 11 an1,由比较判别法知原正项级数收敛。3.解：:如Un3n 1判别法知，原级数发散。4 .解：考虑函数e2 ,易知f e2Un1n 2 ln n 12n 2n 'nn3n n!1,，.二由比值0,11nx 2，由 f x 0时f x的最大值,所以当1地，n12 ln1了为收敛的几何级数，原级数也收敛。1ln n5.解：annn1en_11 , 丁 n2有0 -nn- 1 ;而当0 x 1时, n 1有 ex 1 ex, 当n 2时,ln n0 en2 11e -nn-,而级九字-可判别其是 n 1n 1 n 1收敛的，原级数收敛。6
21、.解：因为已知级数n 1112n 1条件收敛的级数。设其部分和数Sn极限为S ,则有lim SnnS,一.一一1n而级数-sinn 1 n10-032n项,其和与n 11一、， ，一 ，的部分和相等且为2n 1Sn,当 n时，2n原级数收敛且和为7.解:Un1Unn 2 n 12n 1 22x 2x2x2,当 2x2 1 ,即 |x|22时，收敛；当|x|22三时发散。故R三2时,2级数为 n 1n 1发散，故原级数收敛域为.228.解：ann ,由于1 71 n百n1而当 lim Jan I 1 ,故 R 1 ；当x 1时，原级数为n 1于通项不以零为极限，故发散所以原级数的收敛域为1,19
22、 .解：当|x| 1时，级数1 n 11x2n收敛n 1n 2n 1n 1 n 2n2n,|x| 1，贝U f x 2 -m2n 1n 1 2n 11 x , |x| 1 , fn 1 2n 11 x|x| 1,两边积分得:x 1x 2 2"dx 2a01 x2tgx , (Vf 00)；再积分一次0 x , x2 280);x2.02arctgxdx 2xarctgx In 1 x , ( fUnn 1ln2,即原级数的和ln2。10 .解:ddxx2!2 x3!12!2 x 3!nn!1 2 x 2!x因为当n时,n 1n 1n!又当xdo时, dxex 1x xxe e 12x
23、故展开式对所有的x均成立，在展开式中令x1,得x xxe e11 .解:Un1Unn 12 23 n 1 1n 1 2 1 2 xnc2 3n 1n22 x123 |x|3 石 |x|3 , (n )，故1当也|x|3 1,即当|x| 2 6时级数收敛,1当x 2 6时级数发散，因此原级数收n2 3nn22x22n1x222-2x32x312x33 2 '12x3|x| 212.解：先求正弦级，将f x在,0作奇延拓，有an0,bn -f x sin nxdx -2 x - sin nxdx02cosnx 2/cosnxdx0 nnsin x , n 2 n 2-sin- -cos-
24、cosnx ,n 1 n 2 n22 n2COS 2-n 2 2n n 01 2 n 2 , n cos-Sin n n 2 n 2由狄里赫勒收敛定理知f x , 0 x 一或一x 22bn sin xn 1二 f xbn sin nx , n 1再求余弦级数，将f x在,0作偶延拓，有cos nxdx2 . nsin 一n 2一 cosnxdx 22 n2 cos 1 , n 0n 2an cos nxn 1解:anbn所以f x cosnxdxcosnxsin nxsin nxdxcosnxsin xdxcosnsin nxdxcosn 1f21,3,5,2,4,6,1. c-sin 3x32n-sin 2n 1 x 14 sin 2n 1 xn 1 2n 1sin2na b 2absin 2n 1 x2n 11 2n 12n 11 2nsin 2n 1 xn 1 2n 12 cos 2n 1 x1-,-2 cos 2n 1 x1一代入上式有, 2n1 2n 1t cos 2n 13dx1-32n 112n 1 2n 1即求得和式，且11敛区间为 2 6,2 6 ，且