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1、第二讲方程与方程组一、学习指引1 .知识要点（1） 一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3） 一元二次方程 （4） 分式方程（5）方程的整数根 （6）方程应用问题2 .方法指导（1） 一元一次方程经变形总可以化成ax二b的形式，此时需注意对字母系 数的讨论.（2）二元及多元（二元以上）一次方程组的求解，主要是通过同解变形进 行消元，最终转化为一元一次方程来解决.所以，解方程组的基本思想是 消元.（3）方程ax、bx+c=O（aWO）称为一元二次方程：一元二次方程的基本 解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于方程ax2+bx+c=O（a WO）, b：-4ac称为该方程的根的判别式.
2、（4）解分式方程的基本方法：去分母；求出整式方程未知数的值； 验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是：审一一理解题意,弄清问 题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么； 设一一即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；列一一找出 题中和等量关系，列出方程；解一一解出所列的方程；答一一检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。找等量关系的方法是一用两种方式表达同一个量!二、典型例题例1.解关于x的方程:(2) x2-3x + 2 = 0；x+ y + x-y=6,-4(x+y)-5(x-y) = 2.EM(l)4x+b =ax-8；例2.若关于x, y的二元一次方程
3、组卜的解也是二元一次方程 x-y = 9k2x+3y = 6的解，求k的值.例3.关于x的方程（l-2幻x2一2/K-1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.例4.符号“"：，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：卜= cid be fcdc d21请你根据上述规定求出下列等式中X的值：11 =1 .17 71例5.设a是方程.W=0的一个根,求代数式"2007 +装的 值.例6.求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解.例7.小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购 买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子 们.某周日小明在商店选
4、中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买 了若干个，结果他的压岁钱还余30乐 于是小明又多买了 6个小熊玩具， 这样余下的钱仅是压岁钱的10%.（1）问小明原计划买儿个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%,问小明最多可比原计 划多买几个玩具 例8.某超市对顾客实行优惠购物，规定如下:（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠;（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元） 给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现
5、在小张决定一 次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元例9.春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对例10.为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾 区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成.（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了 50名工人参加帐篷生产, 同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前2天完成了生产任务.求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷第二讲方程与方程组同步练习班级 姓名【基础巩固】1 .若n （WO）是关于x的方程/ + 吠+2 = 0的根，则m+
6、n的值为2 .如果关于x的一元二次方程攵2/_（2攵+ 1口 + 1 = 0有两个不相等的实数根, 那么k的取值范围是.3 .己知关于x的方程工丝=3的解是正数，则m的取值范围为 x 2*4 .已知厂="是方程组卜上2 的解，则a+b的值等于.y = b2x+y = 35 .若x与y互为相反数，且2x-3y = 5,则Y + 2y3=.6 .一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果 每件仍获利15元,这种服装每件的成本为元.7 .已知方程组仁窘；的解x, y,其和皿则k=一8 .篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投 全中，那么姚明
7、两分球投中 球，罚球投中 球.9 .用换元法解分式方程=1工+ 1=0时，如果设3 =），,将原方程化 x x-X为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A. y2 + y-3 = 0 B. y2 -3y + l = 0C. 3y2 -y + 1 = 0 D. 3y2 -y-1 = 010 . 一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的 流速之比为（）A. 3:1:1:1:211 .方程*-3）* + 1）=1-3的解是（）A. x = 0B. x = 3C. x = 3或x =1D.x = 3或x = 012 . 08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63
8、%的目标, 已知08年我省森林覆盖率为3 设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x,则可列方程()B. 60.05(1 + 2x) = 63D. 60.05(1+ x)2 =63A. 60.05(1 + 2x) = 63%C. 60.05 (1 + A-)2 =63%13 .方程4x+y=20的正整数解有（）组.B. 3A. 214 .若二c =（x+y）2，则 x y 的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 315 .两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍，这样的两位数共有（）个B.4+2x3x1995x1996二1995的解是（.1996【能力拓展】17.解下列关于x的方程：
9、axT 二bx(2) x"6x+9=(5 2x) (3)x-2y = 71 - 3x =2x 5。+= 32x 1 1 2x18.已知关于x,y的方程组f = 2与、-2.v = 5的解相同,求a, bax + by = 1 ax-by = 4的值.19.己知等腰三角形两边长分别是方程8x + 15 = 0的两根，求此等腰三 角形的周长.20.已知a, b是一元二次方程X- X1=0的两个根,求代数式3a'+2b' 3a-2b的值.21.己知：关于x的方程2炉+h-1 = 0. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是-1,求另一个根及k值.22.
10、某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了 7min30s,而他 沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了 lmin30s,那么此人不走，乘着 扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分 钟（假定此人上，下扶梯的行走速度相同）23 . 一辆汽车从4地驶往8地，前路段为普通公路，其余路段为高速公 3路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h,汽车从力地到6地一共行驶了.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.24 .通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两
11、个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成 这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、 乙两队合作16天可以完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，该 工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开 工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用，需 要追加预算多少万元请说明理由.25 .如图，在 RtABC 中，NC=90° , AC=6cm, BC=8cm.点 P、Q 同时由 A、B两点出发，分别沿AC、BC方向都以l
12、cm/s的速度匀速移动，几秒后APCQ 的面积是aABC面积的一半B第二讲方程（典型例题）例1.（1）当aW4时，方程有惟一解x二出；当a二4且b二-8时,方程有 。一4无数个解;当 a=4 且 bW-8 时，方程无解；(2)x=l 或 2； (3)，'一'； (4) x=-. y = 12例 2. k=. 10例3原方程有两个不相等的实数根，A b2 - 4ac = (-2VF+T)2 - 4(1 - 2/:) - (-1) =-4k+ 8 >0. , ：.k <2.又；原方程中，1一2女工0 , k + iO ,工 2-1<攵<2且/. 2例二4.例
13、. fff- x=0x = 7x = 4x = 1例 6. i ,，,y = 0y = 2 y = 4 y = 6例7.(1)由小明原计划买x个小熊玩具，压岁钱共有y元由题意，得pT°x=：%y，解这个方程组，得广=21y-10(x + 6) = 10% y.y = 300答：小明原计划买21个小熊玩具，压岁钱共有300元.(2)设小明比原计划多买z个小熊玩具，由题意得 30010 (21+z) 220/X300,解得 zW3.例8. (1)小李第一次购物付款198元.当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品；当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x
14、元的物品，依题意可得：xX90%=198,解之，得x=220即小李实际购买220元的物品.(2)小李第二次购物付款554元，因为554>500,故第二次小李购 物超过500元，设第二次小李购物y元，依题意可得：(y-500) X8(+500X90%=554,解之得y=630,即小李实际购买 630元的物品.当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，小张 应购买的物品为：198+630=828 (元)或者220+630=850 (元)，此 时应付款为：500X90%+ (828-500) X80%=(元)或者：500X90%+ (850-500) X80%=730 (元)答：小张
15、应付款元或730元.例9.设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000X25 = 25000<27000,所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得1000 20 (才-25) x= 27000.整理，得/一75x+1350 = 0,解这个方程，得小= 45,照= 30.当 x=45 时，1000-20U-25) =600<700,故舍去为；当泾=30 时，1000-20(-25) =900>700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10. (1) 2000 (2)设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，则由题意 得：2000 八20000-
16、2x2000516(1 + 25%) =，一='a(10-2-2)(x + 50)x 3(x + 5O)，解这个方程，得x = 75O.经检验，x = 75O是所列方程的根，且符合题答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷.第二讲方程(同步练习)【基础巩固】1. -2 2.攵>-1 且攵工0 3. m>-6 且 mW-4 4. 1 或 5 5. -1 6.125 4337. 8- 8, 3 9. A 10. B 11. D 12. D 13. C 14. C 15. B 16- B 5【能力拓展】17.当aWb时，方程有惟一解x二一匚；当a二b时，方程无解；（2）x=
17、67;或 a-h32；5（4） x= . ；18.a =6 19. 11 或 13.b = -220. V a, b 是方程 x x 1=0 的两个根 二 a二 a- -1 ， b= b"-1二 3aH2b-3a 2b=3a+2b一3 (a-1) 2 (b*- 1) =5.21. (1)略：(2)另一根为； k=l. 222. 设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要xmin,停电时此人从底部走到fl 111-顶部需用ymin,依题意得" ' "解得= 3.75故乘着扶梯从底部到1 _ 1 _ 1y = 2.5y x 7.5顶部需要用3min45s ； 停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s.23.答案不唯一，略。24. (1)设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要 2X天.根据题意，得9 + 161 + 1/1解得x = 3O.经检验，x = 3O是原方程x x 2x)的根.则2x = 2x30 = 60.答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天.（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天.则有+ 3 = 1解得y = 20.需要施工费用:20x（0.67 + 0.33） = 20 （万130 607元）. 20>19,，工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元.25. 2 秒.