《也谈等腰三角形的美好性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《也谈等腰三角形的美好性质.docx（2页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、也谈等腰三角形的美好性质张宁1对文【1】中结论的分析一方面，“等腰三角形外内有条过顶点的直线中，“顶点指代不明确，等腰三角形的顶点有“顶角顶点和“底角顶点之分，从文【1】中给出的证明可以看出，这里的“顶点指的是等腰三角形的“顶角顶点；一条直线不可能在三角形的内部，“等腰三角形内有条过顶点的直线这句话也值得商榷.另一方面，经过等腰三角形顶角顶点的直线与等腰三角形有三种位置关系：一是直线只经过等腰三角形的顶角顶点，直线与等腰三角形再无其它公共点；二是等腰三角形的一条腰在这条直线上；三是直线经过等腰三角形内部.当直线经过等腰三角形内部时，有一种情况结论是不成立的，即当经过顶角顶点的直线垂直或平分等腰
2、三角形底边时，结论不成立.图1如图1，ABC是等腰三角形，AB=AC，直线l垂直或平分BC，底角顶点B、C到直线l的距离分别为BD、CE，显然垂足D、E重合，所以BD-CE=0，DE=0，故结论不成立.2结论的改进一条直线l经过等腰ABC的顶角顶点A，过底角顶点B、C分别作直线l的垂线，假设点B、C到直线l的距离分别为h1、h2，垂足间的距离为d，ABC=ACB=，那么1当直线l只经过顶角顶点A，且与ABC再无其它公共点；或ABC的一条腰在直线l上时，h1+h2=dtan；2当直线l经过ABC的内部不与底边BC的垂直平分线重合时，|h1-h2|=dtan.3结论的证明对于结论1，当ABC的一条
3、腰在直线l上时，h1与h2中有一个为0，由直角三角形的边角关系易知结论成立，证明从略.当直线l只经过顶角顶点A，且与ABC再无其它公共点时，文【1】给出了四种证明方法，这里再给出两种简证.如图23，在ABC中，AB=AC，ABC=ACB=，直线l经过点A，BDl，CEl，垂足分别为D、E，那么BD=h1，CE=h2，DE=d.图2证法1如图2，取BC的中点F，过F作FGl，垂足为G，连接AF、EF.易知AEC=AFC=90°，所以A、E、C、F四点共圆，所以AEF=ACB=.易知四边形BCED是直角梯形，FG是它的中位线，所以DE=2EG，BD+CE=2FG，即EG=12d，FG=1
4、2h1+h2.在RtEFG中，tanAEF=FGEG=h1+h2d，所以tan=h1+h2d，即h1+h2=dtan.圖3证法2如图3，取BC的中点F，连接AF.连接DF并延长，交EC的延长线于点G.易知ADB=AFB=90°，所以A、D、B、F四点共圆，所以EDG=ABC=.易知四边形BCED是直角梯形，BDFCGF，所以S梯形BCED=SDEG.易知S梯形BCED=12h1+h2d，SDEG=12d2tan，所以12h1+h2d=12d2tan，所以h1+h2=dtan.对于结论2，有如下简证.图4如图4，在ABC中，AB=AC，ABC=ACB=，直线l经过点A，且与底边BC相交交点不是BC的中点，BDl，CEl，垂足分别为D、E，那么BD=h1，CE=h2，DE=d.取BC的中点H，连接DH、AH.延长BD到G，使DG=BD，连接CG，过G作GFCE，垂足为F.易知A、B、D、H四点共圆，所以ADH=ABC=.易知FG=DE=d，CF=CE-DG=CE-BD=|h1-h2|.易知DHCG，ADFG，所以CGF=ADH=.在RtCFG中，tanCGF=CFFG=|h1-h2|d，所以tan=|h1-h2|d，即|h1-h2|=dtan.参考文献【1】周磊.等腰三角形的美好性质J.中学数学杂志，20214：38-40.