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1、双曲线中重要结论的灵活应用周启东反比例函数的图象一一双曲线上的点的横坐标与纵坐标的乘积为一恒定值，这是反比例 函数的一个重要性质。所以，围绕此性质的各种形式的考题层出不穷。但无论形式如何变化,其解题方法是有律可循的。例1.如图1所示，过函数|（ k是常数，k>0, x>0）的图象上两点 A、B，分别作AC垂直x轴于C，BD垂直x轴于D，则 AOC的面积Si和厶BOD的面积S?的大小关系 为（ ）A. Si AS2B. Si =S2C. 5 cS2D. Si和S2的大小无法确定图1分析：设点A的坐标为（Xi，yi），点B的坐标为（X2，y2），根据题意可得：1 iiiSi = OC
2、AC = Xiyi， S2 =OD BD = X2y22 222。因为点A和点B在函数y =k(x >0)X的图象上，所以有 Xiyi =k，X22 =k。因此有Si弓0，答案选B。总结：从上面的解题过程可以看出，这两个三角形的面积是相等的。进而我们得出一个k一般结论：过双曲线y=-（ko）上的任意一点作任意一个坐标轴的垂线，这点和垂足及坐x标原点所构成的直角三角形的面积都等于凶。有了这个结论后，利用它就能轻易解决其他2与之相关的题目了。例2.如图2所示，A（Xi, yj、Bg , y?）、Cg , 祠 是函数”二丄|的图象在第一象 限分支上的三个点， 且xi VX2 VX3。过A、B、
3、C三点分别作坐标轴的垂线， 得矩形ADOH、 BEON、CFOP，它们的面积分别为 Si、S、S，则下列结论中正确的是（）A. Si S2 WS3B. S3 wS2 £SiS2 : S3 : S1图2分析：利用上面的结论可得这三个矩形的面积都是相应直角三角形面积的2倍，等于1,所以答案选D。例3.如图3所示，P是反比例函数图象在第二象限分支上的一点，且矩形 PEOF的面积为3。则反比例函数的表达式是 。yk分析：根据例2可知矩形数图象在第二、四象限，所以PEOF的面积等于|k|,所以有|k|=3，故|k 。因为反比例函k = 3，故函数表达式为例4.如图4所示，正比例函数 尸召与反比例函数y =丄的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，CD垂直x轴于D，则四边形 ABCD的面积为（）A. 15B. C. 2D.Li2图4AOB分析：根据双曲线的对称性可得四边形ABCD是平行四边形。因此它的面积是1面积的4倍。因此，四边形 ABCD的面积为4汽一 =2，所以答案选 Co2总结：数形结合是一种重要的数学思想。解此类题，只要掌握“反比例函数图象上任一 点的横、纵坐标之积为一定值”这一基本性质，问题就迎刃而解了。