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1、义务教育课程标准实验教科书,九年级上册,人民教育出版社,22.2 二次函数与一元二次方程 （第1课时）,问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系,h = 20t5t 2,考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？,所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实
2、际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值,解：（1）解方程,1520t5t 2,t 24t3=0,t1=1，t2=3,当球飞行1s和3s时，它的高度为15m,分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数,h=20t5t 2,t1=1s,t2=3s,15m,15m,（2）解方程,2020t5t 2,t 24t4=0,t1=t2=2,当球飞行2s时，它的高度为20m,t1=2s,20m,（3）解方程,20.520t5t 2,t 24t4.1=0,因为（4）244.10，所以方程无解,球的飞行高度达不到20.5m,20m,（4）解方程,020
3、t5t2,t24t=0,t1=0,t2=4,当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面,0,已知二次函数，求自变量的值,解一元二次方程的根,二次函数与一元二次方程的关系（1）,下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x2 4x +1 （3） y = x2 x+ 1,令 y= 0，解一元二次方程的根,（1） y = 2x2x3,解：当 y = 0 时，,2x2x3 = 0,（2x3）（x1） = 0,x 1 = ，x 2 = 1,所以与 x 轴有交点，有两个交点。,y =a（xx1）（x x 1
4、）,二次函数的两点式,（2） y = 4x2 4x +1,解：当 y = 0 时，,4x2 4x +1 = 0,（2x1）2 = 0,x 1 = x 2 =,所以与 x 轴有一个交点。,（3） y = x2 x+ 1,解：当 y = 0 时，,x2 x+ 1 = 0,所以与 x 轴没有交点。,因为（-1）2411 = 3 0,归纳:,从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切,一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0,例如，已知二次函数y = x24x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程x24x=3（即x24x+3=0）,反过来，解
5、方程x24x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x24x+3 的值为0，求自变量x的值,下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？,（1）y = x2x2（2）y = x26x9（3）y = x2x1,（1）抛物线y = x2x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2x20的根是2，1.,（2）抛物线y = x26x9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. 当x = 3 时，函数的值是0由此得出方程 x26x90有两个相等的实数根3.,（3）抛物线y = x2x1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2x10没有实数根,（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根,一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知,（1）如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x =x0时，函数的值是0，因此x = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,