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1、第四章机械振动与机械波一、机械振动1简谐运动简谐运动的特征：a2 x振动方程 ：xA cost2A2v0tg 1 v0x0x0振幅和初相由初始条件决定固有频率：由系统的力学性质决定弹簧振子：振动的能量 ：kmT 2 m k1222动能Ek2 m A sin t势能Ep1 kA2 cos2t2总能量E1 m 2A21 kA2221简谐运动的辅助技巧：旋转矢量法判断初相及时间差Atx2简谐运动的合成同方向、同频率简谐运动合成x 1A 1 costx 2A 2 cost12合振动仍为简谐运动xA cost其中振幅、初相由下式决定：A2A2A22A A cos211212A1 sin1A2 sin2t
2、gA2 cosA1 cos122212kk0, 1, 2AA1A2k0,1,2212k1AA1A23. 习题1. 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该 t = tt =0t简谐振动的初相为_振动方程为xO答案：/4xA cos tx210 2 cos( t/ 4) (SI)2、一质点沿 x 轴作简谐振动，振动方程为x 4 10 2 cos(2 t1 )(SI) 3从 t= 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm处，且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为(A)1 s(B)1 s (C)1 s864(D)1 s(E)1 s32答案： E2.一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲
3、线如x (cm)图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =_ ；=_ ；=_ 10513t (s)O 1 4710- 10答案：10 cm(/6) rad/s/33T12sx (cm)3. 一简谐振动的振动曲线如图所示求振动方程10解： (1) 设振动方程为xA cos(t)O2t (s)- 5由曲线可知A= 10cm ,t =0 ， x05 10 cos ，-10v 010 sin0解上面两式，可得=2 /32分由图可知质点由位移为x0 = -5 cm和 v0< 0的状态到 x = 0和 v > 0的状态所需时间t = 2 s，代入振动方程得010 cos(22/ 3)(SI)则有
4、 22/ 33/ 2，= 5/122分故所求振动方程为x0.1cos(5 t / 122 /3)(SI)1分4、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为x1 =5 × 10-2 cos(4 t +/3)(SI) ,x2 =3 × 10-2 sin(4 t -/6 ） (SI)画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程解：x2 = 3× 10-2sin(4t -/6)A 1= 3×10-2 cos(4 t-/6-/2)= 3×10-2 cos(4 t- 2/3) A作两振动的旋转矢量图，如图所示图 2 分Ox由图得：合振动的振幅和初
5、相分别为A = (5-3)cm = 2 cm，= /32分A2合振动方程为x = 2× 10-2 cos(4 t +/3) (SI)1 分5、 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x1 = 4× 10-2 cos2(t1)(SI),x2 = 3× 10-2 cos2(t1) (SI)84求合振动方程解：由题意x1 = 4 × 10-2 cos (2t)(SI)4x2 =3 × 10-2 cos (2t)(SI)2按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为A423224cos(/ 2/ 4)10 2 m= 6.48× 10-2 m2分
6、arctg4 sin(/ 4)3sin(/ 2)=1.12 rad2分4 cos(/ 4)3cos(/ 2)合振动方程为x = 6.48× 10-2cos(2t +1.12) (SI)1分4二、机械波1平面简谐波波动方程xAcostyAcos (tx )uyA cos2 ( tx )TuT2. 波的干涉： ( 波在传播过程中相遇时的特性 )（ 1）相位法AA 2A 22A A cos1212r2r12kk 0，1，2212AA1A2212r2r1(2k 1)k 0，1，2AA1A2（2）波程差法前提 ：21r2r1kk 0，1，25AA1A2r2 r1( 2 k 1)k 0，1，22
7、AA1A2相位差与波程差之间的关系：2 r1r22（ 3）驻波半波损失： 当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节 .入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失。驻波方程不存在半波损失情况下：x )正向y1A cos 2 (t负向y2A cos 2(tx )yy1y2Acos2( tx ) Acos2( t x )62 Acos2x cos2tcos2 x12 xk k0,1,2,02 x(k1) k0,1,2,2cos2x02cosx1波节波腹物理学第五版10-5驻波例 如图 , 一列沿 x轴正向传播的简
8、谐波方程为 y110 3 cos200(tx) (m)（ 1）在1， 2两种介质分界面上点200A与坐标原点 O相距 L=2.25 m.已知介质 2的波阻大于介质 1的波阻 ,假设反射波与入射波的振幅相等, 求：（a）反射波方程 ; （b）驻波方程 ;（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标 .y21OLAx第十章 波动207物理学第五版10-5驻波解 （a）设反射波方程为3x（2）y210 cos200()0 (m)t200由式（1）得 A点的反射振动方程y1A10 3 cos200(tL )(m) （3）200y12OLAx第十章 波动21物理学10-5 驻波第五版由式（ 2）得 A点的反射振
9、动方程y103 cos200(L)(m)2 At0200（4）由式(3)和式(4)得：舍去02L -3.5 -4022所以反射波方程为：y2103 cos200( x)t(m)2002第十章波动228物理学10-5 驻波第五版yyy2 103cos(x（b）2) cos(200t )1440（c） 令)cos( x41得波节坐标xn(n0,1,2,)4x 2.25 mx0.25 m,1.25 m,2.25 m令cos(x1)41得波腹坐标xn(n1,2,)4x 2.25 mx0.75 m,1.75 m第十章波动23物理学10-5 驻波第五版12 xk k0,1,2,xcos2x100,1,2,
10、2(k ) k2第十章 波动241、两相干波源 S1 和 S2 相距4 （ 为波长）， S1 的相位比 S2 的相位超前2，在 S1和 S2连线上，S2外侧各点（例如 P 点）两波引起的两谐振动的相位差是： A（A）0； （B）； （ ）；（）。CD2r2r1240212922、一平面简谐波以 u6 m s 1 的速率沿 x 轴正向传播，已知 t0 时的波形如图所示，求：1）O点的振动方程；2）波动方程。3）波线上位于 x112 m 和 x220 m 两点间的相位差。解：（1）已知：A0.05 m ，24 m244sT6u22rads 1T42在 t 0 时，坐标原点y 0， v0 ，可知：t02因此，坐标原点的振动方程为：y0.05cos(t) m222）波动方程为：y0.05cos(tx) m2623）2x1 )2( x233 、 如图 所示 ，有 一平面 简谐 波沿x 轴 负方向传播，坐标原点O 的振动规律为y Acos( t0 )），则B 点的振动方程为(A)yAcost( x / u)0 (B)yAcos t( x / u) (C)yAcost(x / u)0 yuBO(D)y Acos t (x / u) 0 Cx|x|10