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1、9.2 两条直线的位置关系,9.2.1 两条直线的平行,1.在平面上两条直线的位置关系有哪几种？,问题,2.在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的方程判断这两条直线的位置关系？,L2,L1,n2,n1,下面来讨论两条直线平行的充要条件，设两条直线分别为L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0如图所示，直线L1的一个法向量可取为n 1=(A1，B1)，直线L2的一个法向量可取为n2=(A2,B2)。因此如果L1/L2,则n1/n2,即存在一个非零实数，使n1=n2,且C1C2.上述结论也可用直线方程的系数表示为 A1=A2 B1=B2 (为非零实数） C1 C2特别，如果L1
2、与L2的方程中的x和y的系数及常数项都不为零，则有 L1/L2,例1 已知直线L1:2x-4y+7=0,L2:x-2y+5=0. 求证：L1/ L2.证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(2,-4), L2的一个法向量可取为n2=(1,-2). 因为n1=2n2,且725. 所以L1/ L2.,例2 求证直线L1：Ax+By+C1=0 与直线L2：Ax+By+C2=0(C1C2)平行.证明：直线L1的一个法向量可取为n1=(A,B), L2的一个法向量可取为n2=(A,B). 因为n1=1n2,而C1C2. 所以L1与L2平行.,一般地，与直线Ax+By+C=0平行的直线都可以表示成Ax+B
3、y+D=0（DC）.,例3 求过点（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。解：设所求直线方程为2x+3y+D=0，由于所求直线过点（1，-4），将其带入方程，得D=10，因此，所求直线方程为2x+3y+10=0,例已知四边形的四条边所在的直线方程分别是：求证四边形是平行四边形。,证明：因为直线的一个法向量可取为 (2,-3) 直线的一个法向量可取为 (4,-6) 显然，且，所以/又因为直线的一个法向量可取为 (3,6) ，直线的一个法向量可取为(1,2)因为，且-113(-4)，所以/因此四边形是平行四边形。,1、已知直线的一个方向向量v=(v1,v2),则直线的斜率k= .
4、已知斜率k，则直线的一个方向向量 v= .2、点斜式方程 .3、斜截式方程 .,温故知新,(1,k),y=kx+b,新知探究,任何一条直线都可以由其上的一点和它的一个法向量写出它的点法式方程，直线的点法式方程是一个二元一次方程。因此可以说每一条直线的方程都是关于x,y的二元一次方程。,那么是否每个二元一次方程的图像都是直线呢？,若关于x,y的二元一次方程为： Ax+By+C=0 （A,B不全为零）设（x0,y0)是此方程的一个解，即 Ax0+By0+C=0 由-得 A(x-x0)+B(y-y0)=0 这是一条过点p0(x0,y0)，法向量为n=(A,B)的直线的点法式方程。,任何关于x,y的二
5、元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)的图象都是一条直线。,我们把方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)叫做直线的一般式方程。,如果n=(A,B)是直线的一个法向量，则直线的一个方向向量v= .如果v=(A,B)是直线的一个方向向量，则直线的一个法向量n= 。,(B,-A)或（-B,A),(B,-A)或（-B,A),向量n=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量，向量v=(B,-A)和(-B,A)都是这条直线的一个方向向量。,例10.写出下列直线的一个法向量和一个方向向量：(1)3x-4y-1=0(2)2x-3=0(9)3y-2=0,n=(3,-4) v=(-4,-3),n=
6、(2,0) v=(0,-2),n=(0,3) v=(3,0),例11 求直线x+2y+6=0的斜率和在y轴上的截距,解：由方程x+2y+6=0解出y，得此直线的斜截式方程所以，直线的斜率是 ，在y轴上的截距是-3。,跟踪练习,求直线7x+8y+9=0斜率和在y轴上的截距。,例12 求直线l:4x-3y-12=0与x轴，y轴的交点坐标，并画出直线L。,解：令y=0,得x=3;令x=0,得y=-4所以，直线与x轴，y轴的交点分别为： A(3,0), B(0,-4)过点A，B的直线就是直线l，,跟踪练习,求直线2x-3y+6=0与x轴和y轴的交点坐标，并画出直线.,与x轴交点（-3，0）与y轴交点（
7、0，2）,课堂练习,1、求下列直线的一个法向量，一个方向向量和斜率k（如果斜率存在的话） x-3y+5=0 y=3x+7 2x+5=0 4y+1=0,n=(1,-3) v=(-3,-1) k=,根据下列条件写出直线的一般式方程：(1)过点(2,-3)，一个方向向量是v=(-3,4) (2)过点(3,2),一个法向量是n=(3,-4)(3)过点(1,4)，斜率k=,4x+3y+1=0,3x-4y-1=0,2x+y-6=0,课堂练习,任何关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为零)的图象都是一条直线。,一般式方程： Ax+By+C=0(A,B不全为零),向量n=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量，向量v=(B,-A)和(-B,A)都是这条直线的一个方向向量。,作业：,课后练习9-4，第2题（2）、第3题,