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1、 1 电磁理论,麦克斯韦方程媒质中的场和边界条件波方程和基本平面波的解能量和功率介质分界面上的平面波反射,内容要点,1.2 麦克斯韦方程组以及本构关系, 1 电磁理论,相量形式：,(1.14a),(1.14b),(1.14c),(1.14d),其中，,本构关系：,(1.28a),(1.28b), 1 电磁理论边界条件,1.3 边界条件,Figure 1.6 (p. 12)Closed surface S for equation (1.29).,(1.31),(1.32),(1.36),(1.37),1.31 一般材料分界面上的场,Figure 1.7 (p. 13)Closed contou
2、r C for Equation (1.33)., 1 电磁理论边界条件,1.32 介质分界面上的场,在两种无耗介电材料的分界面上，通常没有电荷或面电流密度、磁流密度存在。这样，式（1.31）、（1.32） （1.36） （1.37）可简化为：,（1.38a）,（1.38b）,（1.38c）,（1.38d）,结论：在介质分界面处，, 1 电磁理论边界条件,1.33 理想导体（电壁）分界面上的场,（1.39a）,（1.39b）,（1.39c）,（1.39d）,切向电场为零，切向磁场不为零的界面（电壁）均可视为等效短路面。, 1 电磁理论边界条件,1.34 磁壁边界条件,（1.40a）,（1.40
3、b）,（1.40c）,（1.40d）,切向磁场为零，切向电场不为零的界面（磁壁）均可视为等效开路面。,麦克斯韦方程组与边界条件的结合，是求解电磁场问题的手段！, 1 电磁理论边界条件, 1 电磁理论波方程,1.4 波方程和基本平面波的解,1.4.1 亥姆霍兹方程,在无源、线性、各向同性和均匀的区域，相量形式的麦克斯韦方程为：,（1.41a）,（1.41b）,对式（1.41a）取旋度，并应用式（1.41b）可得：,由矢量恒等式：, 1 电磁理论波方程,（1.42）,（1.43）,令,k称为媒质的波数，或传播常数，单位为1/m, 1 电磁理论平面波,1.4.2 无耗媒质中的平面波,亥姆霍兹方程平面
4、波的基本解。,（1.44）,该方程的解为：,（1.45）, 1 电磁理论平面波,（1.46）,向+z方向传播的波,向-z方向传播的波,相速（phase velocity）：,波传播过程中一个固定相位点的运动速度,（1.47）,波长： 波在一个确定的时刻，两个相邻的极大值之间的距离,（1.48）, 1 电磁理论平面波,将式（1.45）：,代入式（1.41a）,（1.49）,其中，,向+z方向传播的波,向-z方向传播的波,可得：, 1 电磁理论平面波,1.4.3 一般有耗媒质中的平面波(有耗导体和有耗介质),1.若媒质是导体，电导率为，麦克斯韦旋度方程可以写为：,（1.50a）,（1.50b）,（
5、1.51）,类似的，定义复传播常数：,（1.52）, 1 电磁理论平面波,（1.53）,该方程的解为：,（1. 54）,正向传输波的时域形式为：,相速（phase velocity）：,波长：, 1 电磁理论平面波,（1. 55）,相关的磁场为：,（1. 56）,无耗情况下，波阻抗可以定义为电场与磁场的比值：,式(1.56)可以写为,（1. 57）,（1. 58）, 1 电磁理论平面波,1.4.4 良导体中的平面波,良导体中导电电流远大于位移电流,此时，式(1.52d)的传播常数：,（1.52）,可近似为：,（1.59）,根据式（1.54）:, 1 电磁理论平面波,（1.60）,在微波频率下，
6、良导体的趋肤深度非常小。因此，往往只需在导体表面镀上一层很薄的良导体，便能得到低损耗的微波器件。,（1.61）,良导体波阻抗的相位角为45无耗材料波阻抗的相位角为45任意有耗媒质阻抗的相位角在0 和45 之间, 1 电磁理论平面波,1.5 平面波的通解,三维情况下的平面波，真空中电场的亥姆霍兹方程可以写为：,（1.62）,利用分离变量法可以得到正向传播电场的时域表达式：,（1.77）,其中,（1.69）,（1.70）, 1 电磁理论平面波, 1 电磁理论平面波,1.6 能量和功率,波印廷定理：,（1. 88）, 1 电磁理论平面波,右边的第一个积分表示由封闭曲面S流出的复功率流P0：,右边的第
7、二个积分和第三个积分是实数量，代表了体积V内消耗掉的时间平均功率Pl：,最后一项积分与电和磁的储能有关。,源携带的功率PS等于通过表面传输的功率P0，体积内损耗为热的功率Pl及体积内存储的净电抗性能力的2 倍之和。,（1. 89）,（1. 90）,（1. 91）,（1. 92）,（1. 93）, 1 电磁理论平面波,1.6.1 良导体吸收的功率,图1.11 有耗媒质和良导体的分界面,导体体积内的实平均功率：,（1. 94）,适当选择S面，Pav可写为：,（1. 95）,（1. 97）,可进一步改写为：,其中，,（1. 98）,导体的表面电阻, 1 电磁理论平面波,1.7 媒质分界面上的平面波反
8、射,图1.12 从有耗媒质的平面波入射；正入射, 1 电磁理论平面波,1.7.1 普通媒质,假定入射波具有沿x轴方向的电场，并沿z轴方向传播。对z0，入射场可以写为：,（1. 99a）,（1. 99b）,在z0区域，可能存在反射波为：,（1. 100a）,（1. 100b）,在z0区域，有耗媒质中的透射场可以写为：,（1. 101a）,（1. 101b）,由式（1.57）和式（1.52）可得该区域的本征阻抗和传播常数分别为：,（1. 102）,（1. 103）,利用边界条件，Ex和Hy在z=0处必须连续，可得：,（1. 104a）,（1. 104b）,由此可得反射系数和透射系数为：,（1. 1
9、05a）,（1. 105b）,这是正入射到有耗材料分界面上电磁波反射系数和透射系数的通解，其中是材料的阻抗。,下面，考虑以上结果的三种特殊情况。,1.7.2 无耗媒质,媒质中的波长为：,相速为：,波阻抗为：,（1. 106）,（1. 107）,（1. 108）,（1. 109）,在z0的区域，复坡印廷矢量为：,（1. 110a）,在z0的区域，复坡印廷矢量为：,（1. 110b）,在z0的区域，通过1m2横截面的时间平均功率流为：,在z0的区域，通过1m2横截面的时间平均功率流为：,实功率也守恒,1.7.3 良导体,若z0的区域是良导体（非理想导体），则传播常数可写为：,类似的，该导体的本征阻
10、抗为：,同理可得，在分界面处，复功率和实功率均守恒。,1.7.4 理想导体,在z0的区域，场衰减无限迅速，理想导体中的场完全为零（电场被短路）。,在z0的区域，复坡印廷矢量为：,实部为零，没有实功率流入理想导体。,1.7.5 表面阻抗的概念,为了方便分析非理想导体的衰减效应或导体损耗，提出表面阻抗的概念。,1. 利用焦耳定律，计算通过1m2横截面的耗散为热的功率：,其中，,是金属的表面电阻。,(1.124),2. 利用等效表面电流密度和表面阻抗，计算通过1m2横截面的耗散为热的功率：,导体中的体电流密度为：,x方向每单位宽度的总电流为：,对于很大的值，总电流可写为：,(1.127),(1.128),将均匀体电流延伸到一个趋肤深度距离上来代替式(1.127)所表示的指数衰减体电流：,(1.129),总电流相同！,