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1、空间几何体的表面积与体积教案 11 （新人教 A 版必修 2） 第一课时 柱体、锥体、台体的表面积 （一）教学目标 1知识与技能 （ 1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式） （ 2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积 . （ 3）培养学生空间想象能力和思维能力 . 2过程与方法 让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培 养转化化归能力 . 3情感、态度与价值观 通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学 生探索创新的意识，增强学习的积极性 . （二）教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算 . 难点：展开图与空间几何体的转化 . （三
2、）教学方法 学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合 . 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题：现有一棱长为 1 的正方体盒子 AC，一只蚂蚁从 A 点 出发经侧面到达 A 点，问这只蚂蚁走边的最短路程是多少？ 学生先思考讨论，然后回答 . 学生：将正方体沿 AA展开得到一个由四个小正方形组成的 大矩形如图 则即所求 . 师： （肯定后 ）这个题考查的是正方体展开图的应用，这节课， 我们围绕几何体的展开图讨论几何体的表面积 . 情境生动，激发热情教师顺势带出主题 . 探索新知 1空间多面体的展开图与表面积的计算 . （1）探索三棱柱、三棱锥、三棱台的展开图 . （2）已知棱
3、长为 a，各面均为等边三角形 S - ABC（图 132）， 求它的表面积 . 解：先求厶 SBC 的面积，过点 S 作 SDL BC 交 B 于 D,因为 BC = a，二.二四面体 S - ABC 的表面积. 师：在初中，我们已知学习了正方体和长方体的表面积以及 它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关 系吗？ 生：相等 . 师：对于一个一般的多面，你会怎样求它的表面积 . 生：多面体的表面积就是各个面的面积之和，我们可以把它 展成平面图形，利用平面图形求面积的方法求解 . 师：（肯定）棱柱、棱锥、棱台边是由多个平面图形围成的 多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的体积？
4、生：它的表面积都等于表面积与侧面积之和 . 师以三棱柱、三棱锥、三棱台为例，利用多媒体设备投放它 们的展开图，并肯定学生说法 . 师：下面让我们体会简单多面体的表面积的计算 . 师打出投影片、学生阅读、分析题目、整理思想 . 生：由于四面体 S - ABC 的四个面都全等的等边三角形，所 以四面体的表面积等于其中任何一个面积的 4 倍. 学生分析，教师板书解答过程 . 让学生经历几何体展开过程感知几何体的形状 . 推而广之，培养探索意识会 探索新知 2圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导 S 圆柱 = 2r （r + 1） S 圆锥 = r (r + 1) S 圆
5、台 = （r12 + r2 + r1l + rl ） （2）讨论圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的 变化关系 （ 3）例题分析 例 2 如图所示，一个圆台形花盆盆口直径为 20cm,盆底直 径为 15cm 底部渗水圆孔直径为 1.5cm，盆壁长 15cm.为了 美化花盆的外观，需要涂油漆 . 已知每平方米用 100 毫升油 漆，涂 100 个这样的花盆需要多少油漆 （取 3.14 ，结果精确 到 1 毫升，可用计算器 ）？ 分析：只要求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的 用量 . 而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上下底面 面积，再减去底面圆孔的面积 . 解：如图所示，由圆
6、台的表积公式得一个花盆外壁的表面积 1000（cm2） = 0.1（m2）. 涂 100 个花盆需油漆：0.1 x 100X 100 =1000（毫升）. 答：涂 100 个这样的花盆约需要 1000 毫升油漆 . 师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？ 生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一 个扇形 . 师：如果它们的底面半径均是 r，母线长均为 I，则它们的 表面积是多少？ 师：打出投影片（教材图 1.3.3 和图 1.3-4 ） 生 1 ：圆柱的底面积为，侧面面积为，因此，圆柱的表面积： 生 2：圆锥的底面积为，侧面积为，因此，圆锥的表面积： 师：（肯定） 圆台的侧面展开图是一
7、个扇环，如果它的上、下 底面半径分别为 r、r，母线长为 I，则它的侧面面积类似 于梯形的面积计算 S 侧 = 所以它的表面积为 现在请大家研究这三个表面积公式的关系 . 学生讨论，教师给予适当引导最后学生归纳结论 . 师：下面我们共同解决一个实际问题 . （师放投影片，并读题） 师：本题只要求出花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量， 你会怎样用它的表面积 . 生：花盆的表积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去 底面圆孔的面积 .（ 学生分析、教师板书 ） 让学生自己推导公式，加深学生对公式的认识 . 用联系的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间 几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决
8、问题 . 随堂练习 1.练习圆锥的表面积为 a cm2,且它的侧面展开图是一个半 圆，求这个圆锥的底面直径 . 2如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱 （底面是正六边 形，侧面是全等的矩形） 形，上面是圆柱 （尺寸如图，单位： mm 形电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌 0.11kg , 问电镀 10 000 个零件需锌多少千克（结果精确到 0.01kg ） 答案： 1 m； 21.74 千克 . 学生独立完成 归纳总结 1 柱体、锥体、台体展开图及表面积公式 1. 2柱体、锥体、台体表面积公式的关系 . 学生总结，老师补充、完善作业 1.3 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能
9、力 备用例题 例 1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q1, Q2 求直平行六面体的侧面积. 【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征， 直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对 角面是矩形 . 【解析】如图所示，设底面边长为 a，侧棱长为 I，两条底面 对角线的长分别为 c，d，即卩 BD = c，AC = d，贝 U 由（1）得，由（ 2）得，代入（ 3）得， S 侧=. 例 2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表 面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为 2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 mm. 设底面边长为 a,贝 y，
10、二 a = 4. 二正三棱柱的表面积为 S = S 侧 + 2S 底=3 x 4X 2 + 2 X (mm2). 例 3 有一根长为 10cm 底面半径是 0.5cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 8 圈，并使铁丝的两个端点落在圆 柱的同一母线的两端，贝铁丝的最短长度为多少厘米？(精 确到 0.01cm) 【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上， 得到矩形 ABCD. 由题意知，BC=10cm AB = 2cm 点 A 与点 C 就是铁丝的起止 位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. 二 AC =(cm). 所以，铁丝的最短长度约为 27.05cm. 【评析】此
11、题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为 平面几何问题 . 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的 表面或侧面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为 平面图形问题 . 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本 的、常用的方法 . 例 4粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分 别是 80mm 和 440mm 高是 200mm.计算制造这一下料斗所需 铁板是多少？ 【分析】 问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需 求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高 . 【解析】如图所示，O O1 是两底面积的中心，则 00 促高， 设 EE1 是斜高，在直角梯形 OO1E1 中， EE1= 边数 n = 4，两底边长 a = 440 , a = 80 ,斜高 h =269. S正棱台侧=(mm2 答：制造这一下料斗约需铁板 2.8 x 105mm2.