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1、3.4定积分与微积分根本定理、选择题1 .与定积分/ 7 1 cos xdx相等的是().A.羽/ 7 sin 2dxB.羽/0n sin | |dxC. J2/ 7sin qdxD.以上结论都不对解析 tl cos x = 2sin 弓,/ 0p 1 cos xdx=2/ 0n 2|sin |dx = 2/ 0n |sin |dx.答案 B2. f (x)为偶函数,且 6f(x) dx= 8,那么 6f(x) dx=()学.1 0 科.网乙X.X.KA. 0B . 4C. 8D . 16解析 6 6f(x) dx= 2 6f(x) dx= 2X 8= 16.丿0答案DA.16040.3 m3
2、. 以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40 10t2,那么此物 体到达最高时的高度为().c 80Bp m20DE m10、10解析 v = 40 10t2= 0,t = 2, r(40 10t2)dt =40t t 0 = 40X2=X8儿I 3丿3160 = m).答案 A4 .一物体以v = 9.8t + 6.5(单位：n/s)的速度自由下落,那么下落后第二个4 s内经过的路程是()A. 260 mB. 258 mC. 259 mD. 261.2 mZXXK解析 (9.8t + 6.5) dt = (4.9t 2 + 6.5t)= 4.9 X 64+ 6.5 X 8
3、-4.9 X 16-146.5 X 4= 313.6 + 52- 78.4 26= 261.2.答案D5由曲线y= , x,直线y = x 2及y轴所围成的图形的面积为( )-10A._B. 416C.3D. 6解析 由y = x及y = x 2可得,x= 4,所以由y=x及y = x 2及y轴所围成3 116的封闭图形面积为(& x+ 2)dx= -x2+ 2x | 40 =.扎Q 2 2丿3n6.a= i =11 nn N, b= dx2dx,那么 a,答案 Cb的大小关系是B. a= bD.不确定A. abC. a22|3 2x|dx =/ 31(3 2x)dx+ 22x 3)dx13x
4、 x2|31 + (x2 3X)|2 2 = 2.1答案112. 抛物线y = x2+ 4x 3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的 面积为.解析 如下图,由于y = 2x + 4, y I x= 1 = 2, y|x=3= 2,两切线方程 为 y = 2(x 1)和 y = 2(x 3).N=2 x, y = 2 x3得 x = 2.所以 S= 22(x 1) ( x2+ 4x 3)dx + 3 2(x 3) ( x2 + 4x 3)d x ：1 ： 2=2(x2 2x + 1)dx + 3(x2 6x + 9)dx 13x3 3x2+ 9x3 22= 3.答案 三、解做
5、题13. 如图在区域 Q= ( x, y)| 2 x 2,0 y 4中随机撒900粒豆子,如果 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比, 试估计落在图中阴影局部 的豆子数.解析 区域Q的面积为S= 16. 图中阴影局部的面积21 3 232S= S f2 2x dx = 16I2=w.J3 13设落在阴影局部的豆子数为 mim S2由条件9oo=S1,即 m= 900S?=600.因此落在图中阴影局部的豆子约为 600 粒.14. 如下图,直线y= kx分抛物线y = x x2与x轴所围图形为面积相等的两 局部,求k的值.解析 抛物线y = x x2与x轴两交点的横坐标为Xi= 0,
6、X2= 1, 所以,抛物线与x轴所围图形的面积S= (x x )d x = 0110= 6. 2 又=：x,y=kx, 由此可得,抛物线y= x x2与y = kx两交点的横坐标为X3= 0, X4 = 1 k,所以,S=/ J k(x x2 kx)dx =6(1 - k)1 k 2rx131又知s= 6,3 1所以(1 k) = 2,于是k = 1 體1-葺15.曲线C：y= 2x3 3x2 2x + 1,点pg, 0 j,求过P的切线1与C围成的图形的面积.解析设切点坐标为(X.,y.)y,= 6x2 6x 2,那么 y |X= X0 = 6x2 6x0 2,212,切线方程为y = (6
7、X0 一 6xo 2) 那么 y= (6 Xo 6xo 2) 即 2xo 3xo 2xo + 1= (6 Xo 6xo 2)xo-苏2整理得 Xo(4xo 6xo + 3) = o,解得Xo= 0,那么切线方程为y= 2x+ 1.y = 2x +1,解方程组 V = 2x3 3x2 2X+ 1,f 3X =-, 或 2y = 2.由y = 2x3 3x2 2x + 1与y = 2x + 1的图象可知3S=/ 2.( 2X+ 1) (2 x3 3x2 2x+ 1)dx学* 科*33227=/ 炎2x + 3x)dx=眨16.二次函数f(x) = 3x2 3x,直线I仁x= 2和丨2： y= 3t
8、x(其中t为常数, 且ot1),直线I2与函数f(x)的图象以及直线l1、I2与函数f(x)的图象所围成 的封闭图形如图K15 3 设这两个阴影区域的面积之和为 S(t) .Zxxk(1)求函数S(t)的解析式； 定义函数h(x) = S(x) x R假设过点A(1 m)(4)可作曲线y = h(x)( x R)的三条切线,求实数m的取值范围.y = 3X 3x,2解析(1)由 得x (t + 1)x = 0,y=3tx所以 X1 = 0, X2= t + 1.所以直线丨2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0, t + 1.由于 0t1,所以 1t + 1O,得 Xo1 或 XoV 1 ；由 g(Xo)0,得1Xo0,即,即一4m4.m 40,故实数m的取值范围是(4,4).