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1、人教版高中数学必修1知识点高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性, 1.元素的确定性, 2.元素的互异性, 3.元素的无序性 说明,(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三
2、个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示, 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1,用拉丁字母表示集合,A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2,集合的表示方法,列举法与描述法。 注意,常用数集及其记法, 非负整数集,即自然数集,N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念,集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如,a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a?A ,相反,a不属于集合A 记作 a,A 列举法,把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法,将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
3、用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法,?语言描述法,例,不是直角三角形的三角形 ?数学式子描述法,例,不等式x-32的解集是x,R| x-32或x| x-32 4、集合的分类, 1,有限集 含有有限个元素的集合 2,无限集 含有无限个元素的集合 2=,5, 3,空集 不含任何元素的集合 例,x|x二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意,有两种可能,1,A是B的一部分,2,A与B是同一集合。 A,B,反之, 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 22,“相等”关系(5?5,且5?5,则5=5) 实例,设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结
4、论,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即,A=B ? 任何一个集合是它本身的子集。A,A ?真子集:如果A,B,且A, B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ?如果 A,B, B,C ,那么 A,C Page 1 of 8 ? 如果A,B 同时 B,A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1、交集的定义,一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集,记作A?B(读作,A交
5、B,),即A?B= x|x?A,且x?B, 2、并集的定义,一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作,A?B(读作,A并B,),即A?B=x|x?A,或x?B, 3、交集与并集的性质,A?A = A, A?= , A?B = B?A,A?A = A,A?= A ,A?B = B?A. 4、全集与补集 A,S,由S中所有不属于A的元素组成,1,补集,设S是一个集合,A是S的一个子集,即S 的 A 集合,叫做S中子集A的补集,或余集,记作, CA 即 CA =x , x,S且 x,A SSCA s,2,全集,如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个
6、集合就可以看作一个全集。 通常用U来表示。 ,3,性质,?C(CA)=A ?(CA)?A= ?(CA)?A=U U U UU四、函数的有关概念 1,函数的概念,设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f,A?B为从集合A到集合B的一个函数,记作, y=f(x),x?A,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域, 注意,如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数
7、的集合, 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式, 定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是, (1)分式的分母不等于零, (2)偶次方根的被开方数不小于零, (3)对数式的真数必须大于零, (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意,求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素,定义域、对应关系和值域 再注意, ,1,
8、构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域,由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等,或为同一函数, ,2,两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法,?表达式相同,?定义域一致 (两点必须同时具备) Page 2 of 8 值域补充:,1,、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. ,2,应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 2. 函数图象知识归纳 (1)定义,在平面直角坐标系
9、中,以函数 y=f(x) , (x?A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ?A)的图象,C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , x?A 。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法,根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后
10、用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法,请参考必修4三角函数,常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用, 1、直观的看出函数的性质, 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 3. 了解区间的概念 ,1,区间的分类,开区间、闭区间、半开半闭区间,2,无穷区间,3,区间的数轴表示, 4,什么叫做映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有,唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f,AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f,AB” 给定一个集合A到B的映射,如果a
11、?A,b?B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b 的原象 说明,函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,?集合A、B及对应法则f是确定的,?对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的,?对于映射f,A?B来说,则应满足,?,集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,?,集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个,?,不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点, 1? 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数
12、图象的依据, 2? 解析法,必须注明函数的定义域, 3? 图象法,描点法作图要注意,确定函数的定义域,化简函数的解析式,观察函数的特征, 4? 列表法,选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征, 注意,解析法,便于算出函数值。列表法,便于查出函数值。图象法,便于量出函数值 补充一,分段函数 ,在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况,1,分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数,2,分段函数的定义域是各
13、段定义域的并集,值域是各段值域的并集, sinX 2补充二,复合函数,如果y=f(u),(u?M),u=g(x),(x?A),则 y=fg(x)=F(x),(x?A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2y=2cos(X+1) 5,函数单调性 ,1,增函数 Page 3 of 8 ,x,当xx时,都有f(x)f(x),设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x121212那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 ,睇清楚课本单调区间的概念, 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当xx时,都有f(x1),f(x2),那
14、么就说f(x)在这个区间上是减函数.区1212 间D称为y=f(x)的单调减区间. 1注意,? 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质, 2? 必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x,当xx时,总有f(x)f(x) 。 121212,2,图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. ,3,函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法, 1? 任取x,x?D,且x1,且n?, nx,aNnnn当是奇数时,正数的次方根是一个正数,
15、负数的次方根是一个负数,此时,的n次方根用符号naan表示,式子叫做根式,radical,这里叫做根指数,radical exponent,a叫做被开方数,radicand, nannan当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,此时,正数的正的次方根用符号 nannnnn表示,负的次方根用符号,表示,正的次方根与负的次方根可以合并成?,0,由 此aaan可得,负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0,记作。 0,0a(a,0),nnnna,|a|,n注意,当是奇数时,当是偶数时, ,na,a,a(a,0),2,分数指数幂 mm,11*n*nmna,(a,0,m,n,N,n,1)正数的
16、分数指数幂的意义,规定, a,a(a,0,m,n,N,n,1)mnmana0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出,规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂, 3,实数指数幂的运算性质 rrr，saa,a(a,0,r,s,R),1,? rsrs(a,0,r,s,R)(a),a,2, rrs(a,0,r,s,R)(ab),aa,3, 二,指数函数及其性质 Page 5 of 8 1、指数函数的概念, x叫做指数函数,exponential function,其中x是自变量,函数的定义域为R, 一般地,函
17、数y,a(a,0,且a,1)注意,指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1, 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a1 33 2.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780-0.5011-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5图象特征 函数性质 a,10,a,1a,10,a,1函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为,0,，?, 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点,1,0, log1,0a自左向右看,图象逐渐上升 自左向右看,图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限
18、的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 x,1,logx,00,x,1,logx,0aa第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 x,1,logx,00,x,1,logx,0aa四,幂函数 ,1、幂函数定义,一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数, y,x(a,R)2、幂函数性质归纳, ,1,所有的幂函数在,0,+?,都有定义,并且图象都过点,1,1, ,2,时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数,特别地,当时,幂函数的图象下凸,0,10,，,)当时,幂函数的图象上凸, 0,1x,3,时,幂函数的图象在区间上是减函数,在第一象限内,当从右边趋向原点时,图
19、象在轴右方y(0,，,),0xxx，,无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴, yPage 7 of 8 第三章 函数的应用 （7）二次函数的性质：一、方程的根与函数的零点 166.116.17期末总复习x,把使成立的实数叫做函数的零点。 1、函数零点的概念,对于函数f(x),0y,f(x)(x,D)y,f(x)(x,D)(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）x2、函数零点的意义,函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。f(x),0y,f(x)y,f(x)(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直
20、线是圆的切线.x即,方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点, ,y,f(x)f(x),0y,f(x)3、函数零点的求法, 3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。求函数的零点, y,f(x)10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。1? ,代数法,求方程的实数根, f(x),02? ,几何法,对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点, y,f(x)3、思想教育，转化观念端正学习态度。4、二次函数的零点, 2二次函数, y,ax，bx，c(a,0)一锐角三角函数2x,?,:,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点, ax，bx，c,02x,?,:,方程有两相等实根,二重根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重ax，bx，c,0零点或二阶零点, =0 抛物线与x轴有1个交点；2x,?,:,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点, ax，bx，c,0166.116.17期末总复习Page 8 of 8