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1、教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识要点.、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算 ？求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB A B Al B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思 ；符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思 .）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理 ？图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分， C表示大圆与小圆的公共部分，记为如下：
2、A表示小14部分， B丧不人恻部分，C表不人圜巧小恻的公共部分，记为： Al B ,即阴影用【积.AIB ,即阴影 面积？图示第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求A B （意思是把AB的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C Al B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）？、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数 B类元素个数 C类元素个数 既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数 既是A类又是C类的元素个数 同时是A类、B类、C类的元 素个数.用符号表示为：AUBUC A B C Al B
3、 Bl C Al C Al Bl C .图示如下：目 tMIF例题精讲丄3 【例1】“走美”主试委员会为三？八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备道决赛试题。【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用8 6 4 2 56（道）题目【答案】56题13个区域中，然后把每【例2】 将1? 13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的个圆内的7个数相
4、加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为:)X 2+ 4+3+2+1)=240.13 X 4+ (12+11 + 10+9) X 3+ 8+7+6+5【答案】240【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星？如果每条线段上恰有这个五角1994个点被染成红色，那么在星上红色点最少有多少个？考点】容斥原理之最值问题难度】 4 星题型】填空【解析】如下图，下图中“d ”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的
5、线段都在“d位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994 X5-(2- 1) X10=9960 个.【答案】9960【例4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球？那么，这个班至 少有多少学生 这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】(法1 )首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有 27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27 33 48 12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12
6、40 48 4人.该情况可以用线段图来构造和示意：0|115116427|2848|?i.j27人1 - 士-#1i1i ? ?总人数游泳自行车游泳23|2448人33人40人(法2)设三项运动都会的人有 x人，只会两项的有 y人，只会一项的有 z人，那么根据在统计中会 n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式:33 403x 2y z 27x y z 48x, y,z 0由第一条方程可得到 z 100 3x 2y，将其代入第二条式子得到: 100 2x y 48 ，即卩 2x y 52L L L L 而第二条式子还能得到式子x y 48，即2x y 48 xL L L L 联立和得到48 x
7、 52，即x 4 .可行情况构造同上.【答案】4【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有 23人，参加英语竞赛的有 20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人.【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星 【题型】填空【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有28 23 20 71人次.由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次.要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而71 2 35L L 1，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科.那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假
8、设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28 22 20) 2 15 人，参加语文、英语两科的共有28 15 13人，参加数学、英语两科的共有20 13 7人.也就是说，此时全班有15人参加语文、 数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加？检验可知符合题设条件？所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人.（当然 本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】354-的人会打排球，这三项运动都会的人有522人，2 3【巩固】60人中有-的人会打乒乓球，-的人会打羽毛球，3 4问：这三项运动都不会的最多有
9、多少人？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排0，所以x、y、z有如下关系:球两项的有z人.由于只会三项运动中的一项的不可能小于40xy22045xz22048yz220将三条关系式相加，得到 x y z 33，而60人当中会至少一项运动的人数有4人（当x、y、z分40 45 48 x y z 2 22 56 人，所以60人当中三项都不会的人数最多别取7、11、15时，不等式组成立）？【答案】【例5】 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名？已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有
10、33 , 44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本？问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星 【题型】填空【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合 B，丙借过的书组成集合 C. A =33, B =44 , C =55 ,|AI B =29 , |AI c| =25 , |BI C =36 ?本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可.AUBUC A |B |C |AI B AI C BI C AI BI C ,当|AI B
11、I C|最大时，|AUBUC |有最大值 池就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多.而|AI BI C|最大不超过IA、|B|、 |C|、|AI B|、 |BI c|、| Al c| 6个数中的最小值，所以IAI BI C最大为25 .此时|AU B UC =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读.已知甲读了 75个故事，乙读了 60个故事，丙读了 5
12、2个故事？那么甲、乙、丙 3人共同读过的故事 最少有多少个？甲M , 甲乙351 丙52【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为 60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个.【答案】12【例6】 某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有 125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有 104人。在这次决赛中至少有 一得满分。【考点】
13、容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136 + 125 + 118 + 104 -160 3=3 （人）。【答案】3人【例7】 某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则 该班这四项运 动都会的至少有人。【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】不会骑车的6人，不会打乒乓球的 8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一 项的最多只有6+8+11+19=44 人，那么思想都会的至少 44人【
14、答案】44人【例8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了 30盆，乙浇了 75盆，丙浇了 80盆，丁浇了 90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了 45盆，丙浇了 50盆，丁浇60盆了，这时共有100 30 70盆花，我们要让这 70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有 45 50
15、 60 140 15盆.【答案】15【巩固】 甲、乙、丙同时给100盆花浇水？已知甲浇了 78盆，乙浇了 68盆，丙浇了 58盆，那么3人都浇 过的花最 少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空盆，此时甲单独浇过的为78-46=32【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，乙单独浇过的为 68-46=22 盆； 欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端于是三 者都浇过花最少 为 58-32-22=4 盆答案】 4巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆， 丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问恰好被 1 个人浇过的花最少有多少盆？考点】容斥原理之最值问题 【难度】 5 星 【题型】填空解析】 100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇 2.75 次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇 4 次的 花尽量 多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，平均每盆被浇 2.21 次，说明需要一些花被浇 3 次才可以 我 们假设 70 盆都被浇 3 次， 那么多出 55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案 为 27 盆答案】 27