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1、等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法:1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算1+ In x例：已知函数f（x）=.（I）若函数在区间（+-2）（其中口0）上存在极值，求实数a的取值范围;（II）如果当xnl时，不等式/（X）恒成立，求实数&的取值范围；X + 1解：（I）因为 1+1,，则， 旦，1分f（X）= Xx 0/（x） = - X当时，；当 时， .所以 在（0, 1）上单调递0 x 0 X 1/（x）0 ）上存在极值,S 3)=2a 1所以1,解得丄 1 2I 2(1【)不等式 fix) ,即为(x+W+ lnx)
2、 k,记 g(x) = (x + l)(l+ln.Q ,X+1XXx- lnx所以6分J2X：令h(x) = x- Inx,贝J hx) = 1 一 ，x 1,. hx) 0./. H(X)在1,+00)上单调递增, /Kx)mm =/?(!)= 1 0 ,从而 gx) 0故g在1,+00）上也单调递增,=g（l）=2 ,所以M2 8分然后求出含参最值,从而确定参数范冃1 ,曲/(x) = - X3 -(1 + a)x + 4ax+ 24a例题：设 3,其中(1) 若/(X)有极值，求Q的取值范围；(2) 若当/仗)恒成立，求Q的取值范围.解：由题意可知:广(x)f 2(】+d)x+4d,且八
3、X)有极值，则fM = 0有两个不同的实数根，故 = 4(1 + a)，-a = 4(l-a)： 0 ,解得：dHl,即ae(-xrl)Ua,+x)(4 分)(2)由于 x0, f(x) 0 恒成立，则 /(0) = 24 0,即 0(6 分)由 /(X)= x: -2(1 +a)x+4d = (x-2)(x-2a) 贝9当 Q0 解得：寺； 分) 当a=l时，/(x)3 0,即/(x)在+戈)上单调递增，且/()= 24a0,则/(x)*(0)0恒成立；do分) 当1时./(X)在x = 2处取得极人值、在x= 2a处収紂极小值.则当亠八时，min /(x) = /(2d) = -#/ +
4、4/+24d0,解得：综上所述，a的取值范围是：J_d0)的最小(、 2值；(2)求证：对一切xw (o,+s),都有inxe x-ex1解(1)广(x) = lnx+1,令广=0 ,得兀二e1xe(e，-ko)f(x) 0J(x)2当xw(0, )时，广 0 .当0 v/v 幺时,f在1 1 上单祓,在L e)f21I上单増，所以/Wniin =/( e) = - e t (4 分当t 1时，/在f,f + 2上单增，所以f min =/(f) = / 111 /。(6 分)(2)要证原命题成立，需证：/(A-) _L-2(x0)成立。 ex e设x 2 9则，17 ,令得，当时，g(x)
5、=ex eg(x) = exg(x) = x = 1x e (0,1) Jf单増:当时，单减，所以当时，g(X)max =丄 O(9分)又由(1)得f(x)在(0,丄)上单减，在(丄,乜)上单增，所以当X=1时，/(x)mmeeee又 /(l) = 0- = g(l),./(x)g(x) ,(11 分)所以对一切X w (0,+co),都有In x e x-ex 成立。(12 分)2、设函数加“-曲“y,记=畔，若函数曲)至少存在一个零点，则实数的取值范围是EZIg( x) = x: - 2ex+ m 一 = 0 = w = -x2 + lex +( x a 0 I 设XX(x) = -x:+
6、2ex + ,令川卫=7亠+2农，)=仏=彳&)=匕血工,发现XXX函数在xQei上都单调递増，在XE任+CCI上都单调递减，于是函数(x) = -x:+2ex + 在上单调递增，在b+x)上单调递减，所以当x = eX时力亠(力=一+丄，所以函数恥)有零点需满足即m=g(x),求k的范围解:注意到函数/的定义域为(0,+切，所以/(X) g(x)恒成立O 3. 迪恒成立，XX设 h(x) = In x -斤 QT)(x 0),h(x) = x x r则 丄厶，2分当R 0对x0恒成立，所以h(x)是(0, 3)上的增函数，注总到/(I) = 0 ,所以0 v 1时，h(x) 0 时，若 0
7、vxvR,”(x)k, hx)0.所以/?(x)是(OU )上的减函数，是伙,+8)上的增函数，故只需 /?(x)min = h(k) = hi k - k +1 0 . 6 分令u(x) = lnx-x+l(x 0),“(x) = x_l x ,当 0 vx v 1 时，iC(x) 0 ；当 x1 时，iC(x) 0 .所以u(x)是(0,1)上的增函数，是(1, +8)上的减函数.故ll(x) 0成立，即k= 1为所求.三、放缩后，求参数范围4、设函数f(x) = ex-l-x-ax2 o(1) 若a = 0 ,求/(X)的单调区间:(2) 若当x n 0时/(X) 0 ,求a的取值范围(
8、1) a = 0 时，f(x) = ex-l-x , fx) = ex-l当 xw(Y), 0)时，广(x)0.故/(x)在(-8,0)单调减少，在(0,+s)单调增加(II) fl(x) = ex-l-2ax由（I）知ex l+x9当且仅当x=0时等号成立故f x) x - 2ax = (1- 2a)x ,从而当 1 一2。0,即 a0.时,由 1+ x(x 工 0)可得 x 1- x(x 工 0).从而当 a 2fx) -1+ 2a(eT x-1) = eTx 0 _1)( 2a),于是当 x e (0, In la)时，f(x) 0 .故当 x e (0, In 2a)时，fx) 0 ,
9、而/(0) = 0 ,综合得a的取值范围为（-s,丄.2值值fax 值/值5、（2014 牛一测丿“.0灯 0解（I ）由题知f-X，当值值值k值值值时,x 1 f(x) ,1），减区间为（1严）,其极大值为/（i）= L无极小值.e（II ）由题知0 vxvl,当RSO时，因为-x0j/（-%）,符合题意;当0R/（!）,这与函数在（-co,l）单调递增不符；9分k 1当kni时，因为-x-vi,由知函数/在(i,+9单调递减，L111所以f(x)xeK ,即 In - x - In x - x 2 liu - x + x 0 ,令 h(x) = 2 In j - X + (0 x 1),则
10、()= -/?(l) = O ,所以/(幺)，符合题意.11分X综上：k(Y),0 1,皿)为所求 12分6、(2013年辽宁) 已知函数f(x) = (1+ x)e2 * , g ( x) = ax + +1+ 2x cos x.当 xe0,l时 2求证：1-x /( x) i-r X；(II)若/( x) A g ( Q恒成立，求实数d取值范第一问略：飞甲炉n；i h*oi 刃 awwa” UnCM C” 丁烘 !川嗨屈小7|缶 ?lr叫叩切）仃02吹”样训37x(j; + ”)+ I(X wnp + I + 4- X) 一 Xz.a(x + L) = (X)ti - (X)J-I【0l I八。庁 w -RJ、(T + 门=(x)ff -(X)/yr- - sxxsoaA - 1 -fllHO 9；