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1、选修 2-32.4 正态分布一、选择题1下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是()1A f(x)e2(x 1)221(x2)2Bf(x)e 2221(x)2Cf(x)e 2221Df(x)e2( x)22答案A2已知 N(0,62)，且 P(20)0.4，则 P(2)等于 ()A 0.1B0.2C0.6D0.8答案A 解析 由正态分布曲线的性质知P(02) 0.4， P( 122)0.8，P(2)2(10.8)0.1，故选 A.3若随机变量 N(2,100)，若 落在区间 (， k)和(k， )内的概率是相等的，则k 等于 ()A 2B10C.2D可以是任意实数答案A 解析 由于 的取值落在
2、 (，k)和(k，)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线xk 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线xk 对称，即 k，而 2.k2.4已知一次考试共有60 名同学参加，考生的成绩 XN(110,52)，据此估计，大约应有57 人的分数在下列哪个区间内()A (90,110B(95,125C(100,120D(105,115答案 C解析 由于XN(110,52)，110，5.因此考试成绩在区间(105,115， (100,120，(95,125上的概率分别应是 0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有 60 人参加考试， 成绩位于上述三个区间的人数分别是：60
3、0.682641 人， 600.954457 人，600.997460 人25(2018 山东理，5)已知随机变量 服从正态分布 N(0，)，P(2)0.023，则 P(22)()A 0.477B0.628C0.954D0.977答案C 解析 P(2)0.023，P(2)P(2) 0.954.6以 (x)表示标准正态总体在区间(， x)内取值的概率，若2，则概率 等于随机变量 服从正态分布 (，()P(| )A ()() B(1)(1)1C D2()答案 B|解析 设 ，则 P(|)P(|0)和 N(2 2)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A ，1212B12C12，12，12答案 A
4、解析 根据正态分布的性质：对称轴方程x，表示总体分布的分散与集中由图可得，故选A.二、填空题1(x 3)29正态变量的概率密度函数f(x)2 ，xR 的图象关e2于直线 _对称， f(x)的最大值为 _答案 1x3210已知正态总体的数据落在区间(3， 1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为_答案 1解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等另外，因为区间(3，1)和区间 (3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的 区间 (3，1)和区间 (3,5)关于直线 x1 对称，所以正态分布的数学期望就
5、是1.211在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1，)(0)，若 在 (0,1) 内 取值的概 率为0.4 ， 则 在 (0,2) 内 取值 的概率为_答案 0.8解析 1，正态曲线关于直线 x1 对称 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等12(2018 福安 )某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有 95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为 _答案 (24.94,25.06)解析 正态总体N(25,0.032)在区间 (2520.03，2520.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)三、
6、解答题13若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的1最大值等于.求该正态分布的概率密度函数的解析式 解析 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即 0.而正态密度函数的最大值是111，因此 4，故该正态分布的概率密度函，所以22241x2数的解析式是 (x)e 32，x(， )， 4214(2018 邯郸高二检测 )设随机变量 N(2,9)，若 P(c1)P(c1)P(c1)P(c1)，故有 2(c1)(c1)2， c2. 点评 解答此类问题要注意以下知识的应用：(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1；(2)正态曲线关于
7、直线 x对称，从而在关于 x对称的区间上概率相等(3) P(xa)1P(xa) P(xa)P(xa)若 b，则 P(xb)1P(bxb).215某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有 1200 名工人，试估计月收入在 440 元以下和 560 元以上的工人大约有多少？ 解析 设该工厂工人的月收入为 ，则 N(500,202)，所以 500，20，所以月收入在区间(500 320,500 320)内取值的概率是0.9974，该区间即 (440,560)因此月收入在440 元以下和 560 元以上的工人大约有1200(1 0.9974)12000.00263(人)16已知某种零件的尺寸(单位： mm)服从正态分布，其正态曲线在 (0,80)上是增函数，在 (80， )上是减函数，且 f(80) 1 . 8 2(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在 72mm88mm 间的零件大约占总数的百分之几？ 解析 (1)由于正态曲线在 (0,80)上是增函数， 在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80 对称，且在 x80 处取得最大值，因此得 80.1 1 ，所以 8. 2 8 2(x 80)2故概率密度函数解析式是 (x)1 e 128 .， 82(2)尺寸在 72mm 88mm 之间的零件的百分率，即在(808,808)之间的概率为 68.28%.