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1、1,:,6.8 二重积分的计算,计算方法：把二重积分化为两次定积分来计算,2,:,面积元素,6.8.1 在直角坐标系下二重积分的计算,3,:,记作:,4,:,不妨设,由几何意义知:,故,即,5,:,6,:,说明,3).如果平行于坐标轴的直线与积分区域D的边界交点多于两点， 则作辅助线把D分为若干X-区域或Y-型区域.,2).若被积函数 f (x,y) = f1(x) f2(y) ,7,:,步 骤：,（2写出区域D上的点的坐标满足的不等式， 从而定出积分的上下限.,2.在 x 轴上 a , b 内任取一点 x ，做 x 轴的垂线，垂线落在 D 内的线段，y 从 1(x) 到 2(x),说明,二重
2、积分化为两次积分时，确定积分限是关键.,（1画出区域D的图形,1. x 从 a 到 b,例：若D为X-区域,8,:,解:画草图,或,9,:,解:,或,例2. 交换积分次序,10,:,解,+,例3. 交换积分次序,11,:,解:,画草图,另解:,12,:,解:画草图,另解：,13,:,所围.,注意,选择积分次序的原则：,1.积分区域, 尽量避免分块;,2.被积函数, 第一次积分易积.,或:,不能计算,14,:,解:,画草图,或,15,:,例8. 求两个底圆半径等于R 的直交圆柱所围成的立体的体积.,解. 建立坐标系如图,两圆柱面的方程为:,由对称性知,所求体积为第一卦限部分的8倍.,所求体积,o,在极坐标系中M点的极坐标,代表以极点为圆心的圆,代表从极点出发的一条射线,极坐标系,2、在极坐标系下二重积分的计算,在直角坐标系中,在极坐标系中,1.极点在区域之外.,2. 极点在区域的边界上.,3. 极点在区域之内.,解.,画草图,例1.,计算,所围第一象限部分., D由圆周,及直线,例2. 计算,解: 画草图.,22,:,解: 画草图.,例3. 计算,解.,画草图,解: 由对称性知,所求体积为第一卦限的4倍.,