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1、:,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第十一章,:,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,(单侧曲面的典型),双侧封闭)曲面 曲面分内侧和外侧,曲面的方向,双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，另一个侧面便是负侧,:,曲面分左侧和右侧,曲面分上侧和下侧,为封闭曲面:一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面,:,有向曲面其方向用法向量指向表示 :,方向余弦, 0
2、为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,:,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 假设 是面积为A的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,:,对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,分析可得, 那么,:,:,被积函数,定向积分曲面,类似可定义,以上三个曲面积分均称为第二类对坐标曲面积分.,:,（1存在
3、条件:,（2组合形式:,（3物理意义:,注：,:,若记 正侧的单位法向量为,令,（4向量形式：,（5）封闭曲面：,:,3、对坐标的曲面积分的性质,对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧,:,三、对坐标的曲面积分的计算法,化成的投影区域上的二重积分,如何投影？,:,对坐标的曲面积分的计算法,:,:,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,一投影,二代入,三定号,:,一投影,二代入,三定号,:,一投影,二代入,三定号,:,解,例1,:,:,例2. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用轮换对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,:,
4、例3,解:,:,注:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必须分片计算积分,然后把结果相加.,:,四、两类曲面积分之间的联系,:,:,因为对面积的曲面积分为,两类曲面积分之间的联系,:,向量形式,:,合一投影法,将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分.,:,:,:,:,例1 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,:,例2. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,:, 原式 =,原式,:,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,:,性质:,联络:,考虑:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与,:,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,:,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .,:,作业 P229 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2),