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1、标准文档文案大全常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程局部 可别离变量方程(别离变量法)如果一阶微分方程 d = f (x, y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y) = g(x)h(y) dx的形式,我们称 巴=g(x)h(y)为可别离变量的方程.dx对于这类方程的求解我们首先将其别离变量为dy g(x)dx的形式,再对此式两边积h(y)分得到 型 g(x)dx C从而解出g(x)h(y)的解,其中c为任意常数.h(y) dx具体例子可参考书本 P10 P11的例题. 一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法)如果一阶微分方程凹二f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示
2、为 dxf(x, y) =Q(x) - P(x)y的形式,我们称由此形成的微分方程 dy P(x)Q(x)为一阶线 dx性微分方程,特别地,当 Q(x)三0时我们称其为一阶线性齐次微分方程,否那么为一阶线性非齐次微分方程.对于这类方程的解法,我们首先考虑一阶线性齐次微分方程3 P(x)y = 0,这是可dx.P(x)dxC(x)来替换C,于是一阶线性别离变量的方程,两边积分即可得到y二Ce ,其中C为任意常数.这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况,两者的解存在着对应关系,设P(x)dxdy非齐次微分方程存在着形如y = C(x)e 的解.将其代入P(x)y二Q(x)我们就可dx得到 C(x
3、)ePgdx - p(x)C(x)e_ PS - p(x)C(x)e_ 卩恥=Q(x)这其实也就是P(x)dx,P(x)dxC (x) =Q(x)e,再对其两边积分得C(x)二Q(x)e, dx C,于是将其回代入-P(x)dxdyy =C(x)e 即得一阶线性微分方程P(x)y=Q(x)的通解dx-P(x)dxP(x)dx=e.Q(x)e dx C具体例子可参照书本 P16 P17的例题. 一阶齐次型微分方程(变量代换)如果一阶微分方程 也二f (x, y)中的二元函数f (x, y)满足对于一切非零实数t都有等 dx式f (tx,ty)二f(x, y)成立,我们称一阶微分方程史=f (x,
4、 y)为一阶齐次型微分方程.dx对于此类微分方程的解法,我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可别离变量的方 程然后再相应求解.事实上,如果我们令t二1于是f(x,y)二f (1律)(丫).于是一阶齐次型微分方程xx xy = f (x, y)可表示为一y =()然后令u = 将其化为一阶可别离变量微分方程.具体 dxdx xx过程如下：令u =上,那么xu,= u xu ,代入方程鱼=C)可得Xdxdxdx xu xd = (u)也就是 生二(u) 7,它的通解是易求得的,求出它的通解之后将 u二 dxdx xx回代就可得到一阶齐次型微分方程3二f (x, y)的通解. dx当然,有时候我们
5、令t二1于是f(x, y)二f (-,1) - ; (y).于是一阶齐次型微分方程yxxdy 、_+一、, dy ,. x 口 dx 1人x dxdvf (x, y)可表示为(一)也就是此时令v,贝Vv y -,dxdx ydy . (x)y dydyydx 1dv 1代入方程可得v y然后再依次求解.有时候后者的代换方法会更dy 屮()dy 屮(v)y简洁,当然两者的解法本质上是没有区别的,具体求解时可以灵活地运用.具体例子可参看书本 P20 P22的例题. 伯努利方程(变量代换)如果一阶微分方程鱼二f(x,y)中的二元函数f (x, y)满足等式 dxf (x, y) = Q(x)yn -
6、 P(x)y, (n 0,1),我们就称由此形成的微分方程 dy P(x)y =Q(x)yn,(n =0,1)为伯努利方程.dx对于此类方程的求解,我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解.我们可以在方程史 P(x)y =Q(x)yn,( n = 0,1)两边同除以yn ,可以将方程变形为 dx1 _ny * 业 p&) y1 * 二 Q(x)即-) P(x)yZ 二 Q(x).我们令 z 二 y1*,于是方 dx1 一 n dx程即 空(1 一 n)P(x)z = (1 一 n)Q(x)利用一阶线性微分方程史-P(x)y二Q(x)的通解dxdx_ P(x) dxy = e(|P(x
7、)dxdzQ(x)e, dx C 可得 (1-n)P(x)z = (1 - n)Q(x)的通解,再将 IJ dxz二y1回代就得到了伯努利方程凹 P(x) y二Q(x) yn, (n = 0,1)的通解.dx具体例子可参照书本 P22 P23的例题. 变量代换方法的应用-其他类型的齐次微分方程ax by的方程也是齐次方程.对于这种类型的方程通过简单的代换就严+ b)y丿可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解.我们讨论更一般的情形,对于形如dy _dx可得 dy f a 三 + L + aa + b P + c 亍dxa上 +bj +ap +b|P +c1 ;,可以选取适当的口,0使得丿+ bB
8、+ c = 0ay +b+g = 0的齐次方程,我们令-一 ,目二 一：,其中:-/-为待定常数,当厶二abi - aib = 0时,：,：有唯一解,可以化上面的方程为齐次方程d df a- +bn求解此方程,并将.=x - ：,二y - 1代回就得到齐次方程dydxGx+by+c 勺解.当fy +G 丿二ad -aR =0时要分两种情况讨论.情况一：假设4=0,贝V = = k.原方程可以化为a1idy _ f kx + b)+ c dx i aiX + by + g )11a1x b1y,那么y (z -a)得到变量可别离的方程 一 bibi根据相应的解法即可求解.情况二：假设0 =0 ,
9、那么b中至少有一个为0.当b=0时,原方程为dy f ax +c dx x+g是可变量别离的方程,根据相应的解法即可求解.当b = 0时,可以令小记计,原方程就变为了i dz b dxz+ cgx + ci这是可变量分离的方程,根据相应的解法即可求解.具体例子可参看书本 P24 P25的例题.2. 可降阶的高阶微分方程局部(主要讨论二阶微分方程) 形如y(n)= f(x)的微分方程对于形如y(n) = f (x)的微分方程,我们可以连续对等式两边积分n次便可以求得其含有n个任意常数的通解为y 二 一 f(x)dxCx. Cn.(n-1)! (n-2)!n个积分符号具体例子可参看书本P28例题.
10、形如y： f (x, y )的微分方程一般二阶 微分方程可以表示为y = g(x, y, y),当因变量y不显含时形成了如-f (x, y )的不显含因变量 y的二阶微分方程.我们可以通过变量代换来进行降阶.我们令p = y , y二dP,于是方程可化为dP二f (x, p),这是一个以p为未知函数,以x为 dxdx自变量的一阶微分方程,我们可以容易求得.设其通解为p= (x,cj,那么 也二(x,G).dx两边积分就得到原方程的通解为y =O(x,G)dx - C2.其中C1,C2为任意常数.具体可参看书本 P28 P30例题(注意例4!)形如 =f (y, y )的微分方程与不显含因变量y
11、的二阶微分方程的定义类似,我们把形如y外=f (y, y)的微分方程称为不含自变量x的二阶微分方程.我们仍然通过变量代换来求解此类方程.我们令p=y,y =亚=坐*鱼=卩並,于是方程可化为 pd = f (y, p),这是一个关于 p, y dx dy dx dydy的一阶微分方程,我们可以容易求得.设其通解为(y,Ci),那么由卩=7=鱼可得dxdx,两边积分就得到原方程的通解为 (y,Ci)常数.具体例子可参看书本 P32 P34例题.-xC2其中Ci,C2为任意注：在可降阶的微分方程求解问题中,在消去所设的变元如p时我们一定要注意是否会丧失p=o的解3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的
12、解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质.我们直接介绍n阶线性微分方程y(n) - a1(x)y(nJ) - - anJL(x)/ an(x)y二f (x)的解的结构与性 质.对于区间a, b上的n个函数y,x)、y2(x)、y3(x)、yn(x),假设存在n个不全为0n的常数 心k2、k3、kn使得在a,b上有Kyx)三0,我们就称这n个函数在区间i 4a,b上是线性相关的,否那么就是线性无关的.此外对于n阶线性微分方程y(n) - ai(x)y(nJ) an j(x) an(x)y = f (x)的系数 a1(x) a2(x)、.anJL(x)、an(x)都为常数是我们称该方程为 n
13、阶线性常系数方程,否那么为n 阶线性变系数方程.进一步细分,对于自由项f(x),假设f(x)=0就称原方程为n阶线性齐次方程,否那么为 n阶线性非齐次方程.假设函数yx)、y2(x)、y3(x)、yn(x)是n阶线性齐次方程的 n个线性无关的特解,那么y = G y,x) C2y2(x) Cn yn(x)为n阶线性齐次方程的通解.假设函数y,x)、y2(x)、y3(x)、yn (x)是n阶线性非齐次方程的门个线性无关的特解,此外函数yp(x)是n阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解,那么 yp(x) C1y1(x) C2y2(x) Cnyn(x)为n阶线性齐次方程的通解.二阶常系数齐次线性微分
14、方程我们把形如ypyqy=0的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.其中p、q均为常数.我们知道如果 y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解.那么yy1 C2y2就是它的通解.现在先尝试能否适中选取 r .使y-e满足二阶常系数齐次线性rx2rx微分方程.为此将y=e代入方程 / py qy=0得(r pr q) e =0 .由此可见.只要r满足代 数方程r2 pr q=0 .函数y=e就是微分方程的解,接下来介绍一般的解法,我们把方程r2卩r 0叫做微分方程 厂卩y qy=0的特征方程. 特征方程的两个根1、可用公式a 2 =pp4q求出,2特征方程的根与通解的关系：(1)
15、 特征方程有两个不相等的实根ri、心时.函数yeriX、y2=er2X是方程的两个线性yeiX无关的解.这是由于.函数yi=：eriX、y2=e2X是方程的解 又丄1二黒二e(ri2)x不是常数 y2 e2因此方程的通解为 y =cieriXC2er2X . 特征方程有两个相等的实根ru2时.函数y, =eriX、y2 =xeriX是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解,这是由于.yeriX是方程的解.又(xeriX) p(xeriX)q(xeriX)=(2人Xr-|2)eriXp(iXr-i)eriXqxeriX*(2口 p) xeUf pn q) = 0 .yri X所以y2 =x
16、eriX也是方程的解 且里二竺 x不是常数.因此方程的通解为yieriXy -Ge*C2xeriX =(GC2x)eriX .(3)特征方程有一对共轭复根ri, 2 -1时.函数y 匕y-e-：)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解,函数y=e：xcos :x、y=e：xsin -x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数yi =e(:)x和y2 =e丄都是方程的解.而由欧拉公式.得y iWwWcos PxM sin Px).y2=e(c“ 壬 Wcos 図-i sin Px).excos ：x二制 y2.i-y2=2ie %in fix . esin 氐=丄 -y2,.yi=e co
17、s :x、ye xsin l -x 是方程的线性故ecos :x、y2二esin -x也是方程解,可以验证无关解因此方程的通解为y=e( Ceos BxPsin Bx ),求二阶常系数齐次线性微分方程ypy,qy=o的通解的步骤为：第一步 写出微分方程的特征方r2 pr,q=0第二步求出特征方程的两个根ri、r2 .第三步根据特征方程的两个根的不同情况.写出微分方程的通解.二阶线性常系数非齐次方程y=Y(x)与非齐次方我们把形如y py qyh(x)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.其中p、q是 常数,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解程本身的一个特解y=y*(
18、x)之和:y =Y( x) - y *( x). 当f(x)为两种特殊形式时.方程的特解的求法：一、f(x)=R(x)e型当f(x) =Pn(x)e x时.可以猜测.方程的特解也应具有这种形式,因此.设特解形式为y*二Qx)ex .将其代入方程.得等式2Q“(X)叫2 屮p)Q(x) 4(人巾屮q)Qx)刊 x),(1) 如果人不是特征方程r24pr弋=0的根.那么2冷pX.+q#0.要使上式成立.Qx)应设为m 次多项式：QMx) =boxm4bixm_1+,. . 4bmjx-Fbm .通过比拟等式两边同次项系数.可确定bo. b . . bm.并得所求特解y*qx)eLI . I22(2
19、) 如果人是特征方程r +prpn 的单根.那么人+p+q=0.但2&+PH0.要使等式2Q(x) %2 入4p) Q(x) % & 4p?jq)C(x) =Pm(x),成立.Qx)应设为m1次多项式：Q(x) =xQ x).Qm(x) =boxm 七2亠-bmjx bm通过比拟等式两边同次项系数.可确定bo.bi. .bm.并得所求特解y* =xCm( x)e x,(3) 如果人是特征方程r2+pr弋=0的二重根.那么九2+pA/p=0 ： 2化巾=0.要使等式2Q(x) %2 人4p) Q(x) % & 4ph4q)Qx) =Pm(x),成立.Q x)应设为m2次多项式Q(x) =x2Q(
20、x).mm_iQMx)二box bx 飞 bmjx bm .通过比拟等式两边同次项系数.可确定bo. bi . . bm .并得所求特解y* $2Q(x)eX,综上所述.我们有如下结论：如果f(x) =Pm(x)e那么二阶常系数非齐次线性微分方程y p/ qy f(x)有形如y */Q(x)e的特解.其中Q(x)是与Pm(x)同次的多项式.而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2二、f (x) =ex P(x)cos coxPMxjsin ox型方程 厂巾心入疔(x)cos躯申in ox的特解形式 应用欧拉公式可得e 可 P( x)cos coxgsin
21、oxxeX . e4- -xe,x _e4,x“xP(X)旦扌Pn(x)旦才=2【P(x)-iPn(x)夕2【P(x) iPn(x)e()x= P(x)e( lx .p(x)e(撅其中 P(x) =2(P -Pni)P(x) =1(P PJ) .而 mmaxl . n.设方程y 4pyqy孑(x)e(础护的特解为yi*Qm1)可写出k个线性无关解：e , xex,xkex一对单重复根可写出2个线性无关解：X|,2 = 土 丙e cos Px, e%in Bx一对k重复根,(k1)可写出2k个线性无关解：丸=cc 土 Piecosx , x/cosPx ,xkAexcoxesinBx , xes
22、inBx,xke*sinBx根据上表写出函数n个线性无关的特解y,x)、y2(x)、y3(x)、yn(x),那么 y二Gyi(x) C2y2(x) Syn(x)为n阶线性常系数齐次方程的通解.其次对于y(n) - an4y(n4) . a1 aOy = f (x),我们主要是讨论其特解的形式假设f (x) = Pm(x)e,其中Fm(x)是 m次待定的多项式,我们可设特解为 yp(x)二xkQm(x)e x,其中Qm(x)是m次待定的多项式,k为作为特征方程根的重数.即假设不是特征方程根,那么k=0；假设是L重特征方程根,那么 k=L假设 f (x)二 e-XPm(x)cos :x Qh(x)sin -x,其中 Pm(x)、Qh(x)是 m次、h 次待定的多 项式,我们可设特解为 yp(x) = xkeXSn cos ：x Tn sin ：x,其中Sn(x)、Tn(x)是n次待 定的多项式,n=maxm,h,k为复数根作为特征方程根的重数.