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1、WORD格式整理版学习好帮手绝密启用前2021-2021学年度？?学校12月月考卷试卷副标题测试范围：xxx;测试时间：100分钟；命题人：xxx题号-一-二二三总分得分考前须知：1 做题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在做题卡上第I卷选择题请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分、选择题题型注释1 用数学归纳法证实等式13亠2n-1= n2 n N*的过程中,第二步假设n=k时等式成立,那么当 n=k+1时应得到2A1 3 5,-2k 1=k(B) 13 5 川:打(2k 1) =(k 1)2(C) 1 3 5：(2k 1) = (k 2)2(D) 13 5 -(2k 1
2、) =(k 3)22用数学归纳法证实不等式“* + * +二 匕；n2 时的过程中,由n=kn+1 n+2 2n 24到n=k+1时,不等式的左边A.增加了一项12 (k+1)B.增加了两项C.增加了两项又减少了一项1k+1D.增加了一项一又减少了一项n=k+1时该3某个命题与自然数 n有关,假设n=k k N时命题成立,那么可推得当命题也成立.现当n=5时,该命题不成立,那么可推得A.当n=6时,该命题不成立 B.当n=6时,该命题成立C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=4时,该命题成立第II卷非选择题请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分、填空题题型注释评卷人得分4 数列an满足Sn三
3、、解做题题型注释二 2nannN.(1)计算 ai, a2, aa4,并由此猜测通项公式an ；2用数学归纳法证实5用数学归纳法证实：1 1 1 ! + ! + ! +, n 1 n 2 n 31中的猜测.丄匹2n 24(n _ 2,n N )6 用数学归纳法证实:对任意 n N+,3 5 7 -空卫帝成立.2 4 6 2n37 .a 22求证：关于x的三个方程x 4 a x 3 - 4 a = ,02 2-a -1 x a =0, x4ax-15a4=0中至少有一个方程有实数根8. 此题总分值12分a 0,b0且a b 2,求证：匚上,1旦中至少有一个小于2.a b9. 1用反证法证实：在一
4、个三角形中,至少有一个内角大于或等于60 ; n _0 ,试用分析法证实：、n 2 ；：n -1 ； (n2)n+1 n+2 2n 24左边的各项,他们都是以开始,以亠项结束,共n项,当由n=k到n=k+1时,项数也n+12n由k变到k+1时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.解：-I一.应选C点评：数学归纳法常常用来证实一个与自然数集N相关的性质,其步骤为：设 P (n)是关于自然数n的命题,假设1)(奠基)P(n)在n=1时成立；2)(归纳)在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出 P (k+1)成立,那么P (n)对一切自然数n都成立.3. C【解析】试题
5、分析：此题考查的知识点是数学归纳法,由归纳法的性质,我们由P (n)对n=k成立,那么它对n=k+1也成立,由此类推,对 nk的任意整数均成立,结合逆否命题同真同假的原 理,当P (n)对n=k不成立时,那么它对 n=k- 1也不成立,由此类推,对 nv k的任意正整 数均不成立,由此不难得到答案.解：由题意可知,P ( n )对n=4不成立(否那么 n=5也成立).同理可推得 P (n)对n=3, n=2, n=1也不成立.应选C点评：当P(n)对n=k成立,那么它对n=k+1也成立,由此类推, 对nk的任意整数均成立； 结合逆否命题同真同假的原理,当 P (n)对n=k不成立时,那么它对
6、n=k - 1也不成立,由此 类推,对nv k的任意正整数均不成立.3 7152n -1*4. (1) a1 =1, a2, a3, a4 ,由此猜测 an百(n N ) ; (2)证2482n明：当n = 1时,6=1,结论成立.假设 n=k ( k -1,且k N*)时,结论成立,即2 -1ak 二 2k 4学习好帮手那么 n =k 1( k _1,且 k N)时,ak 1= Sk 1 -Sk =2(k1)ak1-2k 3k =2 3k - 3k -1,即 2ak 1=2 ak.所以ak12 ak综上所述,an【解析】试题分析:2n2k -122kl_1( n由题意得an 1的值求出a4的
7、值；2猜测an2 k,这说明n = k 1时,结论成立.2k2a nan -1,又 “1,可求得a2,再由a2的值求a3,再由a3n 丄2 -12n检验“1时等式成立,运用数学归纳法证实猜想的结论即假设n=k k _1,且k N*时,结论成立,证实当 n = k 1时命题成立.试题解析：1 a, =1,1521*,由此猜测anh(nN ).8 22证实：当n =1时,a, = 1,结论成立假设n = k k -1,且N 时,结论k .2 -1成立,即ak - 2心,那么N )时,ak 1-Sk 1 - Sk =2(k1) -ak 1_2k ak =2 ak 一ak 1,即 2ak 1 二2 a
8、k.所以ak 12 akk 12 -1综上所述,an2k,这说明当n = k 1时,结论成立.考点：数学归纳法;5.详见解析【解析】2 _1*-(nN).2数列递推式试题分析：由数学归纳法证实不等式的一般步骤可知：第一步应验证初值n=2时不等式成立;第二步进行归纳假设：假设当n二k(k _ 2)时所证不等式成立,在此根底上来证实当n = k 1时所证不等式也成立；特别注意在证 n = k 1时一定要用到 n二k(k _ 2)时的结丄+_!k 1 k 2 k 32k 2k 1 2k 224 2k 1 2k 2 k 11 1 1+2k 1 2k 2 k 112(2k 1)(k 1)1 丄 1 丄
9、1 丄丄 113+ + + + (k 1) 1 (k 1) 2 (k 1) 32(k 1)24当n = k 1时命题成立.所以对于任意n _ 2, n N 都成立考点：数学归纳法6 见解析【解析】(1)当n= 1时,左边=,右边= 2 , 由于,所以不等式成立.2 2 假设当k时不等式成立,即 3 5 72 4 6, k+1成立,那么当n= k+1时,左2k试题解析：证实:(1)1当n - 2时,1+1141413,2十12 2242424(2)假设当n-k时,1 1+ +11 +13成立k 1 k 2 k 32k24当n = k V时,11 111+ +论;第三步下结论：在第一步及第二步的根
10、底上就可得出所证不等式对一切n _ 2, n N*都成立k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2命题成立.比士甬2k+32k 2k 22k 2(2k+ 3)2 = 4(k+1)2+ 4(k+1)+14(k+1)4(k+1)(k+1)+1 +14(k+1)-, (k+1)+11所以当n = k+ 1时,不等式也成立,由(1) , (2)可得不等式恒成立.7 见解析【解析】禾U用反证法的步骤证实,证实时通常推出与矛盾,与定理(公理)矛盾,自我 矛盾等假设三个方程都没有实根,2分那么三个方程中：它们的判别式都小于0,即r 2(4a)4(34a )c02 2a -1-4a : 024a -4 -15a
11、 4 : 031a :2 2即a或 a ： -13-4 a ：-4斗 3故 a ： -1, 10 分23这与a矛盾,所以假设不成立, 12分2故三个方程中至少有一个方程有实数根8 .证实见解析【解析】涉及到至多,至少这类问题直接证实不易证的情况下可以考虑反证 法.1+b1 + a1 + b 1 + a本小题采用反证法先假设假设 ,都不小于 2,那么2,2,由于a bab相加,从而找到证实出路.1+b1+a1+b 1+a证实：假设,都不小于2,贝y2,2 2分a 0,b0,所以1 b _2a,1 a _2b,然后为了找到两个不等式之间的关系让两个不等式a bab由于 a 0,b0,所以 1 b
12、_ 2a,1 a _ 2b , 3 分所以 1 1 a b _ 2(a b) 3 分即a b岂2,这与a b 2相矛盾,故假设不成立3分1+b 1+a所以 ,中至少有一个小于 2 1分a b其他证法只要思路正确,推理无误,改卷老师都可以参照给分9. (1)见解析；(2)见解析【解析】试题分析：(1 )反证法证实问题的关键是：提出结论的反面,并以此为条件推导导出矛盾；(2)分析法要求由结论成立反推条件(由果索因)试题解析：(1)假设在一个三角形中,没有一个内角大于或等于60 ,即均小于602分那么三内角和小于180 ,4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾,故假设不成立,原命题成立;6分(2)要证上式成立,需证、n 2、n ：2、n 1需证(一 n 2、n)2 : (2n 1)2需证 n 1 . 一 n22 n需证(n 1)2 . n2 2n1210分分需证 n22n 1 n2 2n只需证10由于10显然成立,所以原命题成立考点：1反证法；2分析法.