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1、:,第三章 空间向量与立体几何,3.2 立体几何中的向量方法三）,:,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3把向量的运算结果“翻译成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,:,向量的有关知识：,两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b,两向量夹角公式：cos a,b =,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,:,练习
2、如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,:,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因而,:,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,:,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A
3、，B到直线 （库底与水坝的交线的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,考虑：,（1本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？,分析：, 可算出 AB 的长。,:,（2如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。,:,（3如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,A1,B1
4、,C1,D1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，,E,F,在平面 AC 内作 CFAB 于 F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,:,空间“夹角问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 那么,:,例2,:,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如下图，设 那么：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,:,练习：,在长方体 中，,:,二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量在二面角的面内且垂直于二面角的棱的夹角。如图，设二面角 的大小为其中AB
5、,D,C,L,B,A,:,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 ,若二面角 的大小为 , 那么,法向量法,二面角的平面角,:,例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,:,故,则可设 =1， ，则B(0,1,0),作 于E, 于F，那么 即为二面角 的大小,在 中， 即E分有向线段 的比为,:,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,:,解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值为,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出的情况，二面角等于法向量夹角,:,2. 线面角,:,2. 线面角,l,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),那么,:,