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1、2.2 函数的连续性,10 函数连续的概念,图 (1)-(4) 在 x0 处曲线出现间断;,图 (5)曲线在 x0 处连续.,图形 (5)的特征：,其中 即,定义：,f(x) 在 x0 处连续的 语言描述：,设 在某邻域 内有定义 ,如果对任,f (x) 在 x0 处连续的三要素：,（2） 存在 (设为A );,(3),f(x) 在 x0 处左连续：,f(x) 在 x0 处右连续：,f(x) 在 (a , b) 内连续：,f(x) 在 a , b 上连续：,定理,20 连续函数的运算性质,定理 ( 连续函数的四则运算性质),连续函数经四则运算后 , 在其定义域上连续,基本初等函数的连续性,(1
2、) 基本三角函数在定义域上连续,由,可知：sinx ，cosx 在其定义域上连续 .,再根据连续函数的四则运算性质知：,tanx ，cotx ，secx ，cscx 在其定义域上连续 .,所以, 基本三角函数在定义域上连续,证明,对任意的 x0 R ,证明,对任意的 x0 0 , 利用结论,(4) 幂函数 f (x) = x ( 0 ) 在其定义域上连续,证明,对任意的 x0 0 ,定理 ( 反函数的连续性),证明 略,(5) 反三角函数在其定义域上连续,从而有以下结论：,基本初等函数在定义域上是连续的,定理 (复合函数的极限),证明,对任意的 由于 y =f (u) 在 u0 处连续 ,从而
3、得,定理证毕,推论,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,例如,30 函数的间断点及其分类,f (x) 在 x0 处连续的三要素：,（2） 存在 (设为A );,(3),（1f (x) 在某邻域 内有定义 ；,间断点的分类：,1、第一类间断点：,2、第二类间断点：,第一类间断点,第二类间断点,阐明：,所以 ，F(x) 在 x0 处连续,由于此时有,例 讨论下列函数的连续性：,解,(1) 当 x0 时,当 x = 0 时,f (x) 无定义 , 可知 x = 0 是间断点,由于,所以, x = 0 是可去间断点,当 x = 0 时,f (x) 无定义 , 可知 x = 0 是间断点,由于,
4、所以, x = 0 是函数 的第二类间断点.,(3) 当 x0 时,由于,所以, x = 0 是函数 的跳跃间断点,40 闭区间上连续函数的性质,定理(基本原理),定理(最值定理),证明,由基本原理知：f ( a ,b )= m , M ,又因对任意 x a ,b 有,m f (x) M,所以 , f (x) 在 处取得最小值 , 在 处取得最大值,违反闭区间条件反例：,违反连续性条件反例：,定理有界定理）,假设 f (x) C a ,b , 那么 f (x) 在 a , b 上有界,证明,由基本原理知：对任意 x a ,b 有,m f (x) M,所以 f (x) 在 a ,b 上有界,留意
5、：定理中的两个重要条件：闭区间 ；连续性,一般不可减弱 ，否则结论未必成立,定理 (介值定理),证明,假设 f (a) = f (b)=c ,则可取,下设 f (a)f (b) ,不妨设 f (a) f (b) , 则对,留意：,此定理的条件一般不可减弱,反例：,几何意义：,恣意 f (a)c f (b) ,定理 (零值定理),证明,由于 f (a) 与 f (b) 异号 ,那么,f (a) 0 f (b) 或 f (b) 0 f (a),取 c = 0 ,利用介值定理知 , 存在 使,几何意义：,例,证明：方程 在( 1 , 2 )中有实根.,证明,设,那么 f (x)C a , b .,又 f (1)= -1 , f (2)= 3 ,根据零值定理 ,即方程 在 ( 1 , 2 ) 中有实根,